与中点有关的引辅助线方法

与中点有关的引辅助线

方法

Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

与中点有关的辅助线作法

一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形．

例1．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：

AC AB 2>+ 类题

1．已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AE=EF.求证：

二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形

. 例2．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.

B

D

C

B

C

A

M

B

类题2．已知：ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.

三、有中点时，可连结中位线．

例3．如图，ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上点，且BD=CE ，M 、N 为BE 、CD 中点，连MN 交AB 、AC 于P 、Q ，求证：AP=AQ ．

类题3．已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：

()CD AB EF ->

2

1

.

A D P B

C

Q E

M

N

A D

F

E

B

C

类题4．如图，ABC ∆中，AD 是高，CE 为中线，CE DG ⊥，G 为垂足，DC=BE.求证：（1）G 是CE 的中点；（2）BCE B ∠=∠2.

四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题

例4．已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AB=AC ，D 为BC 边中点，P 为BC 上一点，AB PF ⊥于F ，AC PE ⊥于E.求证：DF=DE.

类题5．已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点，求证：FD BF ⊥.

D

B

D

P

C

B

B

C

E

六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法

例5．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.

类题6．已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 中点，AD EF ⊥于F.求证：AD EF S ABCD ⋅=梯形.

F B

C

（1

B

C

（2

G

B

C

（3

【作业】

1、已知△ABC 和△DBE 为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，A 、B 、D 在同一直线

上，M 、N 、P 分别是AD 、AC 、DE 边上的中点，试说明MP 与MN 的关系并证明。

2、如果上题中A 、B 、D 不在同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生变化证明结论。

N

M P

E

D

C

B A

N

M

P

E

D

C

B

A

3、平行四边形ABCD ，对角线相交于点O ，P 、E 、F 分别是AD 、OB 、OC 的中点，AC=2AB 。 求证：PE=EF

4、等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠AOB=60°，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。 求证：△EFM 是等边三角形。

5、如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 、P 、Q 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点。求证：MN 与PQ 互相垂直平分。

A

B

C

D

O

E

P F

A B

C

D

E F

M

O

A

B

C

D M N

P

Q

A B

C

D

E

M N

6、如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD ，垂足为点D ，求证：2DE=BC-AC

7、BD 、CE 分别为△ABC 外角平分线，AM ⊥BD 于M ，AN ⊥CE 于N ，探究MN 与AB 、

BC 、AC 的关系。

附加题：

（1）若将上题中BD 改为∠ABC 的平分线，其它条件不变，则上题结论是否成立。 （2）若BD 、CE 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，其它条件不变，以上结论是否成立(画图、证明)

C

B

A

C

B

A

8、△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α，在AB 、AC 上截取AD 、AE ，且AD=AE ，连结DE 。如图1所示，则易证BD=CE ，如图2所示，将△ADE 逆时针针旋转到如图所示位置，连结BD 、CE 。

（1）判断BD 与CE 的数量关系及BD 、CE 延长线所夹锐角的度数。

（2）点G 、F 分别是等腰△ABC 、等腰△ADE 底边的中点，∠BAC=∠DAE=α，点P 是线段CD 的中点，试探索∠GPF 与α的关系，并加以证明。

1．

A

B

C

D E B C D

E A

B

C

D

E

A

B

C

D

E A

P

G

F