理论力学_刚体的平面运动

①以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转1 角到A'B'
②以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点转2 角到A'B'
图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有
lim
t0
1 t
lim
t0
2 t
,1 2
;
d1
dt
d2
dt
,1
2
10
所以，平面图形随基点平动与基点的选择有 关，而绕基点的转动与基点的选取无关．(即在
待求点 基点 即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法， 也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
二．速度投影法 将上式在AB上投影：
vB AB vA AB 或 vB cos vA cos
即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影等．这 就是 速度投影定理．利用这以定理求平面图形上点的速度的 方法称为速度投影法。速度投影定理反映了刚体上任意两点间 的距离保持不变的特性。
aB
/
O2 B;
而 O AO Bl
1
2
1 2 ;1 2.
30
(b) AB作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时 AB 0, vA vB
O A O B l,
1
2
1 vA / O1A,
23
例3：图示机构，曲柄OA以ω0转动。设 OA=AB=r，图示瞬时O、B、C在同一铅直
线上，求此瞬时点B和C的速度。
解：（1）以OA为研究对象：
vA=rω0，方向⊥OA
（2）以AB为研究对象：
AB
vA AI AB
r0
r/2
20
ωBC
vA
ωAB
IAB
vB
vB AB BI AB 3r0 IBC
14
三．速度瞬心法 1. 问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大 简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等 于零？如果存在的话，该点如何确定？
２．瞬时速度中心（简称速度瞬心）
平面图形S，某瞬时其上一点O速度vO , 图形角速度，沿 vO方向取半直线OL, 然
1
§6-1 刚体平面运动的运动方程
刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为 复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的 基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述 两种基本运动．然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚 体上一点的速度和加速度的计算公式． 一．平面运动的定义
aA
AB
aB
AB
即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时
图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等．
27
③由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且
一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用 基点法求图形上各点的加速度或图形角加速度．
[*例4] 半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速度vO 及加速度 aO ,求车轮与轨道接触点I的加速度．
滑块B的速度及AB杆的角速度．
解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。
①基点法（合成法）
研究 AB，以 A为基点，且vA l , 方向如图示。
根据 vB vA vBA,
在Ｂ点作 速度平行四边形，如图示。
vB vA /cos l/cos45 2l()
vBA vAtg ltg45 l
可确定出I点为速度瞬心
vA l , AI l AB vA / AI l / l （ ）
vB BI AB 2l ()
试比较上述三种方法的特点。
22
例2：绕线轮作纯滚动，其上圆柱部分的绕线以u水平向右运动， 求O、A、C、D点的速度。
解：
u
Rr
（
）
vO=ωR= vA=2ωR= vC=ω·IC= vD=ω ·ID=
置，S的位置也就确定了。
任意线段O’A的位置也就是平面图形
S 的位置决定于 xo' , yo' , 三个独
立的参变量。当平面图形运动时，
它们 是时间t的单值连续函数。所以
刚体平面运动方程
xo' f1( t ) yo' f2( t )
f3(t )
6
§6-2 平面运动分解为平动和转动
由上式知：
18
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相 同，且不与AB连线 垂直．
此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角
速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称
为瞬时平动. (此时各点的加速度不相等)
对④(a)的情况，若vA＝vB， 也是瞬时平动．
19
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动．
加速度指向轮心． 29
[例5] 已知O1A=O2B=l, 图示瞬时 O1A/O2B
试问(a),(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？
(a)
(b)
解：(a) AB作平动，
vA vB , aA aB
(a
A
aB , aAn aBn )
又
1
vA
/
O1 A, 2
vB
/
O2 B;
1
a
A
/
O1A, 2
此时连杆BC的图形角速度 BC 0, vB vC ，
BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等．
设匀，则 aB aBn AB 2 ac 瞬时平动≠平动不同
20
[例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，
曲柄OA以匀 转动。 求：当 =45º时,
3
请 看 动 画
4
二、刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的 运动
A1A2作平动 A点代表A1A2的运动 ．．．．．． S代表刚体的运动
因此，在研究平面运动时， 不需考虑刚体的形状和尺寸，只 需研究平面图形的运动，确定平 面图形上各点的速度和加速度．
5
三．运动方程
为了确定平面图形的运动，取静系Oxy，在图形上任取一 点O’（称为基点），并取任一线段O’A，只要确定了O’A的位
速度瞬心在I点。以I点为基点，有：
vA vI vAI vAI 即 vA大小：vA=AI·
方向：⊥AI与一致
同理： vM vMI
即：平面图形上任一点的速度，就是该点随图形绕该瞬时图 形的速度瞬心转动的速度。也就是：某瞬时图形上任一点的 速度的大小等于该点到速度瞬心的距离与图形此瞬时角速度 的乘积，方向垂直与该点到速度瞬心的连线与角速度一致1。6
aB aA aBA aBAn
25
aB aA aBA aBAn
其中：aBA AB ，方位AB，指向与 一致； aBAn AB 2 ，方向：B→A。
即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕
基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度
的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速
若 xo' , yo' 为常量，则平面图形作
定轴转动。
若 为常量，则平面图形作平动。
故刚体平面运动可以看成是平动和转动的
合成运动，选择以作平动的坐标系O’x’y’铰接于O’点（基点） 则：平面图形的运动（绝对运动）=
图形随动系（基点O’）的平动（牵连运动） +图形相对于动系绕基点的转动（相对运动） 注意动系是在基点与刚体铰接，动系作平动，图形相对于 基点可以转动。
刚体运动时，其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不 变．也就是说，刚体上任一点都在与某固定平面平行的平面内运 动．这种运动称为刚体的平面运动．
2
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动， 而是平面运动．
注意： （1）平面运动刚体内各点的运动是不同 的； （2）不能把平面运动与平动混为一谈。
点A的加速度 aA 等值反向，其绝对加速度 aQ 0
Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心．
[注] ①一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点． ②一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关
系式. 即一般情况下,图形上任意两点A, B的加速度
aA AB aB AB
若某瞬时图形 =0, 即瞬时平动, 则有
动系作平动。则动点B点的运
动可视为牵连运动为平动和相
对运动为圆周运动的合成：va vB ;ve vA ;vr vBA ,
其中：vBA大小vBA= ·AB，方位：⊥AB，指向与 转向一致． 根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
vB vA vBA
13
vB vA vBA
同一瞬间，图形绕任一基点转动的 ,都是相同
的）基点的选取是任意的。(通常选取运动情况 已知的点作为基点)
11
曲柄连杆机构
AB杆作平面运动 平面运动的分解
（请看动画） 12
§6-3 平面图形内各点的速度
一．基点法（合成法）
已知：图形S内一点A的速度 vA ， 图形角速度 求：vB 取A为基点, 将动系铰接于A点,
（3）以BC为研究对象：
vC
vC
BC
CI BC
vB BI BC
CI BC
vB sin 600
3 2
r
0
()
24
§6-4 平面图形内各点的加速度
一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度 aA 和图形
的 , （某一瞬时）。
求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。
取A为基点，将平动坐标系铰接于A点， 取B动点，则B点的运动分解为相对运动 为圆周运动和牵连运动为平动． aa aB ; ae aA ; ar aBA aBA aBAn 由动系作平动时的加速度合成定理 aa ae ar 可得：
AB vBA/ ABl /l （ ）
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②速度投影法 研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线
根据速度投影定理 vB AB vA AB
vB cos(900 ) vA
vB
v
A / sin 2l()
l
/
sin
45
不能求出
AB
③速度瞬心法
I
研究AB，已知 vA , vB的方向，因此
后顺 的转向转90o至OL‘的位置,在OL’上
取长度 OI vO / 则： vIO OI vO 方位⊥IO，指向与vO 相反。所以
vI=0
15
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（I）．
３．速度瞬心又称为瞬时转动中心
设某瞬时平面图形的角速度为，
度的基本方法。
上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求
出其余两个。由于
aBA ,
a
n BA
方位总是已知，所以在使用该公式
中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。
为何没有 ac？
26
*二．加速度瞬心．
由于aBA , aBAn的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以
在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度 aQA 大小恰与基
a n : an R 2 v2 / R,方向：I O
IO IO
O
将(*)式分别向ξ、η轴投影：
aIO
aI
a
O
a
IO
0
aI aInO vO2 / R
η
n
aIO
aO
ξ
aI vO2 / R, 方向：I O
由此看出，速度瞬心I 的加速度并不等于零，即它不是加速
度瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心I的
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③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 vA ,vB
的方向，且 vA 不平行 vB
过A , B两点分别作速度 vA ,vB的垂线,交点
I即为该瞬间的速度瞬心.
④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 vA , vB
大小,且 vAAB, vBAB
③④均有：
vA vB
I
AI BI
(a)
I
I (b)
7
例如 车轮的运动．
O
车轮的平面运动可以看成 是车轮随同车厢的平动和相对 车厢的转动的合成．
车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）
车厢（动系O x y ) 相对静系的平动 （牵连运动） 车轮相对车厢（动系O x y）的转动 （相对运动）
8
车轮的平面运动
随基点A的平动
绕基点A'的转动 9
再例如: 平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II
平面图形的运动可以看成是绕它的一系列速度瞬心作瞬时转动。 注意：速度瞬心的加速度不为于零。 4．确定速度瞬心位置的方法
①已知图形上一点的速度vA 和图形角
速度，则速度瞬心
AI vA / , AI vA 且I在 vA顺转向绕A点转90º的方向一侧。
②已知一平面图形在固定面上作无滑动的
滚动（或称纯滚动）, 则图形与固定面的 接触点I为速度瞬心。
解：轮O作平面运动，I为速度瞬心， vO /R （ ）
由于此式在任何瞬时都成立，且O点作 直线运动，故而
I
d 1 dvO aO
dt R dt R
（
）
28
以O点为基点，则 aI ao aIO aInO ——（*）
aI : aI ? 方向？
aO : aIO : aIO R aO ,方位 IO指向假设