07-08A卷--常微分方程定性理论

b
sin
x
0
平衡点为
(k , 0), k z 。
(i)
若
k
为奇数，则
A
0 b
1 a
,
det
A
b
a.
故此时 (k
,
0)
为原系统的鞍点。
(ii)
若k 为偶数，则
A
0 b
1 a
,
det
A
b
0,
trA
a,
a2 4b.
a 0 时，若a2 4b 0 ，则线性近似方程以原点为稳定的结点，则原系统平衡点此时也为稳
华中师范大学 2007 –2008 学年第一学期 期末考试试卷（A 卷）
课程名称 常微分方程定性理论 课程编号 42121000 任课教师 黄继才
题型 计算 计算 计算 计算 证明 计算 总分 分值 20 20 20 10 24 6 100 得分
学号：
学生姓名：
年级：
得分 评阅人
一．计算题：（共 20 分）
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
在（1，0）处，轨线方向为（2，4）。则系统相图可容易画出。
（2）
A
1 2
1
1
，trA
2
0,
det
A
3
0
，
4 43 8 0 ，故平衡点（0，0）是不稳定焦点。
垂直等倾线为： y x ；水平等倾线为： y 2x 。又注意到在（1，0）处，轨线方向为（1，2）。则系统
相图可容易画出。
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定的结点；同理，若a2 4b 0 ，则原系统平衡点此时为稳定的退化结点(不是临界
结点，因为线性系统此时只有一个特殊方向)；
若a2 4b 0 ，则原系统平衡点此时为稳定的焦点。
a
0
时，
A
0
b
1 0
,
此
时
原
点
为
线
性
近
似方
程
的
中
心
，
构
造
Liapunov
函数：
F (x, y) 1 y2 b cos x b ，容易证明它为(k , 0)（k 为偶数）附近一个定正函 2
D {(x, y) / x2 y2 1} 上是定正的，并且可证 F(x, y) 沿着原系统的轨线对时间 t 的导数
dF 在 D 上是定负的。即证零解是渐近稳定的。（10 分） dt
极限环的稳定性： 1． 对原系统作极坐标变换，把原系统化成极坐标系统，作出极坐标系统的相图，即可判断出极限 环是不稳定的。
a
0
时，
A
0 b
1 0
,
此时原点为线性近似方程的中心，而此时原系统为线性方程，则此时原点
为原系统的中心。
得分 评阅人
四．计算题：（共 10 分）
四．画出下面系统的相图。
dx
dt
y
x(x2
y2 ) sin
1 x2 y2
dy
x
y(x2
y2 ) sin
1
dt
x2 y2
解：令 x r cos , y r sin ，作极坐标变换，则原系统变为：
二．指出平衡点类型以及稳定性并作出系统的相图（注意特殊方向，水平和垂直等倾线以及轨线走向）。
（1）
dx dt dy dt
2x 4x
y y
（2）
dx dt dy dtLeabharlann x y 2x y解：
（1）
A
2
4
1 1
，trA
1,
det
A
6
0
。故平衡点（0，0）是鞍点。
设 y kx 为其特殊方向。由k 4 k k 1或k 4 。则特殊方向为：y x 或 y 4x ，又注意到 2k
三．求出下列系统的平衡点并指出类型。
dx
（1）
dt dy
dt
y ay
b
sin
x
(a
0,
b
0)
（提示：先讨论情形：a 0,b 0 ；再讨论情形： a 0,b 0 。）
dx
（2）
dt dy
dt
y a(1
x2 ) y
bx
(a
0, b
0)
解：（1）先求其平衡点：由
y 0 ay
1 a
,
det
A
b
0, trA
a
0
，
a 0 时，若a2 4b 0 ，则线性近似方程以原点为不稳定的结点，则原系统平衡点此时也为不稳定
的结点；同理，若a2 4b 0 ，则原系统平衡点此时为不稳定的退化结点(不是临界结点，因
为线性系统此时只有一个特殊方向)；若a2 4b 0 ，则原系统平衡点此时为不稳定的焦点。
得分
评阅人
三．计算题：（共 20 分）
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
2． 由极坐标系统可以知道极限环的方程是： x cos(t t0 ), y sin(t t0 ) ，再由极限环的指数
公式计算容易知道指数 =2 >0，则极限环是不稳定的。（5 分）
（2）用首次积分的方法求下面系统的通解并证明首次积分的独立性。（5 分）
专业：
院（系）：
得分 评阅人
二．计算题：（共 20 分）
数，并且可证 F(x, y) 沿着原系统的轨线对时间 t 的导数 dF 恒为零。故知此时 dt
(k , 0) （k 为偶数）为原系统的中心。
（ 2 ） 先 求 其 平 衡 点 为 （ 0 ， 0 ）， 则 原 系 统 在 原 点 附 近 的 线 性 近 似 方 程 的 系 数 矩 阵 为
A
0 b
一． 用两种方法判断下面方程零解的稳定性。并用两种方法判断极限环的稳定性。
dx dt
y
x(x2
y2
1)
dy
x
y(x2
y2
1)
dt
解：（1）零解的稳定性： 1． 先求出原系统在零解处的线性近似方程，判断线性近似方程的原点的类型为稳定的焦点，则由 双曲性质知原系统的零解也是稳定的焦点。
2． 构造一个零解附近的 Liapunov 函数： F (x, y) c(x2 y2 ) （c>0）。可证 F(x, y) 在
dr
dt
dy
r3 1
sin
1 r
，
dt
随着 t 的增大而增大，故轨线为逆时针方向。令 r3 sin 1 =0，则
r
r 1 (k z )（闭轨）或r =0（即为平衡点（0，0））。首先考虑r 1 ，若r 1 ，则0 1 ，dr 0 ，