1-4 自然坐标系中质点运动描述

an
g
例 汽车在半径为200 m的水平圆弧形弯道上行驶，发现路障 后司机刹车。若将开始刹车的时刻作为记时起点，则刹车 阶段汽车的运动方程为 s 20t 。0.2t3
求 汽车在t=1s时的加速度。
解 本题为自然坐标中第一类问题。
v d s 20 0.6t 2 dt
切向加速度
dv a dt 1.2t
第二类问题：已知质点运动的速率v 或切向加速度 aτ ， 求曲线运动的运动方程s=s(t) 。
例 如图所示，炮弹的出口速率为v0，发射角为θ，不计阻力。 求 (1) 任一时刻t的切向加速度aτ 及法向加速度an ；
(2) 轨迹最高点的曲率半径 。
解 炮弹作抛体运动，设炮弹在 y 平面Oxy上运动
nv=an
nv
an
v2 R
an的大小恒为正
法向加速度的方向始终指向曲线凹侧。
av 反映出质ຫໍສະໝຸດ Baidu速度大小的变化，称为切向加速度。
Δvv av
=（limvvBvvvv=A t0 t
）v Δv v lim v v= dv
t0 t dt
v=av
a

dv dt
vBΔvt
求 (1) 自然坐标中质点的运动方程； (2) 当加速度的大小为b时，质点沿圆周运动了几圈？
解 (1) 本题为自然坐标中的第二类问题，根据速度的定义
v

ds dt
v0
bt
分离变量
d s (v0 bt) d t
s
t
两边积分
ds
0
0 (v0 bt)d t
s

v
0t

1 2
bt
(1) a g为恒矢量
v0
任一时t刻炮弹速度在Ox, Oy 轴上的分量

o
v0 cos θ
g

x
vx v0 cos θ v y v0 sin θ gt
任一时刻t的切向加速度
a

dv dt

d dt
vx2
v
2 y
d dt
(v0 cos θ)2 (v0 sin θ gt)2
g
v0 sin θ gt
(v0 cos θ)2 (v0 sin θ gt)2
法向加速度 an
a2 a 2
g 2 a 2 g
1 ( a )2 g
g
v0 cos θ
(v0 cos θ)2 (v0 sin θ gt)2
(2)轨迹最高点的曲率半径：
ρ v 2 v02cos2θ
法向加速度
an
v2 R

(20 0.6t 2 )2 R
总加速度
av

av+an nv

(20
0.6t2 )2 R
nv 1.2tv
当t＝1s时 a 1.2m s2
an

(20 0.61)2 200
1.88m s2
av 1.88nv1.2v
t＝1s时，加速度的大小
a an2 at2
1.882 (1.2)2 2.23m s2
tan θ an 1.88 1.5667 a 1.2
加速度 与a速度 的v夹角为 θ 12233
例 一质点作半径为R的圆周运动，其速度随时间变化的规律
为然坐v 标的v 0原，点式b。t中v0、b均为正的常量。t=0时，质点位于自
2
(2)根据加速度的定义
an
v2 R

(v 0
bt)2 R
at

dv dt

b
a
at2 an2
b2

(v 0
bt)4 R2
a 1 R
R2b2 (v0 bt)4
由
a 1 R
R2b2 (v0 bt)4 b
解得 t v0 b
这时质点运行的圈数为
n

s 2R
为加速度与速度之间的夹角
➢ 讨论 切向加速度引起速度大小的变化 法向加速度引起速度方向的变化
a
v
av
O an P
四 一般曲线运动的加速度
av

av+an nv

dv dt
v
v2

nv
“以圆代曲”
av
an

a

为曲率半径
五 自然坐标系中的运动学问题 自然坐标中运动学的两类问题： 第一类问题：已知质点运动方程 s=s(t) ，求质点在任意时 刻的速度和加速度。
Δv Δvn
vA
Δθ
o
切向加速度的方向，与A点速度的方向或相反。
自然坐标中，变速圆周运动的加速度
av

av
+avn
=av+an nv

dv dt
v
v2 R
nv
大小 a a 2 an2


dv dt
2

v 2 R
2
方向
α arctan an a
R
R Δt0 Δ t R
a的方向
1 (π Δ )
2
当Δt→0时，Δ →0,
→ /2，即 a vA
Δv
vB

Δθ
vA
o
vB
B vA
Δ r
Δθ
oR
A
质点在A点处的加速度方向垂直于A点的速度方向，沿半径指 向圆心，称为法向加速度，以an表示。
av

an nv


v
0
(v 0 b
) 1 b(v0 2b
2πR
)
2

v02 4πRb
解题思路 自然坐标中质点运动学问题也分为两类问题。 1. 第一类问题：已知自然坐标中运动方程s(t)，求质点运动 的速度、切向加速度、法向加速度，用求导法。 2. 第二类问题：已知质点运动的速度或切向加速度及初始条 件，求运动方程，用积分法。
§1.4 自然坐标系中质点运动的描述
主要内容：
1. 自然坐标系 2. 匀速率圆周运动中的加速度 3. 变速率圆周运动中的加速度 4.一般曲线运动中的加速度 5.自然坐标中系的运动学问题
一、自然坐标系
质点作曲线运动且轨迹已知时，用自然坐标描述。
在已知的运动轨迹上任选一点O为原点，从O点起沿轨迹的某
一方向量得曲线长度s(取正值),此方向为自然坐标正向。
v2 R
nv
三 变速圆周运动中的加速度
Δv vB vA Δvv Δvvn Δvv
Δvn 反映速度方向变化。
Δvv 反映速度大小变化。
av lim vv lim vvn lim vv t0 t t0 t t0 t
an

lim vn t0 t
自然坐标中质点的运动方程
s P v
s s(t) o
nv
nv
v v :切向单位矢量, 指向自然坐标正向。
P
nv :法向单位矢量, 指向轨迹曲线凹侧。
v nv 自然坐标中 ， 不是恒矢量,其方向随质点在轨迹上的位置而变化。
自然坐标中的速度： vv vv d s v
dt
二 匀速率圆周运动中的加速度
av avn av
av
lim vv t0 t
vB
B vA
Δ r Δθ
oR A
Δv vB
Δ
vv
Δvn vA
Δθ
o
a反n 映出质点速度方向的变化，称为法向加速度。
avn

lim
t 0
vvn t
= lim t 0
|
Δvvn|nv= v 2 Δt R
质点作半径为R速率为v的匀速圆周运动
Δv vB vA
a lim Δv Δt0 Δ t
a的大小
a a lim Δv Δt0 Δ t
Δv
vA
vB Δθ o
vB
B vA
Δ r
Δθ
oR
A
由几何关系
Δv Δ r

v R
Δv v Δ r a v lim Δ r v 2