Matlab笔记——层次分析法020

20. 层次分析法

一、概述

层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHD）是将要决策的问题及其有关因素分解成目标、准则、方案等层次，进而进行定性和定量分析的决策方法。它的特征是合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程细致化（层次化、数量化）。

层次分析法广泛地应用到处理复杂的决策问题，而决策是基于该方法计算出的权重，所以也常用来确定指标的权重。

层次分析法的基本思路与人们对一个决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。例如，选购一台笔记本电脑，假设有三种不同品牌款式的笔记本电脑A、B、C供选择。我们一般会根据价格、外观、重量、用途、功耗、品牌等一些准则去反复比较这个三个候选。首先，会确定这些准则在自己心目中各占多大比重，不同的人这种比重会有很大差异（喜欢玩游戏的人看重硬件性能和散热、预算有限的人看重价格等）。其次，还会就每一个准则将A、B、C进行对比，比如A 最便宜，B次之；C性能最好，B次之；C的品牌最知名等。最后，将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定一台作为最符合自己需求的电脑。

二、算法步骤

1. 将问题条理化、层次化，建立层次结构模型

1）最高层（目标层）——只有一个元素：决策目标；

2）中间层（准则层）——考虑的因素，决策的准则、子准则；

3）最底层（方案层）——决策时的备选方案、措施。

层次分析法要解决的问题是，求出最底层对最高层的相对权重，以此对最底层的方案、措施进行排序，选择最优方案。

注1：为了避免两两比较判断过于复杂，每层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个，否则应划分为若干子层；

注2：层次分析法只考虑相邻两个层次间自上向下的支配作用，认为同一层次的元素间相互独立，若考虑进来需要网络分析法（ANP ）。

例如前文提到的选购笔记本电脑的决策模型，可以建立如下的层次结构：

2. 构造判断矩阵（成对比较矩阵）

构造好层次模型后，针对某一层来讲，在比较第i 个元素与第j 个元素相对于上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重a ij 来表示，假设共有n 个元素参与比较，则矩阵

1111()n ij n n n nn a a A a a a ⨯⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

L

M O

M L

称为判断矩阵（或成对比较矩阵）。

Saaty 根据绝大多数人认知事物的心理习惯，建议用1~9及其倒数作为标度来确定a ij 的值。

其中，2, 4, 6, 8分别介于1, 3, 5, 7, 9对应的重要程度之间。显然，A 中的元素满足：

i) a ij > 0; ii) a ji = 1/a ij ; iii) a ii =1

称为正互反矩阵。

例如，选购笔记本电脑模型中，可以根据实际三台电脑的重量得到电脑对准则层B 3的判断矩阵（a ij 可以取笔记本电脑j 与i 的重量之比，重量越轻越好）：

311/31/5313/555/31B C A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

3. 层次单排序及判断矩阵的一致性检验

通常用特征根法从判断矩阵导出，单一准则下元素相对排序权重。 定义若n 阶正互反矩阵 (a ij )n ×n 满足a ik a kj = a ij （对应a ij =w i /w j , 故需要a ik a kj =(w i /w k )/(w k /w j ) = a ij ），则称(a ij )n ×n 为一致性矩阵。

特征根法的基本思想是，当正互反矩阵(a ij)n×n为一致性矩阵时，对应于判断矩阵的最大特征根λmax的特征向量，经归一化后（使向量中各元素之和等于1）即为排序权向量，记为w, w的元素为同一层次因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。

能否进行层次单排序，就看判断矩阵是否为一致性矩阵，有如下定理：

定理n阶正互反矩阵A为一致性矩阵的充要条件是，A的最大特征值λmax = n.

在实际操作中，由于客观事物的复杂性以及人们对事物判断比较时的模糊性，很难构造出完全一致的判断矩阵。因此，Satty在构造层次分析法时，提出了一致性检验，所谓一致性检验是指判断矩阵允许有一定不一致的范围。

一致性检验步骤如下：

1）计算判断矩阵A的最大特征值λmax;

2）求出一致性指标（Consistencey Index ）：

max C.I.1n

n λ-=-

C.I.=0表示完全一致，C.I.越大越不一致；

3）用随机模拟取平均的方法，求相应的平均随机一致性指标R.I., 或者直接用Satty 模拟1000次得到的R.I.表：

4）计算一致性比率：

C.I.C.R.=R.I.

5）判断，当C.R.<0.1时，认为判断矩阵A 有满意的一致性；若C.R.≥0.1, 应考虑修正判断矩阵A.

4. 计算各元素对目标层的合成权重（层次总排序）

为了实现层次分析法的最终目的，需要从上而下逐层进行各层元素对目标合成权重的计算。

设已计算出第k-1层n k -1个元素相对于目标的合成权重为：

1

(1)11112(,,,)k k k k k T n w w w w -----=L 再设第k 层的n k 个元素关于第k-1层第j 个元素（j=1,…,n k -1）的单一准则排序权重向量为：

()()()12(,,,)k k

k k k T j j j n j u u u u =L

上式对k 层的n k 个元素是完全的，若某些元素不受k-1层第j 个元

素支配，相应位置用0补充，于是得到n k ×n k -1阶矩阵：

111()()()11121()()()21222()

()()()12k k k k k k k k k n k k k n k k k k n n n n u u u u u u U u u u ---⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O

M L 从而可以得到第k 层的n k 个元素关于目标层的合成权重向量：

()()(1)k k k w U w -=

按递归展开得

()()(1)(3)(2)k k k w U U U w -=L

写成分量形式为

1

()

()(1)1, 1,,k n k k k i ij j k j w u w i n --===∑L

各层元素对目标层的合成排序权重向量是否可以满意接受，与单一准则下的排序问题一样，需要进行综合一致性检验：

当C.R.(k)< 0.1时，则认为层次结构在第k 层以上的判断具有整体满意的一致性。

注：实际应用中，整体一致性检验常不予进行。主要原因是，整