一般周期的傅里叶级数

E 2
n>1时
bnE 2si(nnn(11) )t si(nnn(11))t00
A
9
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由于半波整流函数 f ( t )
f (t)
在( ,)上连,由续 收 敛定理可得
2
o 2
t
f (t) E
E sin t
2
2Ek 1114k2co2skt
直流部分
定理条件, 将它展成傅里叶级数:
F (z)a 2 0n 1anco n (z在 sb Fn(sz) i的nz n 连续点处 )
A
4
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其中
an 1 F(z)co nzd sz bn1 F(z)sinn zdz
(n0,1 ,2, ) (n1 ,2,3, )
令z x
收敛于 1 2[f(bxn ) 1 lf (llxf()x)]s.A innlxdx
(n1,2,)
6
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例1. 交流电压 E (t)E sin t经半波整流后负压消
失,试求半波整流函数的 傅里叶级数.
解: 这个半波整流函数
f (t)
2 o 2 t
的周期是
f (x) bnsin
n1
n
l
x
(在 f (x) 的连续点处)
其中 b n 2l 0l f( x ) sn ilx n d x( n 1 ,2 , )
如果 f (x) 为偶函数, 则有
f (x) a0
2
n 1
a
n
cos
n
l
x
(在 f (x) 的连续点处)
其中
注:
无a n 论 哪a2l n种 0l情1f l 况( x l) ,lc 在f(xfn )(o cxl)x o的d ns间x s lx断d( 点n x x(n 0 处, 1 ,0 ,傅2 ,1 , 里 ,2 叶) , 级)数
F(z) 在 ba,ba上展成傅里叶级数
22
将 z xba 代入展开式 2
f (x) 在 [a,b] 上的傅里叶级数
A
14
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方法2 f(x), x [a ,b ] 令 xz a,即 z x a
F ( z ) f( x ) f( z a ) , z 0,ba
交流部分
( t )
说明: 上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.
A
10
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例2. 把 f(x ) x(0 x 2 )展开成
(1) 正弦级数;
(2)
余弦级数.
在 x = 2 k 处级 数收敛于何值?
解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
y
a n 0( n 0 ,1 ,2 , )
n 2 k 3 (k0,1,)
, n2k
A
8
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bn
1 l l l
f(t)sinntdt
l
0Esintsinntdt
E 20 cn o 1 )s t ( cn o 1 )s td ( t
b 1 0 E sin tsin tdt
E 2 0(1co 2st)dtE 2tsi22 nt0
k 1
(
2
1 k
)
2
2 8
1 4
1 n1 n 2
1 n1n2
2
6
A
13
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当函数定义在任意有限区间上时, 其傅里叶展开方法:
方法1 f(x),x [a ,b ]
令 xzba, 即 z xba
2
2
F (z)f(x)f(zba ),z ba,ba
2
22
周期延拓 T2lba
1 cos2t 2
0
0
n 1时
an
E 2
0 sin n 1 ) (tsin n 1 ) (tdt
E 2
(n11)cons(1)t(n11)cons(1)t
0
2 E (n 1 )1 nn1 1( n 1 )n 1 1n 1 1
((1n)2n11)1E
0 ,
2E
(1 4k 2 )
A
12
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f(x ) x 1 8 2k 1 (2 k1 1 )2c( o 2 k s 2 1 )x(0x2)
说明: 此式对 x0也成立,
y
据此有
1 k1(2k 1)2
2
8
由此还可导出
o2
x
x0是 F (x)的 连 续 点
1
n1 n 2
1 k1(2k 1)2
y
a0 2202xdx 2
o2
x
an
2 2
2x cosn xdx
0
2
b n 0(n 1 ,2 , )
n 2 x sn i 2 n x n 2 2 cn o 2 x s 0 2
4
n22
0 ,
(1)n 1
(2k
8
1)2
2
,
n 2 k
n2k1 (k1,2,)
f(x)x18 2k 1(2k1 1)2co (2ks 2 1)(x0x2)
F ( z ) f ( x ) f ( z 1 ) z 0 ( 5 z 5 )
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定
理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故
F(z)
a n 0( n 0 ,1 ,2 , )
源自文库
bn
5205
z
sinn
5
z
dz
(1)n 10
n
5
5z
(n1,2,)
F(z)10 n 1(n 1)nsin n5z (5z5)
1 0x1 n 0 1(n 1)nAsinn5x
(5x1)5
16
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内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式
f (x)a 0 2
n 1anco nlsxbnsinn lx(x间断点)
其中
an
1l
l l
f(x)consxdx
l
bn
1l ll
f(x)sinnxdx
l
(n0,1,) (n1,2,)
当f (x)为奇(偶) 函数时,傅氏级数为正弦 (余弦) 级数. 变换
2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 延拓
A
22
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作业: 习题册
A
23
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bn 2202xsinn2xdx
o2
x
2x cn ox s22 sn in x2
n 2 n
20
4 cosn n
n 4 ( 1)n 1
(n1,2,)
2l 4
f(x)4n 1 (1n)n1sinn2x
(0x2)
A
11
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(2) 将 f (x) 作偶周期延拓, 则有
f (x) 的傅氏展开式
A
2
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定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,
则它的傅里叶展开式为
f(x ) a 2 0 n 1 a ncn olx s b nsinln x
其中
(在 f (x) 的连续点处)
an
1 l
l f(x)consxdx (n0,1 ,2, )
If you have any questions, please contact me.
A
Li, XS---Department of Mathematics
26
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l
l
bn1 l llf(x)sinnlxdx (n1,2,)
A
3
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证明: 令 z x , 则 x[l,l]
l
令
F(z)
f
(x)
f
( lz)
,
则
z [,],
F(z2)f(l(z 2))
f
( lz
2l
)
f ( l z ) F(z)
所以 F(z) 是以 2 为周期的周期函数 , 且它满足收敛
第八节
第十一章 Section 7.3.3, SCU
一般周期函数的傅里叶级数
一、以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开
A
1
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一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开
周期为 2l 函数 f (x)
变量代换 z x
l
周期为 2 函数 F(z)f(x)
将F(z) 作傅氏展开
2l
2
,它在
[
,
]
上的表达式为
0, f (t)
t
0
Esi nt, 0t
an
1 l
l l
Ef2(t)c0 oss nlitn dn t1 ) (t s0 E in sn i1 ) n (ttcd otnstdt
A
7
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a1
E 2
0sin2
tdt
E
2
奇或偶式周期延拓 周期为2(ba)
F(z) 在 0,ba上展成正弦或余弦级数
将 z x a 代入展开式
f (x) 在 [a,b] 上的正弦或余弦级数
A
15
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例3. 将函数 f(x ) 1 x 0 (5 x 1)展5 成傅里叶级数.
解: 令 zx10 ,设
ex6, P239, SCU
l
an
1 l
l
l
f(x)consxdx
l
(n0,1 ,2, )
bn1 l llf(x)sinnlxdx (n1 ,2,3, )
f(x ) a 2 0 n 1 a nc( 在n o lfx (s x ) b 的ns 连续inl点n x 处)
证毕
A
5
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说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有