各高校量子力学考研试题汇总要点
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习题1
一、填空题
1.玻尔的量子化条件为。
2.德布罗意关系为。
3.用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。4.波函数的统计解释:_____________________________________
__________________________________________________________
5.为归一化波函数,粒子在方向、立体角内出现的几率
为,在半径为,厚度为的球壳内粒子出现的几
率为。
6.波函数的标准条件
为。
7.,为单位矩阵,则算符的本征值为__________。
8.自由粒子体系,__________守恒;中心力场中运动的粒子
___________守恒。
9.力学量算符应满足的两个性质
是。
10.厄密算符的本征函数具
有。
11.设为归一化的动量表象下的波函数,则的物理意义为
_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28.如两力学量算符有共同本征函数完全系,则___。
13.坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14.在定态条件下,守恒的力学量是_______________________。
15.隧道效应是指__________________________________________。
16.量子力学中,原子的轨道半径实际是指____________________。
17.为氢原子的波函数,的取值范围分别
为
。
18.对氢原子,不考虑电子的自旋,能级的简并度为,考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时,能级的简并度为,如再考虑自旋与轨道角动量的耦合,能级的简并度为。
19.设体系的状态波函数为,如在该状态下测量力学量有确定的值,则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20.力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
21.量子力学中的态是希尔伯特空间的____________;算符是希尔伯特空间的____________。21.设粒子处于态,为归一化波函数,为球谐函数,则系数c的取值为,的可能值为
,本征值为出现的几率为。
22.原子跃迁的选择定则
为。
23.自旋角动量与自旋磁矩的关系
为。
24.为泡利算符,则,,
。
25.为自旋算符,则,,
。
26.乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________,
_______________________________。
27.轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是
______________。
27.费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________,
玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。
27.考虑自旋后,波函数在自旋空间表示为(已归一化),则在态
下,自旋算符对自旋的平均可表示为_______________;对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为______________________。
27.考虑自旋后,波函数在自旋空间表示为(已归一化),则
的意义为_____________________;
_________________。
二、计算题
1.在和的共同表象中,算符和的矩阵分别为
,。
求它们的本征值和归一化本征函数,并将矩阵和对角化。
2.一维运动粒子的状态是
其中,求
(1)粒子动量的几率分布函数;(2)粒子的平均动量。
(利用公式)
3.设在表象中,的矩阵表示为
其中,试用微扰论求能级二级修正。(10分)
4.在自旋态中,求。(10分)
5.各是厄密算符。试证明,也是厄密算符的条件是对易。6.在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。
7.求自旋角动量在方向的投影
的本征值和所属的本征函数。
8.转动惯量为,电偶极矩为的空间转子处在均匀电场
中,如果电场很小,用微扰论求转子基态能量的二级修正。(10分)
(基态波函数,利用公式
)
9.证明下列关系式:
1., 2.
3. ,
4.
(其中为角动量算符,,为泡利算符,为动量算符)
10.设时,粒子的状态为,求此时粒子的平均动量和平均动能。
11.为厄密算符,(为单位算符),。(1)求算符的本征值;(2)在A表象下求算符的矩阵表示。
12.已知体系的哈密顿量,试求出(1)体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。(2)将H对角化,并给出对角化的么正变换矩阵。
13.一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动,
, b为小量,用微扰法求粒子的能级(近似到一级)。14.证明下列算符的对易关系。
1.;
2. ()
3.设算符与它们的对易式对易,即:,证明:
15.设有两个电子,自旋态分别
,,证明两个电子处于自旋单态()及三重态
()的几率分别为:(20分)。