高考数学一轮复习第五章平面向量..平面向量的基本定理及坐标表示对点训练理
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2017高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1.2 平面向量的基本
定理及坐标表示对点训练 理
1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)
答案 B
解析 b －a ＝(2，－1)，选B 项．
2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
3，－79
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
9，－73
答案 D
解析 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，由(c ＋a )∥b ，得－3(1＋m )＝2(2＋n )．①
对于c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－79
，n ＝－7
3.
3.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝________；y ＝________.
答案 12 －16
解析 由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，
所以x ＝12，y ＝－1
6
.
4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．
答案 －3
解析 由向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
2m ＋n ＝9m －2n ＝－8
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝2n ＝5
，
故m －n ＝－3.
5.设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 答案 ±3
解析 由题意得(a ＋λb )·(a －λb )＝0，即a 2－λ2b 2＝0，则a 2＝λ2b 2
.
∴λ2
＝a 2
b
2＝
32＋3
22
12
＋－1
2
2
＝182
＝9.∴λ＝±3. 6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →
|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →
|的最大值是________．
答案
7＋1
解析 解法一：设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2
＝1，从而可设x ＝3＋cos α，
y ＝sin α，α∈R .
而OA →＋OB →＋OD →
＝(x －1，y ＋3)， 则|OA →＋OB →＋OD →
|＝ x －
2
＋y ＋3
2
＝
＋cos α
2
＋
3＋sin α2
＝ 8＋4cos α＋23sin α ＝ 8＋27α＋φ， 其中sin φ＝
27
，cos φ＝
3
7
.显然当sin(α＋φ)＝1时， |OA →＋OB →＋OD →
|有最大值8＋27＝7＋1. 解法二：OA →＋OB →＋OD →＝OA →＋OB →＋OC →＋CD →
， 设a ＝OA →＋OB →＋OC →
＝(2，3)， 则|a |＝7，从而OA →＋OB →＋OD →＝a ＋CD →
，
则|OA →＋OB →＋OD →|＝|a ＋CD →|≤|a |＋|CD →
|＝7＋1， 当a 与CD →同向时，|OA →＋OB →＋OD →
|有最大值7＋1.
7.
如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →
＝a ，
AC →
＝b ，用基底a ，b 表示向量AE →
＝________.
答案 25a ＋15
b
解析 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，存在实数m ，满足AE
→
＝mAN →＋(1－m )AB →＝1
3
m b ＋(1－m )a .
由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝1
2n a ＋(1－n )b .
所以13m b ＋(1－m )a ＝1
2
n a ＋(1－n )b .
由于a ，b 为基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧
1－m ＝12
n ，
1
3m ＝1－n ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝35
，
n ＝4
5.
所以AE →＝25a ＋1
5b .