幂函数及函数与方程(教师)

幂函数及函数与方程
知识点1 幂函数 1．幂函数的定义
一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．
2.幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点 ；
（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ； （3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3
α=-时，幂函数是 ． （4）任何幂函数都不过 象限；
（5）当0α>时，幂函数的图象过 ． 3．幂函数的图象在第一象限的分布规律：
（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布； （2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限 关于 对称．
考向一 幂函数的定义
【例1】►讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： （1）5
y x = （2）43
y x
-
= （3）54
y x =（4）35
y x
-
=（5）12
y x
-
=
分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．
（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减．
（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增． （4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．
（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减． 【训练1】比较大小：
（1）1122
1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）
30.530.5,3,log 0.5 解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴1122
1.5 1.7<
（2）∵3
y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴3
3
( 1.2)( 1.25)->-
（3）∵1
y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴11
5.25 5.26-->；
∵ 5.26x
y =是增函数，12->-，∴1
25.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>
（4）∵3
00.51<<，0.5
3
1>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<
考向二 二次函数的图像和性质
【例2】►（2010大连一模）函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．
(1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．
[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.
当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1 综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
t 2
＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，
t 2－2 t ＋2，t ≥1.
(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.
【训练2-1】 ►(2010·安徽)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．
[审题视点] 分类讨论a ＞0，a ＜0.
解析 若a ＞0，则bc ＞0，根据选项C 、D ，c ＜0，此时只有b ＜0，二次函数的对称轴方程x ＝－b
2a ＞0，选项D 有可能；若a ＜0，根据选项A ，c ＜0，此时只能b ＞0，二次函数的对
称轴方程x ＝－b
2a ＞0，与选项A 不符合；根据选项B ，c ＞0，此时只能b ＜0，此时二次函
数的对称轴方程x ＝－b
2a ＜0，与选项B 不符合．综合知只能是选项D.答案 D
【训练2-2】 （2011沈阳模拟）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1；x ＝－5时，f (x )取得最大值37.
(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.
考向三 幂函数的图象和性质
【例3】►已知幂函数f (x )＝223
m m x -- (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减
函数，求满足3
3
(1)
(32)
m m a a --
+<-的a 的取值范围．
[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．
解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2.
又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数，
而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1. 而f (x )＝x －1
3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－1
3
等价于a ＋1＞3－2a ＞0
或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a .解得a ＜－1或23＜a ＜3
2.
故a 的取值范围为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32.
【训练3】已知幂函数2
23
m
m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点
对称，求m 的值．
分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 解：∵幂函数2
23
m
m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，
∴2
230m m --≤，∴13m -≤≤；
∵m Z ∈，∴2
(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2
23m m --是奇数，∴0m =或2m =．
知识点2:函数与方程
函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系
方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．
考向一 函数零点与零点个数的判断
【例1-1】►(2010·福建)函数f (x )＝⎩
⎨⎧
x 2
＋2x －3，x ≤0
－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )．
A ．3
B ．2
C ．7
D ．0
[审题视点] 函数零点的个数⇔f (x )＝0解的个数⇔函数图象与x 轴交点的个数． 解析 法一 由f (x )＝0得
⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎨⎧
x ＞0，
－2＋ln x ＝0，解得x ＝－3，或x ＝e 2. 因此函数f (x )共有两个零点． 法二 函数f (x )的图象如图所示
可观察函数f (x )共有两个零点． 答案 B 【例
1-2】已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x >0，
－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m
的取值范围是________．
解析：在坐标系内作出函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x >0，
－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图：
发现当0≤m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个交点．即函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点．
答案：[0,1)
【训练1-1】 函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点一定在区间( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)
解析 法一 函数f (x )＝log 3x ＋x －3的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增连续，又f (2)＝log 32－1＜0，f (3)＝1＞0，∴函数f (x )＝log 3x ＋x －3有唯一的零点且零点在区间(2,3)内．
法二 方程log 3x ＋x －3＝0可化为log 3x ＝3－x ，在同一坐标系中作出y ＝log 3x 和y ＝3－x 的图象如图所示，可观察判断出两图象交点横坐标在区间(2,3)内．
答案 C
【例1-3】 f （x ）的定义域为R ，且f （x ）＝21(0)
(1)(0)x x f x x -⎧⎨⎩－ ≤－
＞,若方程f （x ）＝x ＋a 有两
不同实根，则a 的取值范围为（ ）
A ．（0，1）
B ．（－∞，1]
C ．（－∞，1）
D ．（－∞，＋∞）
f(x)=f(x-1)这个条件,当x ∈(0,1]时,x-1∈(-1,0] f(x)=f(x-1)=[2^(1-x)]-1 x ∈(0,1] 类推有
f(x)=f(x-1)=[2^(2-x)]-1 x ∈(1,2]
也就是说,x ＞0的部分是将x ∈(-1,0]的部分,周期性向右推移1个单位长度得到的,图像如下：
斜线就是y=x+a
可以看到,红线是过分界点的线,绿色是一般情况下的,但是二者都是有两个交点的（注意红色 通过了空心点）,而蓝色直线就是分界,当红绿色直线在蓝色线上方时,只有一个交点,因此蓝色曲线的a 值就是临界值,算得a=1,低于蓝色直线的线族a ＜1,因此a 的范围就是a ＜1.
【例1-4】设函数()1f x n =-,N n n n x ∈+∈),1.[，则满足方程x x f 2log )(=根的个数是
（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．无数个
解：根据题意，详细画出f （x ）和g （x ）在同一坐标系中函数图象，
①当n=0时，f （x ）=-1，x ∈[0，1），则log 2x=?1?x=∈[0，1） ②当n=1时，f （x ）=0，x ∈[1，2），则log 2x=0?x=1∈[1，2） ③当n=2时，f （x ）=1，x ∈[2，3），则log 2x=1?x=2∈[2，3）
④当n=3时，f （x ）=2，x ∈[3，4），则log 2x=2?x=4?[3，4）
⑤当n=4时，f （x ）=3，x ∈[4，5），则log 2x=3?x=8?[4，5）由此下区x 的解成指数增长，而区间成正比增长，故以后没有根了，即有3个根．故选C ．
【训练1-3】已知函数1
12--=
x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数
k 的取值范围是_________.
考向二 有关二次函数的零点问题
【例2-1】►是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间(－1,3）上与x 轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．
[审题视点] 可用零点定理去判断，注意对函数端点值的检验． 解 ∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －892＋89＞0
∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)< 0即可． f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1) ＝4(1－a )(5a ＋1) < 0.所以a <－1
5或a >1. 综上所述，a ＜－1
5或a ＞1.
【训练2-1】 关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，当a 为何实数时 (1)有两不同正根； (2)不同两根在(1,3)之间； (3)有一根大于2，另一根小于2；
解 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，Δ＝4a 2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)＝4(a －2)(a ＋1)．
(1)由已知条件⎩⎨⎧
Δ> 0，
x 1＋x 2＝2a ＞0，
x 1·x 2＝a ＋2＞0，
解得a >2.
(2)由已知条件⎩⎨⎧
Δ>0，
1<a <3，
f (1)>0，
f (3)>0，
解得2<a <11
5.
(3)由已知条件f (2)<0，解得a >2.。