第2章 定解问题

第2章定解问题

1、何谓数理方程？按其描绘的物理过程，它可分为哪几类？

2、何谓定解问题？它分为哪几类？试写出一维波动方程的Cauchy问题的数学表示。

3、何谓定解条件？它包括哪些内容？

4、何谓边界条件？它分为哪几类？一个边界需用几个边界条件来描述？

5、用数理方程来研究物理问题需要经历哪几个步骤？

6、在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成的系统的交界面S 处的

衔接条件有几个？应如何表示？

7、如何导出物理模型的数理方程？在推导弦的横振动方程时采用了哪些近似？由小角度近似我们得到什么结论？

8、热传导方程的扩散方程有何共同和不同之处？

9、在杆的纵振动问题中，若端自由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？

10、在杆的导热问题中，若端绝热，这个边界条件该如何写？你能从一物理定律出

发证明吗？

11、在热传导问题中，若热源密度不随时间而变化，则热传导方程会

发生怎样的变化？

12、在弦的横振动问题中，若弦受到了一与速度成正比的阻力，该阻力对于弦的振动问题

是否起到了源的作用？若受到了一与位移成正比的回复力呢？

第3章行波法

1、行波法的解题要领是什么？它适合用来求解哪一类定解问题？为什么？

2、一维波动方程的通解为什么含有两个任意函数？他们各个有怎样的形式和怎样的物理意义？靠什么确定他们的具体函数形式？

3、公式是用行波法求解弦的横振动问题时推得的，能否用公式求解如下定解问题？请说明原因？

4、能否用公式求解如下定解问题？

5、能否用行波法求解如下定解问题？

6、你能否根据直角坐标系中的

导出球坐标中球对称情况下的的表达式

请记住这个结论：

7、何谓平均值法？你能通过引入球面的平均值，将三维的波动方程

化为关于平均值的一维方程吗？

8、在Poisson 公式中，?若已知

9、对于定解问题

除了可用Poisson 公式求解外？你能否有其他的求解法？

10、在弦的横振动方程单位质量的弦所受的外

力，若将则怎样的物理含意？它的量纲是什么？

11、冲量原理的精神是什么？

12、你能否用纯强迫振动的解来求解定解问题

13、试述推迟势的物理意义，在推迟势中，若，且局限于一单位球内，则其中的体

积分该如何计算？

14、对于定解问题

按下述方法进行求解是否正确？为什么？

令

使

由公式可求得

而显然，所满足的定解问题的解为

所以，原定理问题的解为

第4章分离变量法

1、分离变量法的物理背景是什么？为什么能将未知函数表示为单元函数的乘积？

2、分离变量法适于求解哪些定解问题？能用分离变量法求解无界问题吗？

4、分离变量法有哪几个求解步骤？其中最关键的是哪一步？

5、何谓本征值问题？以下两个定解问题是否构成本征值问题？

(1)

(2)

6、仿照上章用冲量原理求解无界弦的纯迫振动的思想和方法，你能否写出用冲量原理求有界弦的纯强迫振动的公式？

7、在将边界条件齐次化时，为什么通常可选辅助函数为X的一次式，而当问题的两个端点均有第二类边界条件时，必须选辅助数为X的二次式？

8、在用分离变量法求解圆的Dirichlet问题

时，需要将边界条件齐次化吗？为什么？

9、在用分离变量法求解下述问题时，是否需将边界条件齐次化？如何齐次化？

10、在柱坐标和极坐标中对分离变量，所得到的的方程为

…

其后为什么要注明…？它是怎样得来的？

11、在扇形区域中，用分离变量法求Dirichlet问题

应选择什么坐标系？所得到的的方程仍是

…

吗？为什么？

12、在用分离变量法求解定解问题时，应如何选择坐标系？能在直角坐标系中求解

吗？

5章特殊函数>> 1）勒让德多项式

1、方程是什么方程？你能写出它在中的一有限解吗？

2、试述Legendre方程本征值问题的提法，其本征值、本征函数是什么？

3、你能证明吗？你能由

和之值算出吗？

4、Legendre多项式的母函数是什么？何谓母函数法？它有哪些用途？

5、Legendre多项式的归一化因子是什么？模是什么？你能得到一正交归一的Legendre多项式吗？

6、积分和之值分别是多少？和

7、你能将用Legendre多项式表示吗？

8、你能否用关系式导出递推公式

9、在球坐标系中，在轴对称的情况下，△u=0的变量分离形式的解是什么？在球内的解是什么？在球外的解呢？

10、什么是缔合Legendre函数？它是否一定是多项式？为什么？

11、试述缔合Legendre方程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？

12、缔合Legendre函数的模和归一化因子是什么？

13、是否等同于？与有何关系？你能否由的正交归一性导

出的正交归一性？

15、何谓球函数方程？它满足下列条件

的特解是什么?

16、独立的l阶球函数共有多少个？

17、你能用两种不同的形式，写出在球坐标系中，在非轴对称的情况下△u=0的解吗？它们对于球内和球外的具体情况，又分别是怎样的呢？

2）贝塞耳函数

1、方程叫什么方程？你能写出它的一有限解吗？

2、何谓Bessel函数的零点？它与Bessel方程的何种本征值问题有关？有什么样的关系？

3、Bessel函数的母函数是什么？当v不为整数时有无母函数？为什么？

4、你能利用Bessel函数的母函数关系式推导出Bessel函数的递推公式吗？

5、Bessel函数有无微分表达式？若有，试写出；若无，说明为什么？

6、什么是三类柱函数？它们是否均满足Bessel方程？它们互相的关系是怎样的？

7、第二、三类柱函数是否也满足Bessel函数递推公式？为什么？