量子光学(1)

其中 （C t）是
（8.1.5）
的高阶项，为了满足方程（8.1.1），（C t） 需满足
（8.1.6）
将方程（8.1.5）代入方程（8.1.4）中，并保留到 项，得
（8.1.7）
约化密度算符描述的是系统的统计性质，若令被积函数中显著不为零的部分是 t
接近t处，所以作为近似，又可以在积分中用 s
其中 kB 是玻尔兹曼常量，T是温度。我们很容易证明：
为热平均玻色粒子数
（8.2.5）
把（8.2.4）式代入(8.2.2)式中 得
（8.2.6）
（8.2.6）
现在我们进行如自发辐射的外斯可夫-维格纳（Weisskopf-Wigner）理论中 所采用的运算程序。
因此可以得到密度算符
（8.2.7）
其中 为原子衰变速率
（Markov）近似，所以（8.1.7）式可写为
代替 （s t）这种近似称为马尔科夫
（8.1.8）
2.热库和压缩真空库作用下的原子衰变
我们考虑简谐振子库阻尼的一个二能级原子的自发衰变。用湮灭算符b，产生算
符 b 和密度分布的频率 k ck来描述库中的简谐谐振子。在相互作用绘景和旋波
近似下，相互作用能算符可以写成
（8.1.1）
其中 SR 为系统和库的组合密度算符，TrR 表示对库求迹。
我们设系统与库的相互作用能量用
表示，SR 的运动方程为
（8.1.2）
对上式积分得
（8.1.3）
系统和库的耦合作用是从 t ti 开始的，将（8.1.3）式代回（8.1.2）式得
（8.1.4）
如果相互作用能量 成
为零，则系统和库是无关联的，并且当库平衡时，密度算符写 。因为 很小，所以把方程（8.1.4）解的形式写为
阻尼的量子理论——密度矩阵 和波函数方法
1.一般的库理论
在量子光学中经常要讨论小系统(如一个二能级原子，一个量子谐振子等）
由于受到周围环境（通常称之为库，如辐射场、腔壁原子）的作用所引起的效
应。我们一般考虑一个系统S和一个库R的相互作用，对于系统S，我们可以采
用约化密度算符 s 来描述。
s Tr（R SR）
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（8.2.8） （8.2.9）
（8.2.8） 原子密度算符的矩阵元的运动方程可以通过方程（8.2.8）得到
我们可以注意到 aa bb 0 这是因为我们只考虑高能级 和低能级 之间的衰变
由概率守恒知 aa bb 1 当温度T为零时，即
上面的方程简化为
（8.2.11a）式正是采用态失导出的外斯可夫-维格纳（Weisskopf-Wigner） 理论结果
（8.2.1）
其中
，
的是二能级原子，即
， 为二能级原子的激发态， 为基态。系统对应 将方程（8.2.1）代入方程（8.1.7）得
期待值涉及到库的初始状态，因此我们选择一种具有特殊态模型的库。
2.2 热库
我们假定库变量是分布在无关联的热平衡混合态中，这样库约化密度算符就是 热密度算符的多模推广形式
（8.2.3）