随机数据建模经验模型分布检验与预测
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上式中：Y ——时间序列的数值 T ——趋势成分
S ——季节成分 I ——不规则成分
2020/5/24
28
2、 时间序列的预测
2.1 移动平均法
移动平均法是用一组最近的实际数据值来预测 时间序列未来值的一种常用方法。它是采用逐项 递移的办法分别计算一系列移动的序时平均 数．形成一个新的派生序时平均数时间数列。在 这个派生的时间数列中，短期的偶然因素引起的 变动被削弱，从而呈现出现象在较长时间的基本 发展趋势。
• 趋势通常是长期因素影响的结果，如人口总 量的变化、方法的变化等等
长期 影响因素
时间序列的 长期动向
趋势成分
2020/5/24
21
1.2 循环成分
• 时间序列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。 • 任何时间间隔超过一年的，环绕趋势线的上、 下波动，都可归结为时间序列的循环成分。
围绕长期趋势线 的上下波动
-4
-1.2
-0.7
-2.4 -2.3 -3-3.1
-0-.19.1
-2.2 -2.5 -3.2
-3.6
-1.5
-1.7
-2.4
-3 -3 -3.4
时间
分析： 根据对数据散布图的分析，采用函数
x(t)=asin[b(t－t*)]， 其中x(t* )=0 或采用函数
x(t)=asin(bt)+ccos(bt) 需估计振幅 a 和 频率b
误差分析：这一时刻潮位的实际观察值为4.1 米，相对误差大约是12%,请考虑一下成因。
2020/5/24
16
海浪高
5
4
3 2.4
2
1
1.2
0
-0.1
3.34.6 2.9
2.1 1.6
0.2
0.2
3.6 2.9 3.1
2 1.3
0.06.6
3.39.6 2.9
2.5
1
3.5 2.2
0.2
-1
-1.5 -1.6 -2
例如，9月份电能消费量比8月份下降3%，可 能仅仅是由于空调使用减少这一季节影响引起的， 而不是因为长期用电量的减少。事实上，在调整季 节影响后，我们甚至可能发现用电量是增加的。
2020/5/24
27
时间序列一般有两种的模型：乘法模型
和加法模型。
• 乘法模型： Y T S CI
• 加法模型： Y T S C I
2020/5/24
8
关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：
44
土豆产量
42
40
38
36
34
32
可选择威布尔模型：
30 0
24 49 73 98 147 196 245 294 342 磷肥施肥量
y A BeKx , x 0 合理性如
也可以选择S函数：
y
1 a be x
,x
0
何？ 哪个模型
更好？
y
1
a be x
令 y 1 , x ex
y a bx
y
对数据进行相应变换，可估计出
aˆ = 0.0232， bˆ = 0.0073， 得到磷施肥量和
土豆产量的经验公式
y
0.0232
1 0.0073 e x
x≥0
分析：有 lim y 43 ，与目测法的结论惊人一致。
x
2020/5/24
19
观察图发现数据点都位于直线 y=43的下方，并 且数据点越来越靠近这条直线，可以估计A=43 。
如何估计B、K ？
2020/5/24
12
例3 （见P158例7.2.1） 表中给出了12月1日 （星期二）和12月2日（星期三）两天内的海 浪潮高度值（相对于海堤上的零标尺记号，以 米为单位）。
我们能依据此表来预测12月5日（星期六） 下午1：00的海浪高度值吗？
• 数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学 关系式，但公式中几乎总是涉及一些参数。
求模型中参数的估计值有三种常用方法： 图解法、统计法、机理分析法
1．图解法 对经验模型的精度要求不高，只需对参数做
出粗略估计时可采用图解法。
2020/5/24
11
磷肥
关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：
施肥 量
44
2020/5/24
9
• 初值 • 极限 • 趋势
合理性分析
y A BeKx , x 0 威布尔模型
y
1
,x 0
a be x
S函数
优点分析：S 模型所含参数更少，另外若令
y 1 , x ex, y
可得线性模型 y a bx
思考：威布尔模型有无优点？
2020/5/24
10
二、模型的参数估计
-3.6
-1.5 -1.7 -2.4 -3 -3 -3.4
时间
2020/5/24
13
海浪高
5
4
3
2
2.4
1
1.2
0
-0.1
3.34.6 2.9
2.1 1.6
0.2
0.2
3.6 2.9 3.1
2 1.3
0.06.6
3.39.6 2.9
2.5
1
3.5 2.2
0.2
-1
源自文库-1.5 -1.6
-2
-3
-2-.35-2.7
2020/5/24
2
寻找或选择适当的函数拟合变量之间的关系 （函数关系或回归关系）是重要的环节。
一 1）绘制数据散布图（或连线图）；
般 2）分析数据散布图（或连线图） ；
步 骤
3）选择函数关系形式。
通过分析数据散布图可以获得对变量间关系 的感性认识，形成初步的看法，以便于对问题 做进一步的分析。
2020/5/24
2020/5/24
7
例2
土豆产量
描述氮肥施肥量与土豆产量间的变量关系
可选二次函数
y=b0 + b1 x +b2 x2
50 45 40 35 30 25 20 15 10
5 0
0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 氮肥施肥量
注：其中 b0= y(0) = 15.18
我们怎样考虑这些细节来修改模型，以获得 更准确的预报呢？
2020/5/24
17
2. 统计法
参数估计的统计处理，往往运用最小二乘 法估计。
原理在《概率论与数理统计》中已有详细 介绍，这里略。
特点：统计分析法应用于变量间存在相关关 系的情形，并且需要较多数据为基础。
2020/5/24
18
例3 磷施肥量和土豆产量 的回归函数选为
-3
-2-.35-2.7
-4
-1.2
-0.7
-2.4 -2.3 -3-3.1
-0-.19.1
-2.2 -2.5 -3.2
-3.6
-1.5 -1.7 -2.4 -3 -3 -3.4
时间
思考：仔细分析图，可发觉图中 (1 ) x=0似乎不是海浪高低潮位的中值; (2) 振幅随时间的延续似乎在轻微地增大。
0
土豆产量
42
24
40
49
38
73
36
34
98
32
30 0
24 49 73 98 147 196 245 294 342 磷肥施肥量
147 196 245
威布尔模型:
y A BeKx , x 0
294 342
土豆 产量
33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73
1.6 1.63 1.67 1.71 1.78 1.85
2020/5/24
5
选择函数关系形式
原则
1. 形式尽可能简洁，尽可能线性化； 2. 依据实际问题的精度要求，合乎实际规律。
续例1 选择幂函数 W= cHa , 描述身高体重关 系，有何优点？
优点： 此函数可以线性化。
如何线性化？
2020/5/24
三、时间序列预测
1、 时间序列的成分
一个时间序列中往往由几种成分组成，通常假定是四 种独立的成分——趋势、循环、季节和不规则。
时间序列的 四种独立成分
趋势 (Trend)
循环
季节
不规则
(Cyclical) (Seasonal) (Irregular)
2020/5/24
20
1.1 趋势成分
• 在一段较长的时间内，时间序列往往呈现逐 渐增加或减少的总体趋势。时间序列逐渐转变 的性态称为时间序列的趋势。
6
W= cHa 两边取对数，有
lnW a ln H ln c 令 y lnW , x ln H,b ln c
变换为线性函数
5 4.5
4 3.5
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0
y= ax + b
-0.3 -0.2 -0.1 0.08 0.11 0.15
0.3 0.41 0.44 0.47 0.49 0.51 0.54 0.58 0.62
• 不规则成分是由那些影响时间序列的短期的、 不可预期的和不重复出现的因素引起的。它是 随机的、无法预测的。
短期的，不可预期 和不重复出现的因素
引起的随机变动
不规则成分
2020/5/24
25
分离出趋势成分
不
时
规
间
分离出循环成分
则
序
成
列
分
分离出季节成分
2020/5/24
26
商业和经济中的许多情形是一期与一期的比较。 例如，我们想研究和了解失业人数是否比上个月上 升1%，钢产量是否比上个月上升5%等问题。在使 用这些资料时，必须十分小心。因为每当描述季节 影响时，这样的比较会使人产生误解。
海浪高
5
4
3 2.4
2
1
1.2
0
-0.1
3.34.6 2.9
2.1 1.6
0.2
0.2
3.6 2.93.1
2 1.3
0.06.6
3.39.6 2.9 2.5
1
3.5 2.2
0.2
-1
-1.5 -1.6
-2
-3
-2-.35-2.7
-4
-1.2
-0.7
-2.4 -2.3 -3-3.1
-0-.19.1
-2.2 -2.5 -3.2
例如经济危机
趋势成分
2020/5/24
22
1.3 季节成分
• 许多时间序列往往显示出在一年内有规则的 运动，这通常由季节因素引起，因此称为季节 成分。
季节因素引起的一 年内有规则的运动
季节成分
例如，一个衬衣制造商在秋季和冬季各月有较低的 销售活动，而在春季和夏季各月有较高的销售量。
防寒衣物的制造商的销售却正好相反。
2020/5/24
23
季节成分的扩展
季节成分也可用来描述任何持续时间小于 一年的、有规则的、重复的运动。
例如，每天的交通流量资料显示在一天内 的“季节”情况，在上、下班拥挤时刻出现高 峰，在一天的休息时刻和傍晚出现中等流量， 在午夜到清晨出现小流量。
2020/5/24
24
1.4 不规则成分
• 时间序列的不规则成分是剩余的因素，它用 来说明在分离了趋势、循环和季节成分后，时 间序列值的偏差。
3
分析数据散布图
分析数据散布图，可得出变量的关系是：
1. 线性的还是非线性的？ 2. 有无周期？ 3. 呈现何种变化趋势？变化率如何…
例1 建立一个简洁的函数关系式来描述某个地 区人的身高和体重的对应关系，数据见表7.4 （p156）。
曲线特征：体重W 随身高H 的增长而单 调增长，但可以观察到是非线性增长。
随机数据建模
—— 经验模型 基于要素分解的时间序列预测 分布检验
2020/5/24
1
一、经 验 模 型
在建立数学模型的过程中，经常需要建立变 量之间的关系，但往往由于对研究对象的内部 机理不甚了解，不能通过合理的假设，或根据 物理定律、原理，经过机理分析法而得到。
可借助于由实验或测量得到的一批离散数据， 通过对数据充分观察和分析，获得数据所含信 息，揭示变量间的内在联系，并选择适当的数 学式对变量间的关系进行拟合，建立经验模型， 或者进行数据曲线拟合。
根据预测时使用的各元素的权重不同，可以分 为简单移动平均和加权移动平均。
2020/5/24
29
简单移动平均法
将最近的N期数据加以平均，作为下一期的预测值。 当时间序列的变动趋势为线性时，可以用简单移动 平均法进行分析。简单移动平均法对各元素给的权 重都相等。计算公式如下
1 N
M t1 N
At j 1
2020/5/24
4
身高 体重
0.75 10
0.85 12
0.95 15
80
体重
1.08 17
70
60
1.12 20
50
1.16 22
40
1.35 35
30
1.51 41
20
1.55 48
10
1.6 50
0
1.63 51 身高
1.67 54
1.71 59
1.78 66
1.85 75
0.75 0.85 0.95 1.08 1.12 1.16 1.35 1.51 1.55
（1） （2）
解决方法：直接量出高低浪之间的高度差为
6.6米，
aˆ 3.3（米）
2020/5/24
14
量出海浪变化周期约为12.3小时
2 12.3
bˆ 0.511 （每小时）
b
得经验模型 x(t)=3.3sin[0.511(t－t*)] t≥0。
将频率的估计代入（2）式，有
x(t)=asin(0.511t)+ccos(0.511t)
代入x(0)=c=2.4 及 x(23)=3.6
aˆ 2.7
得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型
x(t)=2.4cos(0.511t)－2.7sin(0.511t)， t≥0。
2020/5/24
15
模型应用 预测12月5日下午1:00的海浪潮高度为
x(109) = 2.4cos(5.11×109) －2.7sin(5.11×109) =2.4cos(55.7)－2.7sin(55.7) =2.4cos(5.430－2.7sin(55.7)≈3.6(米)
S ——季节成分 I ——不规则成分
2020/5/24
28
2、 时间序列的预测
2.1 移动平均法
移动平均法是用一组最近的实际数据值来预测 时间序列未来值的一种常用方法。它是采用逐项 递移的办法分别计算一系列移动的序时平均 数．形成一个新的派生序时平均数时间数列。在 这个派生的时间数列中，短期的偶然因素引起的 变动被削弱，从而呈现出现象在较长时间的基本 发展趋势。
• 趋势通常是长期因素影响的结果，如人口总 量的变化、方法的变化等等
长期 影响因素
时间序列的 长期动向
趋势成分
2020/5/24
21
1.2 循环成分
• 时间序列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。 • 任何时间间隔超过一年的，环绕趋势线的上、 下波动，都可归结为时间序列的循环成分。
围绕长期趋势线 的上下波动
-4
-1.2
-0.7
-2.4 -2.3 -3-3.1
-0-.19.1
-2.2 -2.5 -3.2
-3.6
-1.5
-1.7
-2.4
-3 -3 -3.4
时间
分析： 根据对数据散布图的分析，采用函数
x(t)=asin[b(t－t*)]， 其中x(t* )=0 或采用函数
x(t)=asin(bt)+ccos(bt) 需估计振幅 a 和 频率b
误差分析：这一时刻潮位的实际观察值为4.1 米，相对误差大约是12%,请考虑一下成因。
2020/5/24
16
海浪高
5
4
3 2.4
2
1
1.2
0
-0.1
3.34.6 2.9
2.1 1.6
0.2
0.2
3.6 2.9 3.1
2 1.3
0.06.6
3.39.6 2.9
2.5
1
3.5 2.2
0.2
-1
-1.5 -1.6 -2
例如，9月份电能消费量比8月份下降3%，可 能仅仅是由于空调使用减少这一季节影响引起的， 而不是因为长期用电量的减少。事实上，在调整季 节影响后，我们甚至可能发现用电量是增加的。
2020/5/24
27
时间序列一般有两种的模型：乘法模型
和加法模型。
• 乘法模型： Y T S CI
• 加法模型： Y T S C I
2020/5/24
8
关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：
44
土豆产量
42
40
38
36
34
32
可选择威布尔模型：
30 0
24 49 73 98 147 196 245 294 342 磷肥施肥量
y A BeKx , x 0 合理性如
也可以选择S函数：
y
1 a be x
,x
0
何？ 哪个模型
更好？
y
1
a be x
令 y 1 , x ex
y a bx
y
对数据进行相应变换，可估计出
aˆ = 0.0232， bˆ = 0.0073， 得到磷施肥量和
土豆产量的经验公式
y
0.0232
1 0.0073 e x
x≥0
分析：有 lim y 43 ，与目测法的结论惊人一致。
x
2020/5/24
19
观察图发现数据点都位于直线 y=43的下方，并 且数据点越来越靠近这条直线，可以估计A=43 。
如何估计B、K ？
2020/5/24
12
例3 （见P158例7.2.1） 表中给出了12月1日 （星期二）和12月2日（星期三）两天内的海 浪潮高度值（相对于海堤上的零标尺记号，以 米为单位）。
我们能依据此表来预测12月5日（星期六） 下午1：00的海浪高度值吗？
• 数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学 关系式，但公式中几乎总是涉及一些参数。
求模型中参数的估计值有三种常用方法： 图解法、统计法、机理分析法
1．图解法 对经验模型的精度要求不高，只需对参数做
出粗略估计时可采用图解法。
2020/5/24
11
磷肥
关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：
施肥 量
44
2020/5/24
9
• 初值 • 极限 • 趋势
合理性分析
y A BeKx , x 0 威布尔模型
y
1
,x 0
a be x
S函数
优点分析：S 模型所含参数更少，另外若令
y 1 , x ex, y
可得线性模型 y a bx
思考：威布尔模型有无优点？
2020/5/24
10
二、模型的参数估计
-3.6
-1.5 -1.7 -2.4 -3 -3 -3.4
时间
2020/5/24
13
海浪高
5
4
3
2
2.4
1
1.2
0
-0.1
3.34.6 2.9
2.1 1.6
0.2
0.2
3.6 2.9 3.1
2 1.3
0.06.6
3.39.6 2.9
2.5
1
3.5 2.2
0.2
-1
源自文库-1.5 -1.6
-2
-3
-2-.35-2.7
2020/5/24
2
寻找或选择适当的函数拟合变量之间的关系 （函数关系或回归关系）是重要的环节。
一 1）绘制数据散布图（或连线图）；
般 2）分析数据散布图（或连线图） ；
步 骤
3）选择函数关系形式。
通过分析数据散布图可以获得对变量间关系 的感性认识，形成初步的看法，以便于对问题 做进一步的分析。
2020/5/24
2020/5/24
7
例2
土豆产量
描述氮肥施肥量与土豆产量间的变量关系
可选二次函数
y=b0 + b1 x +b2 x2
50 45 40 35 30 25 20 15 10
5 0
0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 氮肥施肥量
注：其中 b0= y(0) = 15.18
我们怎样考虑这些细节来修改模型，以获得 更准确的预报呢？
2020/5/24
17
2. 统计法
参数估计的统计处理，往往运用最小二乘 法估计。
原理在《概率论与数理统计》中已有详细 介绍，这里略。
特点：统计分析法应用于变量间存在相关关 系的情形，并且需要较多数据为基础。
2020/5/24
18
例3 磷施肥量和土豆产量 的回归函数选为
-3
-2-.35-2.7
-4
-1.2
-0.7
-2.4 -2.3 -3-3.1
-0-.19.1
-2.2 -2.5 -3.2
-3.6
-1.5 -1.7 -2.4 -3 -3 -3.4
时间
思考：仔细分析图，可发觉图中 (1 ) x=0似乎不是海浪高低潮位的中值; (2) 振幅随时间的延续似乎在轻微地增大。
0
土豆产量
42
24
40
49
38
73
36
34
98
32
30 0
24 49 73 98 147 196 245 294 342 磷肥施肥量
147 196 245
威布尔模型:
y A BeKx , x 0
294 342
土豆 产量
33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73
1.6 1.63 1.67 1.71 1.78 1.85
2020/5/24
5
选择函数关系形式
原则
1. 形式尽可能简洁，尽可能线性化； 2. 依据实际问题的精度要求，合乎实际规律。
续例1 选择幂函数 W= cHa , 描述身高体重关 系，有何优点？
优点： 此函数可以线性化。
如何线性化？
2020/5/24
三、时间序列预测
1、 时间序列的成分
一个时间序列中往往由几种成分组成，通常假定是四 种独立的成分——趋势、循环、季节和不规则。
时间序列的 四种独立成分
趋势 (Trend)
循环
季节
不规则
(Cyclical) (Seasonal) (Irregular)
2020/5/24
20
1.1 趋势成分
• 在一段较长的时间内，时间序列往往呈现逐 渐增加或减少的总体趋势。时间序列逐渐转变 的性态称为时间序列的趋势。
6
W= cHa 两边取对数，有
lnW a ln H ln c 令 y lnW , x ln H,b ln c
变换为线性函数
5 4.5
4 3.5
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0
y= ax + b
-0.3 -0.2 -0.1 0.08 0.11 0.15
0.3 0.41 0.44 0.47 0.49 0.51 0.54 0.58 0.62
• 不规则成分是由那些影响时间序列的短期的、 不可预期的和不重复出现的因素引起的。它是 随机的、无法预测的。
短期的，不可预期 和不重复出现的因素
引起的随机变动
不规则成分
2020/5/24
25
分离出趋势成分
不
时
规
间
分离出循环成分
则
序
成
列
分
分离出季节成分
2020/5/24
26
商业和经济中的许多情形是一期与一期的比较。 例如，我们想研究和了解失业人数是否比上个月上 升1%，钢产量是否比上个月上升5%等问题。在使 用这些资料时，必须十分小心。因为每当描述季节 影响时，这样的比较会使人产生误解。
海浪高
5
4
3 2.4
2
1
1.2
0
-0.1
3.34.6 2.9
2.1 1.6
0.2
0.2
3.6 2.93.1
2 1.3
0.06.6
3.39.6 2.9 2.5
1
3.5 2.2
0.2
-1
-1.5 -1.6
-2
-3
-2-.35-2.7
-4
-1.2
-0.7
-2.4 -2.3 -3-3.1
-0-.19.1
-2.2 -2.5 -3.2
例如经济危机
趋势成分
2020/5/24
22
1.3 季节成分
• 许多时间序列往往显示出在一年内有规则的 运动，这通常由季节因素引起，因此称为季节 成分。
季节因素引起的一 年内有规则的运动
季节成分
例如，一个衬衣制造商在秋季和冬季各月有较低的 销售活动，而在春季和夏季各月有较高的销售量。
防寒衣物的制造商的销售却正好相反。
2020/5/24
23
季节成分的扩展
季节成分也可用来描述任何持续时间小于 一年的、有规则的、重复的运动。
例如，每天的交通流量资料显示在一天内 的“季节”情况，在上、下班拥挤时刻出现高 峰，在一天的休息时刻和傍晚出现中等流量， 在午夜到清晨出现小流量。
2020/5/24
24
1.4 不规则成分
• 时间序列的不规则成分是剩余的因素，它用 来说明在分离了趋势、循环和季节成分后，时 间序列值的偏差。
3
分析数据散布图
分析数据散布图，可得出变量的关系是：
1. 线性的还是非线性的？ 2. 有无周期？ 3. 呈现何种变化趋势？变化率如何…
例1 建立一个简洁的函数关系式来描述某个地 区人的身高和体重的对应关系，数据见表7.4 （p156）。
曲线特征：体重W 随身高H 的增长而单 调增长，但可以观察到是非线性增长。
随机数据建模
—— 经验模型 基于要素分解的时间序列预测 分布检验
2020/5/24
1
一、经 验 模 型
在建立数学模型的过程中，经常需要建立变 量之间的关系，但往往由于对研究对象的内部 机理不甚了解，不能通过合理的假设，或根据 物理定律、原理，经过机理分析法而得到。
可借助于由实验或测量得到的一批离散数据， 通过对数据充分观察和分析，获得数据所含信 息，揭示变量间的内在联系，并选择适当的数 学式对变量间的关系进行拟合，建立经验模型， 或者进行数据曲线拟合。
根据预测时使用的各元素的权重不同，可以分 为简单移动平均和加权移动平均。
2020/5/24
29
简单移动平均法
将最近的N期数据加以平均，作为下一期的预测值。 当时间序列的变动趋势为线性时，可以用简单移动 平均法进行分析。简单移动平均法对各元素给的权 重都相等。计算公式如下
1 N
M t1 N
At j 1
2020/5/24
4
身高 体重
0.75 10
0.85 12
0.95 15
80
体重
1.08 17
70
60
1.12 20
50
1.16 22
40
1.35 35
30
1.51 41
20
1.55 48
10
1.6 50
0
1.63 51 身高
1.67 54
1.71 59
1.78 66
1.85 75
0.75 0.85 0.95 1.08 1.12 1.16 1.35 1.51 1.55
（1） （2）
解决方法：直接量出高低浪之间的高度差为
6.6米，
aˆ 3.3（米）
2020/5/24
14
量出海浪变化周期约为12.3小时
2 12.3
bˆ 0.511 （每小时）
b
得经验模型 x(t)=3.3sin[0.511(t－t*)] t≥0。
将频率的估计代入（2）式，有
x(t)=asin(0.511t)+ccos(0.511t)
代入x(0)=c=2.4 及 x(23)=3.6
aˆ 2.7
得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型
x(t)=2.4cos(0.511t)－2.7sin(0.511t)， t≥0。
2020/5/24
15
模型应用 预测12月5日下午1:00的海浪潮高度为
x(109) = 2.4cos(5.11×109) －2.7sin(5.11×109) =2.4cos(55.7)－2.7sin(55.7) =2.4cos(5.430－2.7sin(55.7)≈3.6(米)