空间直角坐标变换
由空间直角坐标计算大地坐标的简便公式
由空间直角坐标计算大地坐标的简便公式
大地坐标（也称为地理坐标系统）是指以地球表面坐标系统来描述地球上特定位置所需要的参数，位置大多以经纬度角坐标表示，其中经度是纬线沿赤道的弧线的长度表示的地理位置的角度，而纬度则用来表示和赤道的角度。
从地表坐标（X、Y、Z坐标）计算大地坐标（经度、纬度）的公式很简单，可以通过X、Y、Z的坐标值求出经度和纬度值。
从地表坐标到大地坐标的公式
经度（Longitude）：L = Arctan (Y/X)
纬度（Latitude）：H = Arctan (Z/sqrt(X^2 + Y^2))
其中，Arctan是反正切函数。
这里使用的坐标系统是地焊坐标系（GCS），这种坐标系统与空间直角坐标系统（ECS）的原理是不同的。
但是，他们的计算公式是相同的，无论采用哪一种坐标系统，只要使用相同的经度/纬度，从地表坐标到大地坐标都可以用这些简单的公式来求解。
简单来说，从空间直角坐标到大地坐标的计算公式可以用Arctan（Y/X）和Arctan
（Z/sqrt(X^2 + Y^2）来实现，而Arctan（Y/X）可以用来求取经度，Arctan
（Z/sqrt(X^2 + Y^2）则可以用来求取纬度。
从以上可以看出，从空间直角坐标转换到大地坐标的计算公式十分的简单，不仅可以快速的计算出经度、纬度的值，而且也可以提高整个计算的准确度。
因此，空间直角坐标系统被广泛的应用于各个领域。
大地坐标及直角空间坐标转换计算公式
大地坐标与直角空间坐标转换计算公式一、参心大地坐标与参心空间直角坐标转换1名词解释：A ：参心空间直角坐标系：a) 以参心0为坐标原点；b) Z 轴与参考椭球的短轴（旋转轴）相重合；c) X 轴与起始子午面和赤道的交线重合；d) Y 轴在赤道面上与X 轴垂直.构成右手直角坐标系0-XYZ ；e) 地面点P 的点位用（X.Y.Z ）表示；B ：参心大地坐标系：a) 以参考椭球的中心为坐标原点.椭球的短轴与参考椭球旋转轴重合；b) 大地纬度B ：以过地面点的椭球法线与椭球赤道面的夹角为大地纬度B ；c) 大地经度L ：以过地面点的椭球子午面与起始子午面之间的夹角为大地经度L ；d) 大地高H ：地面点沿椭球法线至椭球面的距离为大地高H ；e) 地面点的点位用（B.L.H ）表示。
2 参心大地坐标转换为参心空间直角坐标：⎪⎭⎪⎬⎫+-=+=+=B H e N Z L B H N Y L B H N X sin *])1(*[sin *cos *)(cos *cos *)(2公式中.N 为椭球面卯酉圈的曲率半径.e 为椭球的第一偏心率.a 、b 椭球的长短半径.f 椭球扁率.W 为第一辅助系数ab a e 22-= 或 ff e 1*2-= Wa N B W e =-=22sin *1( XX80椭球参数：长半轴a=6378140±5（m ）短半轴b=6356755.2882m扁 率α=1/298.2573 参心空间直角坐标转换参心大地坐标 []N BY X H H e N Y X H N Z B XY L -+=+-++==cos ))1(**)()(*arctan()arctan(22222 二 高斯投影及高斯直角坐标系1、高斯投影概述高斯-克吕格投影的条件：1. 是正形投影；2. 中央子午线不变形高斯投影的性质：1. 投影后角度不变；2. 长度比与点位有关.与方向无关；3. 离中央子午线越远变形越大为控制投影后的长度变形.采用分带投影的方法。
空间几何中的坐标系与空间直角坐标
空间几何中的坐标系与空间直角坐标在空间几何学中，坐标系是用来描述和表示点、线、面等几何对象的系统。
坐标系将空间划分为不同的区域，并给出了每个点在这个区域内的位置。
而空间直角坐标则是其中一种常见的坐标系，它使用三个相互垂直的轴来确定一个点的位置。
本文将介绍空间几何中的坐标系及空间直角坐标的应用。
一、坐标系的概念与常见类型坐标系是一种将几何空间划分为不同区域，并用数值（坐标）来描述点在空间中的位置的系统。
常见的坐标系类型有直角坐标系、极坐标系、球坐标系等。
其中，直角坐标系是应用最广泛的一种坐标系。
二、直角坐标系的定义与构建直角坐标系是在空间中以三条相互垂直的坐标轴为基准，来确定一个点的位置。
三条坐标轴互相垂直且两两相交于一个点，称为坐标原点。
这三条坐标轴分别用X、Y、Z表示，并与数轴的正方向一致。
通过在三轴上的长度单位（通常为1），可以确定一个点的坐标。
三、空间直角坐标的表示与转换在空间直角坐标系中，一个点的坐标用一个有序三元组(x,y,z)来表示，其中x表示点在X轴上的投影长度，y表示点在Y轴上的投影长度，z表示点在Z轴上的投影长度。
当需要进行坐标系转换时，可以通过旋转和平移等操作，将一个点在一个坐标系中的坐标表示为在另一个坐标系中的坐标。
四、空间直角坐标系的应用空间直角坐标系在几何学中有着广泛的应用，特别是在计算几何、解析几何以及物理学等领域。
它可以用于描述物体的位置、方向和运动等。
五、坐标系的研究进展与应用前景随着科学技术的发展，空间几何学中的坐标系也在不断发展与改进。
研究人员不断提出新的坐标系，并将其运用到实际问题中，为各个学科的发展做出了重要贡献。
结论空间几何中的坐标系与空间直角坐标在数学、物理学、计算机图形学等领域中扮演着重要的角色。
熟悉不同的坐标系及其应用，对于解决空间几何问题具有重要意义。
希望本文能为读者提供有关空间几何坐标系与空间直角坐标的基本概念与应用的初步了解，并对进一步学习和研究产生兴趣。
2二次曲面分类简介
或
x cos1 cos 1 cos1 x y cos2 cos 2 cos 2 y
z cos3 cos 3 cos 3 z
空间直角坐标变换
一般的空间直角坐标 (点) 变换公式:
x y
x cos1 x cos2
y cos 1 z cos y cos 2 z cos
1
d1 2 d2
z x cos3 y cos 3 z cos 3 d3
或
x cos1 cos 1 cos1 x d1 y cos2 cos 2 cos 2 y d2 ,
z cos3 cos 3 cos 3 z d3
空间直角坐标变换
空间一般坐标变换公式, 还可以由新坐标系的 三个坐标面来确定.
x2 y2 a2 b2 1;
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
二次曲面的类型
[12] 双曲柱面: [13] 一对相交平面:
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
[14] 抛物柱面:
x2 2 py;
[15] 一对平行平面:
x2 a2 , a 0.
[16] 一对平行平面:
a13 a23 a33 z
x
x
y
z
A0
y
z
用不变量判断二次曲面类型
记 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1
F2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z + b2
F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3
几何代数60----空间直角坐标变换
不同空间直角坐标系的转换
不同空间直角坐标系的转换
欧勒角
不同空间直角坐标系的转换，包括三个坐标轴的平移和坐标轴的旋转，以及两个坐标系的尺度比参数，坐标轴之间的三个旋转角叫欧勒角。
三参数法
三参数坐标转换公式是在假设两坐标系间各坐标轴相互平行，轴系间不存在欧勒角的条件下得出的。
实际应用中，因为欧勒角不大，可以用三参数公式近似地进行空间直角坐标系统的转换。
公共点只有一个时,采用三参数公式进行转换。
七参数法
用七参数进行空间直角坐标转换有布尔莎公式，莫洛琴斯基公式和范氏公式等。
下面给出布尔莎七参数公式：
坐标转换多项式回归模型
坐标转换七参数公式属于相似变换模型。
大地控制网中的系统误差一般呈区域性，当区域较小时，区域性的系统误差被相似变换参数拟合，故局部区域的坐标转换采用七参数公式模型是比较适宜的。
但对全国或一个省区范围内的坐标转换，可以采用多项式回归模型，将各区域的系统偏差拟合到回归参数中，从而提高坐标转换精度。
两种不同空间直角坐标系转换时，坐标转换的精度取决于坐标转换的数学模型和求解转换系数的公共点坐标精度，此外，还与公共点的分布有关。
鉴于地面控制网系统误差在⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000111222Z Y X Z Y X Z Y X ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000111111222000)1(Z Y X Z Y X Z Y X m Z Y X X Y X Z Y Z εεεεεε
不同区域并非是一个常数，所以采用分区进行坐标转换能更好地反映实际情况，提高坐标转换的精度。
#空间直角坐标转换之仿射变换
空间直角坐标转换之仿射变换一、仿射变换仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直线”和“平行性”，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。
此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。
该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02][y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12][1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：x’= m00*x+m01*y+m02；y’= m10*x+m11*y+m12；其示意图如下：几种典型的仿射变换：1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：[ 1 0 tx ][ 0 1 ty ][ 0 0 1 ]（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。
同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。
）2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：[ sx 0 0 ][ 0 sy 0 ][ 0 0 1 ]3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)剪切变换，变换矩阵为：[ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 0 1 ]相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。
向量的应用----求空间坐标旋转变换
- 1 -向量的应用----求空间坐标旋转变换山 石摘要：利用向量的投影意义推导出空间直角坐标转换公式，并举例应用——点绕定直线转动的问题。
此方法易理解掌握、计算简单，不仅拓宽了向量知识的应用范围，为解决三维直角坐标转换提供了一种新方法，同时对测绘学、计算机图形学都有借鉴意义。
介绍一种利用空间向量求解坐标变换关系的方法，简化了传统的坐标系之间坐标变换关系求解的复杂计算，减小了采样误差对计算结果的影响，为建立各种物体之间的位姿描述提供了有效的数学计算手段。
关键词：向量；坐标转换。
什么是三维直角坐标转换呢？简单的说：就是空间的点在两个不同空间直角坐标系中的坐标转换关系。
求解它的方法多涉及高数内容。
笔者经研究发现：利用向量知识也可以求三维直角坐标转换。
一．利用向量推导三维直角坐标转换 已知空间直角坐标系O XYZ -中一点(,,)P x y z 在另一空间直角坐标系O X Y Z ''''-的坐标(,,)x y z '''，点O'在坐标 系O XYZ -的坐标为000(,,)x y z ，且两个坐标系符合右手旋 转规则，如图一，X '轴、Y '轴、Z '轴正方向的单位向量分别为X n →'、Y n →'、Z n →'，设(,,)X X X X n x y z →''''=、Y n →'(,,)Y Y Y x y z '''=、Z n →'(,,)Z Z Z x y z '''=。
证明：将空间直角坐标系O XYZ -按OO '平移得新空间直角坐标系111O X Y Z '-，（如图一）则点(,,)P x y z 在111O X Y Z '-的坐标为000(,,)x x y y z z ---。
坐标系之间的换算
• §1 三维坐标系间的变换 • §2 二维坐标系间的变换 • §3 一维坐标系间的变换
§1 三维坐标系间的变换
地球坐标系统 表示方式
笛卡儿坐标
曲线坐标
平面直角坐标
坐标系 中心
地心
参心
站心
参 考 面
总地球椭球 参考椭球
地心大地 坐标系 参心大地 坐标系
大地体
天文 坐标系
投影平面
T
B B1 B2 Bn
X 0 Y0 Z 0 Y dK X Y Z
则误差方程 法方程
ˆL VX BY X ˆ BT PL 0 BT PBY X
Z
0 X
Y X i 0 X Yi Z i 0 Z i Yi
有
dB dX 1 1 da d L A d Y A C d dH dZ X X da A1 Y A1 Y A1C d Z Z T X 0 0 X A1 Y0 A1 Y dK A1 Z i Z Y Z 0 i Zi 0 Xi Yi X X X da X i Y A 1 Y A 1 Y A 1C d 0 Z Z Z
顾及
0 QX i Z X Yi Z i 0 Z i Yi
Zi 0 Xi
Yi X X i Y 0 Z
空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式
§坐标系的分类正如前方所说起的 ,所谓坐标系指的是描绘空间地点的表达形式 ,即采纳什么方法来表示空间地点。
人们为了描绘空间地点，采纳了多种方法，进而也产生了不一样的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
在丈量中常用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参照椭球的中心，Z 轴指向参照椭球的北极，X 轴指向开端子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈 90°夹角。
某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用图2-3来表示：图 2-3 空间直角坐标系二、空间大地坐标系空间大地坐标系是采纳大地经、纬度和大地高来描绘空间地点的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参照椭球的自转轴所在的面与参照椭球的开端子午面的夹角；大地高是空间点沿参照椭球的法线方向到参照椭球面的距离。
空间大地坐标系可用图2-4 来表示：图 2-4 空间大地坐标系三、平面直角坐标系平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标经过某种数学变换映照到平面上，这类变换又称为投影变换。
投影变换的方法有好多，如横轴墨卡托投影、 UTM 投影、兰勃特投影等。
在我国采纳的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影。
UTM 投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，不过投影的个别参数不一样而已。
高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影。
从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。
如图左边所示，假想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切（此子午线称为中央子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC’经过椭球中心而与地轴垂直。
高斯投影知足以下两个条件：1、它是正形投影；2、中央子午线投影后应为x 轴，且长度保持不变。
将中央子午线东西各必定经差（一般为 6 度或 3 度）范围内的地域投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线睁开，便组成了高斯平面直角坐标系，以以下图２－５右边所示。
大地坐标转空间直角坐标方法
大地坐标转空间直角坐标方法大地坐标（经纬度）是地球表面上用于描述位置的一种坐标系统，常用的表示方式是用经度和纬度来表示一个位置。
而空间直角坐标是一种三维坐标系统，它由东西、南北和垂直地面三个方向组成。
大地坐标转换为空间直角坐标的方法分为两步：首先将大地坐标转换为大地平面坐标系坐标，然后再将大地平面坐标转换为空间直角坐标。
第一步，将大地坐标转换为大地平面坐标系坐标，常用的方法有三角形式法和高斯投影法。
1.三角形式法：三角形式法是根据大地三角形的性质，通过计算大地纬度和经度的变化量，将大地坐标转换为大地平面坐标。
具体步骤如下：（1）选取一个参考点，确定该点的大地坐标和大地平面坐标。
（2）计算待转换点的纬度和经度的变化量，即ΔB和ΔL。
（3）根据大地坐标的定义，计算待转换点的大地平面坐标，即X和Y。
2.高斯投影法：高斯投影法是一种常用的大地平面坐标投影方法，它是根据高斯球面正轴投影的原理，通过计算大地纬度和经度的变化量，将大地坐标转换为大地平面坐标。
具体步骤如下：（1）确定投影中央经线，选择一个参考点，确定该点的大地坐标和大地平面坐标。
（2）计算待转换点的纬度和经度的变化量，即ΔB和ΔL。
（3）根据高斯投影的计算公式，计算待转换点的大地平面坐标，即X和Y。
第二步，将大地平面坐标转换为空间直角坐标，常用的方法有高斯变换法和椭球投影法。
1.高斯变换法：高斯变换法是将大地平面坐标通过高斯投影法计算得到的坐标转换为空间直角坐标。
具体步骤如下：（1）选择一个参考点，确定参考点的大地平面坐标和空间直角坐标。
（2）计算待转换点的大地平面坐标与参考点的大地平面坐标之差，即ΔX和ΔY。
（3）根据高斯变换的计算公式，计算待转换点的空间直角坐标，即X、Y和Z。
2.椭球投影法：椭球投影法是将大地平面坐标通过椭球投影的原理，将大地平面坐标转换为空间直角坐标。
具体步骤如下：（1）选择一个参考点，确定参考点的大地平面坐标和空间直角坐标。
直角坐标变换公式
直角坐标变换公式直角坐标变换公式是数学中常用的一种变换方法，用于将一个点从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系中。
这种变换可在二维或三维空间中进行，根据不同的坐标系，有不同的公式和方法。
二维空间中的直角坐标变换在二维空间中，通常使用笛卡尔坐标系，即平面直角坐标系。
这个坐标系由两个互相垂直的坐标轴x和y组成，通过这两个轴可以表示一个点的位置。
假设我们有一个点P(x, y)，需要将它从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系。
设转换后的坐标为P’(x’, y’)，两个坐标系之间的关系可以用以下公式表示：x' = a * x + b * y + cy' = d * x + e * y + f其中a、b、c、d、e和f是转换矩阵的元素，它们的具体数值决定了两个坐标系之间的关系。
通过求解这些元素，我们可以获得从一个坐标系到另一个坐标系的变换公式。
使用这些公式，我们可以方便地进行坐标变换。
例如，如果我们知道一个点在一个直角坐标系中的坐标，并且我们知道两个坐标系之间的转换公式，我们就可以计算出这个点在另一个坐标系中的坐标。
三维空间中的直角坐标变换在三维空间中，同样使用笛卡尔坐标系，即空间直角坐标系。
这个坐标系由三个互相垂直的坐标轴x、y和z组成，通过这三个轴可以表示一个点的位置。
类似于二维空间中的情况，假设我们有一个点P(x, y, z)，需要将它从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系。
设转换后的坐标为P’(x’, y’, z’)，两个坐标系之间的关系可以用以下公式表示：x' = a * x + b * y + c * z + dy' = e * x + f * y + g * z + hz' = i * x + j * y + k * z + l同样，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k和l是转换矩阵的元素，通过求解这些元素，我们可以获得从一个坐标系到另一个坐标系的变换公式。
3.4坐标变换
1 2 0
例：设从坐标系I到I
'的过渡矩阵是C
1
0
1
0 1 1
O'在I中的坐标为(1, 2, 0).
(1)设平面 在I中的方程为 : 3x y 2z 1 0,
求 在I 中的方程.
(2)设直线l在I中的方程为 : x 1 y 2 z 1,
c11 c12 c13 c21 c22 c23 1. c31 c32 c33
c11 c12 c13 c11 c12 c13 T 1 0 0
c21 c31
c22 c32
c23 c33
c21 c31
c22 c32
c23 c33
1 y' 6
1 z', 2
y
2
1
x'
2
y',
3
6
z
1 x' 3
1 y' 6
1 z'. 2
例：证明: 在空间坐标系中,方程为 f (s,t) 0
的图象是柱面, 其中 s a1x b 1 y c 1 z, t a2 x b2 y c2 z
e2' c12 e1 c22 e2 c32 e3 ,
(a3 c31x' c32 y' c33 z' )e3
e3' c13 e1 c23 e2 c33 e3. xe1 ye2 ze3.
空间点坐标变换公式为：
x a1 c11x' c12 y' c13z' ,
坐标变换知识点总结
坐标变换知识点总结坐标变换是指在一个坐标系中的点通过一定的变化规则，转换到另一个坐标系中的过程。
坐标变换在数学、物理、工程等多个领域中都有广泛的应用。
下面是坐标变换的一些重要知识点总结。
1.坐标系的描述：坐标系是用来描述几何空间中的点的一种数学工具。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系等。
直角坐标系由x、y、z轴构成，其中x轴是水平方向，y轴是垂直方向，z轴是垂直于x-y平面的方向。
2.坐标向量：在直角坐标系中，一个点的坐标可以用一个向量表示，这个向量称为坐标向量。
坐标向量的形式为(x,y,z)，其中x、y、z分别表示点在x、y、z轴上的坐标值。
3.坐标变换的表示：坐标变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
假设从坐标系A变换到坐标系B，其中点的坐标向量在坐标系A中表示为P，坐标系B中表示为P'，那么坐标变换可以表示为P'=AP，其中A为变换矩阵。
4.坐标变换矩阵的求解：坐标变换矩阵的求解可以通过点的转换关系来进行。
假设已知坐标系A中的三个基向量a1、a2、a3与坐标系B中的三个基向量b1、b2、b3之间的转换关系为：a1=s11b1+s12b2+s13b3a2=s21b1+s22b2+s23b3a3=s31b1+s32b2+s33b3其中s11、s12、s13等为常数，那么可以得到坐标变换矩阵A为：A=[s11s12s13s21s22s23s31s32s33]5.坐标轴的旋转变换：坐标轴的旋转变换是指基于原有坐标轴的旋转操作，将点的坐标映射到新的坐标系中。
旋转变换可以通过对坐标向量进行矩阵乘法操作来实现。
假设已知原有坐标系中点的坐标为P，将x轴顺时针旋转角度θ得到的新的坐标系中点的坐标为P'，那么旋转变换可以表示为：P' = [cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 0001]×P6.坐标轴的缩放变换：坐标轴的缩放变换是指基于原有坐标轴的缩放操作，将点的坐标映射到新的坐标系中。
空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式
§2.3.1 坐标系的分类之阳早格格创做正如前里所提及的,所谓坐标系指的是形貌空间位子的表白形式,即采与什么要领去表示空间位子.人们为了形貌空间位子，采与了多种要领，进而也爆收了分歧的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等.正在丈量中时常使用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系本面位于参照椭球的核心，Z 轴指背参照椭球的北极，X 轴指背起初子午里与赤道的接面，Y 轴位于赤道里上且按左脚系与X 轴呈90°夹角.某面正在空间中的坐标可用该面正在此坐标系的各个坐标轴上的投影去表示.空间直角坐标系可用图2-3去表示：图2-3 空间直角坐标系二、空间天里坐标系空间天里坐标系是采与天里经、纬度战天里下去形貌空间位子的.纬度是空间的面与参照椭球里的法线与赤道里的夹角；经度是空间中的面与参照椭球的自转轴天圆的里与参照椭球的起初子午里的夹角；天里下是空间面沿参照椭球的法线目标到参照椭球里的距离.空间天里坐标系可用图2-4去表示：图2-4空间天里坐标系三、仄里直角坐标系仄里直角坐标系是利用投影变更，将空间坐标空间直角坐标或者空间天里坐标通过某种数教变更映射到仄里上，那种变更又称为投影变更.投影变更的要领有很多，如横轴朱卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等.正在我国采与的是下斯-克吕格投影也称为下斯投影.UTM投影战下斯投影皆是横轴朱卡托投影的惯例，不过投影的各别参数分歧而已.下斯投影是一种横轴、椭圆柱里、等角投影.从几许意思上道，是一种横轴椭圆柱正切投影.如图左侧所示，设念有一个椭圆柱里横套正在椭球表里，并与某一子午线相切（此子午线称为中央子午线或者轴子午线），椭球轴的核心轴CC’通过椭球核心而与天轴笔直.下斯投影谦脚以下二个条件：1、它是正形投影；2、中央子午线投影后应为x轴，且少度脆持没有变.将中央子午线物品各一定经好（普遍为6度或者3度）范畴内的天区投影到椭圆柱里上，再将此柱里沿某一棱线展开，便形成了下斯仄里直角坐标系，如下图２－５左侧所示.图2-5 下斯投影x 目标指北，y 目标指东.可睹，下斯投影存留少度变形，为使其正在测图战用图时做用很小，应相隔一定的天区，另坐中央子午线，采与分戴投影的办法.我国国家丈量确定采与六度戴战三度戴二种分戴要领.六度戴战三度戴与中央子午线存留如下闭系：366 N L ＝中； n L 33＝中其中，N 、n 分别为6度戴战3度戴的戴号.其余，为了预防y 出现背号，确定y 值认为天加上500000m ；又为了辨别分歧投影戴，前里还要冠以戴号，如第20号六度戴中，y=-200.25m ，则成果表中写为y 假定＝20499799.75m.x 值正在北半球总隐正值，便无需改变其瞅测值了.1、空间直角坐标系与空间天里坐标系间的变更图２－６表示了空间直角坐标系与空间天里坐标系之间的闭系.图2-6 天球空间直角坐标系与天里坐标系正在相共的基准下空间天里坐标系背空间直角坐标系的变更公式为：⎪⎭⎪⎬⎫+-=+=+=B H e N Z L B H N Y L B H N X sin ])1([sin cos )(cos cos )(2 (2-1)式中，W aN =，a 为椭球的少半轴，N 为椭球的卯酉圈直率半径 a =6378.137km2222a b a e -=，e 为椭球的第一偏偏心率，b 为椭球的短半轴 正在相共的基准下空间直角坐标系背空间天里坐标系的变更公式为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ=N B R H X Y arctg L W B Z ae tg arctg B cos cos sin 12(2-2) 式中2、空间坐标系与仄里直角坐标系间的变更空间坐标系与仄里直角坐标系间的变更采与的是投影变更的要领.正在我国普遍采与的是下斯投影.果为下斯投影战UTM 投影皆是横轴朱卡托的惯例，果此，下斯投影战UTM 投影皆不妨套用横轴朱卡托投影的投影公式.横轴朱卡托投影的投影的正反算公式可拜睹有闭资料，它们的辨别正在于轴子午线投影到仄里上后，其少度的系数，对付于下斯投影，系数为1，对付于UTM 投影，其系数为.3、变动下程归化里的做用用户正在修坐场合独力坐标系时，偶我变动下程归化里，那将爆收一个新椭球，那便必须估计新常数，新椭球常数按下列要领战步调举止：1) 新椭球是正在国家坐标系的参照椭球上夸大产死的，它的扁率应与国家坐标系参照椭球的扁率相等，即a a ='. 2) 估计该坐标系中央天区的新椭球仄衡直率半径战新椭球少半轴.新椭球仄衡直率半径为：m mm m m m H B e e a H W a W e a H MN H R R +--=+-=+=+=22232sin 11)1('(2.10) 式中m H ───该天区仄衡天里下；m B ───该天区的仄衡纬度.新椭球的少半轴按下式估计：2221sin 1''e B e R a m--=(2.11)将新的椭球参数代进，便不妨举止投影的正反估计了.二、坐标系统的变更要领分歧坐标系统的变更真量上是分歧基准间的变更，分歧基准间的变更要领有很多，其中最为时常使用的有布我沙模型，又称为七参数变更法.七参数变更法是：设二空间直角坐标系间有七个变更参数：3 个仄移参数()z y x ∆∆∆、3 个转动参数()z y x εεε战 1 个尺度参数k .比圆，由空间直角坐标系A 变更到空间直角坐标系B 可采与底下的公式：§2.3.4 GPS 丈量中时常使用的坐标系统一、天下天里坐标系WGS-84WGS-84 坐标系是暂时GPS 所采与的坐标系统，GPS 所颁布的星历参数战历书籍参数等皆是鉴于此坐标系统的.WGS-84 坐标系统的齐称是World Geodical System-84 (天下天里坐标系-84), 它是一个天心底固坐标系统.WGS-84 坐标系统由好国国防部造图局修坐，于1987 年与代了当时GPS 所采与的坐标系统WGS-72 坐标系统而成为当前GPS 所使用的坐标系统.WGS-84 坐标系的坐标本面位于天球的量心，Z 轴指背BIH1984.0 定义的协议天球极目标，X 轴指背BIH1984.0 的开初子午里战赤道的接面，Y 轴与X 轴战Z 轴形成左脚系.WGS-84 系所采与椭球参数为睹表2.1.二、1954 年北京坐标系1954 年北京坐标系是我国暂时广大采与的天里丈量坐标系.该坐标系源自于本苏联采与过的1942 年普我科妇坐标系.该坐标系采与的参照椭球是克推索妇斯基椭球.该椭球的参数睹表2.1.遗憾的是该椭球并已依据当时我国的天文瞅测资料举止沉新定位，而是由前苏联西伯利亚天区的一等锁经我国的东北天区传算过去的，该坐标系的下程非常十分是往日苏联1955 年天里程度里沉新仄好的截止为起算值，按我国天文程度门路推算出去的，而下程又是以1956 年青岛验潮站的黄海仄衡海火里为基准.由于当时条件的节造1954 年北京坐标系存留着很多缺面主要表示正在以下几个圆里：1. 克推索妇斯基椭球参数共新颖透彻的椭球参数的好别较大，而且没有包罗表示天球物理个性的参数，果而给表里战本量处事戴去了许多便当.2. 椭球定背没有格中透彻，椭球的短半轴既没有指背国际通用的CIO 极，也没有指背暂时我国使用的JYD极.参照椭球里与我国天里程度里呈西下东矮的系统性倾斜，东部下程非常十分达60余米，最大达67 米.3. 该坐标系统的天里面坐标是通过局部分区仄好得到的.果此世界的天文天里统造面本量上没有克没有及产死一个完齐，区与区之间有较大的隙距，如正在有的接合部中共一面正在分歧区的坐标值出进1-2 米，分歧分区的尺度好别也很大，而且坐标传播是从东北到西北战西北，后一区是往日一区的最强部动做坐标起算面，果而一等锁具备明隐的坐标聚集缺面.三、1980 年西安天里坐标系1978 年我国决断沉新对付世界天文天里网真止完齐仄好，而且修坐新的国家天里坐标系统.完齐仄好正在新天里坐标系统中举止，那个坐标系统便是1980 年西安天里坐标系统.1980 年西安天里坐标系统所采与的天球椭球参数的四个几许战物理参数采与了IAG 1975 年的推荐值，睹表2.1中的西安80.椭球的短轴仄止于天球的自转轴（由天球量心指背1968.0 JYD 天极本面目标），起初子午里仄止于格林僧治仄衡天文子午里，椭球里共似天里程度里正在我国境内切合最佳，下程系统以1956 年黄海仄衡海火里为下程起算基准.四、几种时常使用的坐标系统的几许战物理参数下表列出了几种时常使用的坐标系统的几许战物理参数，用户需要时不妨查阅：表 2.1 GPS 丈量中时常使用的坐标系统的几许战物理参数§2.4 GPS下程系统正在丈量中时常使用的下程系统有天里下系统、正下系统战仄常下系统.§2.4.1 天里下系统天里下系统是以参照椭球里为基准里的下程系统，某面的天里下是该面到通过该面的参照椭球的法线与参照椭球里的接面间的距离.天里下也称为椭球下.天里下普遍用标记H 表示.天里下是一个杂几许量，没有具备物理意思，共一个面正在分歧的基准下具备分歧的天里下.常常，GPS接支机单面定位得到的下程为WGS-84下的天里下.§2.4.2 正下系统正下系统是以天里程度里为基准里的下程系统，某面的正下是该面到通过该面的铅垂线与天里程度里的接面之间的距离.正下用标记 H g 表示.§2.4.3 仄常下仄常下系统是以似天里程度里为基准的下程系统，某面的仄常下是该面到通过该面的铅垂线与似天里程度里的接面之间的距离，仄常下用 H γ 表示.§2.4.4下程系统之间的变更闭系天里程度里到参照椭球里的距离称为天里程度里好同，记为 h g ，天里下与正下之间的闭系不妨表示为：正 下：g g h H H -=似天里程度里到参照椭球里的距离，称为下程非常十分，记为ζ.天里下与仄常下之间的闭系不妨表示为：仄常下：ζγ-=H H下程之间的相互闭系不妨用下图2-7去表示：图2-7 下程系统间的相互闭系。
空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式
§2.3.1 坐标系的分类正如前面所提及的,所谓坐标系指的是描述空间位置的表达形式,即采用什么方法来表示空间位置。
人们为了描述空间位置，采用了多种方法，从而也产生了不同的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
在测量中常用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z 轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈90°夹角。
某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用图2-3来表示：图2-3 空间直角坐标系二、空间大地坐标系空间大地坐标系是采用大地经、纬度和大地高来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
空间大地坐标系可用图2-4来表示：图2-4空间大地坐标系三、平面直角坐标系平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称为投影变换。
投影变换的方法有很多，如横轴墨卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等。
在我国采用的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影。
UTM 投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，只是投影的个别参数不同而已。
高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影。
从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。
如图左侧所示，设想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切（此子午线称为中央子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC ’通过椭球中心而与地轴垂直。
高斯投影满足以下两个条件：1、 它是正形投影；2、 中央子午线投影后应为x 轴，且长度保持不变。
将中央子午线东西各一定经差（一般为6度或3度）范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线展开，便构成了高斯平面直角坐标系，如下图２－５右侧所示。
空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式
§2.3.1 坐标系的分类正如前面所提及的,所谓坐标系指的是描述空间位置的表达形式,即采用什么方法来表示空间位置。
人们为了描述空间位置，采用了多种方法，从而也产生了不同的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
在测量中常用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z 轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈90°夹角。
某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用图2-3来表示：图2-3 空间直角坐标系二、空间大地坐标系空间大地坐标系是采用大地经、纬度和大地高来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
空间大地坐标系可用图2-4来表示：图2-4空间大地坐标系三、平面直角坐标系平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称为投影变换。
投影变换的方法有很多，如横轴墨卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等。
在我国采用的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影。
UTM 投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，只是投影的个别参数不同而已。
高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影。
从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。
如图左侧所示，设想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切（此子午线称为中央子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC ’通过椭球中心而与地轴垂直。
高斯投影满足以下两个条件：1、 它是正形投影；2、 中央子午线投影后应为x 轴，且长度保持不变。
将中央子午线东西各一定经差（一般为6度或3度）范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线展开，便构成了高斯平面直角坐标系，如下图２－５右侧所示。
浅议坐标变换与图形变换的区别和联系
浅议坐标变换与图形变换的区别和联系以椭球面的图形变换为例，说明一些图形变换和坐标变换的区别及联系.标签：图形变换坐标变换椭球面1 概述图形变换和直角坐标变换思想图形变换，可分为两个方向进行考虑：一是改变图形所处位置，二是改变图形本身，无论哪种图形变换，其实质都是改變图形的坐标位置。
一个图形的最基本要素是点，点构成线，线构成面，因此，只要改变了图形的各点坐标位置，整个图形也就完成了变换。
空间直角坐标变换：坐标系主要由三个要素：坐标原点，坐标轴，单位长度构成，故，空间直角坐标变换主要取决于上述三者的改变。
坐标变换是一种常用的数学描述，通过直角坐标系之间的坐标变换关系，可以使得任意空间点在一个坐标系下的描述转换为另一个坐标系下的描述。
2 以椭球面的一些变换为例寻找联系和区别椭球面的原方程旧直角坐标系任意点P的坐标为.新直角坐标系任意点P的坐标为.2.1 平移将椭球面沿方向平移m个单位可得新图形的方程为：.要得到同样的方程可以通过建立新坐标系：，；从而椭球面在新坐标系中的方程为.2.2 旋转椭球面绕其中心旋转使其主方向从变为且满足：从而可得新椭球面的方程为：.等价的可考虑建立新坐标系，从上表可得及.故等价于:2.3 伸缩（等比例）坐标系的原点和坐标轴的方向都不变，只改变长度单位，这种坐标变换叫做坐标轴的伸缩变换。
椭球面的伸缩变换一般会改变其上的点，线关系故在实际应用中很少采用。
下面仅讨论图形伸缩变换和坐标系伸缩变换的关系：椭球面沿方向{0，0，1}等比例伸缩m倍可得原方程变为：沿和的伸缩情况完全一致，沿任意方向{X，Y，Z}的伸缩情况可以先考虑旋转椭球面再伸缩。
等价的可建立新坐标系其中即椭圆在新坐标系下的方程为：3 结论区别，本质不同，图形变换只改变图形本身，除上述变换外还可以对折，翻转，展开等，有时候图形所处的维数会改变；坐标变换一般情况下都会保证新旧坐标系的维数相对应，变换对象是坐标原点和坐标轴，而置于其中的图形本身并不改变。
空间直角坐标系 变换矩阵
空间直角坐标系变换矩阵
哎呀，我的妈呀！“空间直角坐标系”和“变换矩阵”这两个词对我这个小学生来说，简直就像是外星来的怪物，太让人头疼啦！
不过呢，为了搞清楚它们，我可是费了好大的劲儿。
就像我要爬上一座高高的山峰，每一步都充满了挑战。
老师在课堂上讲的时候，我瞪大眼睛，竖起耳朵，心里不停地想：这到底是啥呀？老师说空间直角坐标系就像是一个巨大的房子，有三个方向，X 轴、Y 轴、Z 轴，它们相互垂直，构成了一个能让我们确定任何一个点位置的神奇框架。
我就在想，这难道不像我们在地图上找宝藏的坐标吗？
再说说变换矩阵，这名字听着就复杂。
老师打比方说，它就像是一个神奇的魔法盒子，把我们原来的坐标放进去，经过一番操作，就能变出新的坐标来。
我忍不住问老师：“这是不是就像孙悟空七十二变，能把东西变得完全不一样？”老师笑着点点头。
我和同桌小明一起讨论，我说：“这也太难懂啦，感觉脑袋都要炸了！”小明也皱着眉头说：“可不是嘛，这比做十道数学难题还让人头疼！”
后来我们一起努力，互相帮助，一点点去理解。
做练习题的时候，我做错了一道，小明还耐心地给我讲解：“你看啊，这里应该这样算。
”我恍然大悟：“哎呀，原来是这样，我怎么就没想到呢！”
经过不断地学习和琢磨，我发现虽然这两个概念一开始让我觉得害怕，但只要用心去理解，也没有那么恐怖。
就像我们刚开始学骑自行车，觉得要摔倒，可多练习几次，不也能骑得稳稳当当啦？
所以呀，我觉得面对这些看起来很难的知识，不能害怕，要勇敢地去探索，说不定就能发现其中的乐趣和奥秘呢！。
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空间直角坐标变换
先来个简单坐标变换吧，这是基础，就是平面坐标变换，不解释，直接上图：
那么掌握这个平面坐标变换是学习空间直角坐标变换的基础。
这里主要说的是像空间坐标与像空间辅助坐标的变换
基本思想是：将坐标系分别绕YXZ轴旋转一个角度，每绕一次轴相当于进行了一次平面坐标系变换。
例如：
那么绕完3个轴就是实现了空间直角坐标系的变换了
有上图可以知道，如果我们知道了旋转矩阵就可以求得像片的外方位角元素，以方便进行后面的前方交会。
同理，知道了像片的外方位角元素，就可以进行像空间坐标与像空间辅助坐标的变换。
总之，这个空间直角坐标变换是后面学习共线方程、单张空间后方交会、立体像对的前方交会、解析法相对定向、绝对定向的基础。