第7章非线性系统分析

下系统的运动形式。该方法只适用最高为二阶的系统。 4．描述函数法
描述函数法是线性系统频率特性法的推广，采用谐波 线性化将非线性特性近似表示为复变增益环节，应用频率 法分析非线性系统的稳定性和自持振荡。该方法适用于非 线性系统中线性部分具有良好的低通滤波特性的系统。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统 稳定性。原则上适用所以非线性系统，但对大多数非线性系 统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现
7.3.1 相平面的基本概念
设二阶非线性系统的微分方程为：
f ( x, x) 0 x
若令 x1 x, x2 x 则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
x1 x2 x2 f ( x1 , x2 )
dx2 f ( x1 , x2 ) dx1 x2
7.3.3 二阶非线性系统的线性化 对于非线性系统，描述二阶非线性系统的微分 方程为
x f (x , x ) x f ( x , x )
1 1 1 2 2 2 1 2
x1 f1 ( x10 , x 20 ) 0 x 2 f 2 ( x10 , x 20 ) 0
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇
点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线
收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
欠阻尼二阶线性系统的响应和相轨迹
3、过阻尼运动（＞1）
系统特征根为两负实根,已知系统零输入解的表
达式为
x(t ) A1e A2 e
根
1t
2t
式中,A1,A2——初始条件决定的常数；1,2——特征
x0
x0
§ 7.3 相平面分析法
相平面法是庞加莱（Poincare）提出的，它是一种 求解二阶非线性微分方程组的图解法，它比较直观、 准确地反映系统的稳定性、平衡状态的特性、不同初
始状态和输入信号下系统的运动形式。虽然相平面法
适用一阶、二阶非线性控制系统的分析，但它形成特 定的相平面法，它对弄清高阶非线性系统的稳定性、 极限环等特殊现象，也起到了直观形象的作用。
y
b
a
k
0 a
x
bsign. y y K ( x asign y )
y0 y0


-b
间隙特性对系统的影响： 一般来说，间隙使系统输出相位滞后，降低了系统的 稳定裕量，控制系统的动态特性变坏，甚至使系统振荡； 间隙的存在使系统的稳态误差扩大，稳态特性变差。
4．继电器特性
变为
2 n x dx dx x
对上式分离变量并积分，得
x2 x2 A 2 1 / n
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族
同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点 处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一 族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
奇点为坐标原点,称为
不稳定焦点。
-1＜＜0 时的相轨迹
(2) ＜-1时，特征根 是两个正实根，响应为 单调发散，相轨迹是一
族从原点出发向外单调
发散的抛物线，如图所
示。奇点为坐标原
点，称为不稳定节点。
＜-1时的相轨迹
（3）对图所示的正反馈二阶系统
r (t )

2 n s(s 2 n )
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭 复根,系统的零输入解为
x ( t ) Ae n t sin(d t )
d 1 2 n
式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域 响应过程是衰减振荡的。
x ( t ) Be n t sin(d t)
f ( x , x) x
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写 成二元一阶微分方程组: x1 x x2 x
x1 x2 x2 f ( x1 , x2 )
一般形式为
x f (x , x ) x f ( x , x )
此时两个状态变量对时间的变化率都为 零，系统的状态不再发生变化，即系统到达
了平衡状态，相应的状态点（相点）称为系
统的平衡点。平衡点处有的斜率
dx 2 dx 2 dt 0 dx1 0 dx1 dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜率不确 定的点在数学上也称为奇点，故平衡点即为奇点。 奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为不定值， 可理解为有多条相轨迹在此交汇或由此出发，即 相轨迹可以在奇点处相交。
1 1 1 2 2 2 1 2
消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程
dx f (x , x ) dx f (x , x )
2 2 1 2 1 1 1 2
求解可得相轨迹方程，即
x g(x )
2 1
表示相平面上的一条曲线，即相轨迹。
相轨迹的性质：
1.一般情况下，相轨迹不相交。相点 ( x , x ) 处的 斜率由 dx f (x , x )
c(t )
方框图
其特征方程式为 特征根为
2 2 n x n x x
0
s1,2 n n 2 1
特殊情况：
0
2 n x 0 x
特征根为一正，s1, 2 n 一负 2 n x 0 x dx 2 x n x 0 dx 2 两边积分得： x 2 n x 2 A 双曲线方程
1．线性化近似法
对于某些非线性特性不严重的系统，或系统仅仅只研 究平衡点附近特性时，可以用小偏差线性化方法，将非线 性系统近似线性化。
2．分段线性近似法 将非线性系统近似为几个线性区域，每个区域有对 应的线性化微分方程描述。 3．相平面法 相平面法是非线性系统的图解分析法，采用在相平 面上绘制相轨迹曲线，确定非线性系统在不同初始条件
k
0
M
a
x
M y kx M
x a | x | a xa
饱和特性对系统性能的影响： （1）将使系统的开环增益有所降低，对系统的稳定性有利； （2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。 有时从系统安全性的考虑，常常加入各种限幅装置，其
特性也属饱和特性。
3．间隙特性（回环特性）
表示非线性系统的平衡点（奇点），它往往不止一个。
对于非线性系统，奇点类型与相轨迹的类型仅
适用于奇点附近的区域。整个系统的相图就可
能由几个不同类型的相轨迹组成。
对于非线性系统奇点性质分析，采用小范围线
性化的方法。
假设奇点在坐标原点，将
f1 ( x1 , x2 ), f 2 ( x1 , x2 )
在奇点附近展开成泰勒级数，并取一次近似，
代控制理论中作祥解。
6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件
工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性
系统的分析提供了有效工具。
§ 7.2典型非线性特性
按非线性环节特性的形状可以将非线性环节划分为 死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性等。 1.死区特性（不灵敏区） 死区特性的的数学描述为：
系统的奇点(平衡点)满足
dx2 0 dx1 0
解得
x1 0, x2 0
为系统的奇点。
系统的特征根为
1， - n n 2 - 1 2
对于不同的阻尼比二阶系统的特征根不同，系统的时域响应由
特征根决定，而时域响应和响应的导数决定系统的相轨迹。
1、无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程
x1 f1 ( x1 , x 2 ) f1 ( x10 , x 20 )
f1 ( x1 , x 2 ) x1 f 2 ( x1 , x 2 ) x1
x10 ( x1 x20
x10 )
（2）死区继电器特性
x0 x0
M y 0 M
x a x a xa
（3）回环继电器特性
x＜a M M x＞a y x＜－a M M x＜－a
x0 x0
（4）死区加回环继电器特性
0 M M y 0 M M a1 x a2 x a2 x a1 a2 x a1 x a1 x a2
§ 7.1 非线性系统概述
控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件 或环节时，此系统则为非线性系统。
7.1.1 非线性系统的特点
1.非线性系统的数学描述 2.系统的瞬态响应 3.系统的稳定性 4.系统的自持振荡（自激振荡） 5.多值响应和跳跃谐振
7.1.2非线性系统的分析和设计方法
非线性系统采用非线性微分方程描述，至今尚没有统 一的求解方法，其理论也还不完善。由于非线性系统的特 点，线性系统的分析方法均不能采用。分析非线性系统工 程上常采用的方法有：
7.3.2 线性系统的相轨迹
线性二阶系统微分方程为:
2 n x n2 x 0 x
x1 x, x2 x
x1 x2 x2 2 n x2 n2 x1
相轨迹的斜率方程为:
dx2 2 n x2 n2 x1 dx1 x2
不同初始条件下系统的响应曲线如图所示。相 轨迹是一族汇聚到原点的抛物线，单调地趋于
平衡点(奇点)—坐标原点，如图所示。这种奇
点称为稳定节点。
过阻尼二阶线性系统的响应和相轨迹
4、负阻尼运动(<0)（系统不稳定，根据极点位置分三种情况分
别讨论）
(l)-1＜＜0时,特征根
为S右半平面的共轭复
根,响应为振荡发散， 相轨迹是一族从原点 向外卷的对数螺旋线, 如图所示。
k
y
a
0 a
x
k ( x a ) y 0 k ( x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死区的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰
能力。
2．饱和特性
y
M
a
第7章
非线性系统分析
内容提要
严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性
特性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统。
本章主要介绍分析非线性系统的两种常用方法：
相平面法和描述函数法。
知识要点
非线性系统的特点，非线性系统的相平面法分 析---相轨迹、奇点、奇线、极限环，非线性系 统的描述函数法---描述函数的定义、非线性环 节的描述函数、自持振荡的条件，非线性系统 的校正。
1.相平面，相点和相轨迹
x 以 x1 为横坐标， 2 为纵坐标的平面称为相平面， 相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点； 由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点 考察二阶非线性时不变微分方程:
2 2 x x 1 2 A A /n
特征根为一对符号相反
的实根，响应依然单调
发散的，相轨迹是一族
双曲线，如图所示。这
时的奇点也是坐标原点，
称为鞍点。
相轨迹
以上分析表明，二阶线性系统特征根在复平面上 位置不同时，时域响应的形式不同，相轨迹的形
状也完全不同。可见相轨迹的形状与系统闭环极
点的位置密切相关，与奇点类型也密切相关。
1 2
2
dx
( x1 , x2 )

2
1
2
1
f (x , x )
1 1 2
( x1 , x2 )
唯一确定，不同条件下的相轨迹是不会相交。 2.当某一相点 ( x , x ) 满足
10 20
x1 f1 ( x10 , x20 ) 0 x2 f 2 ( x10 , x20 ) 0
y
M
y
M
继电器特性可 包含理想继电 器特性、死区 继电器特性、 回环继电器特 性和死区加回
0
-M
（a） 理想继电器
x
wk.baidu.com
a
0
-M
a
x
（b） 死区继电器
y
M
－a２ a１
y
M
环继电器特性
如图所示。
a
0
-M
a
x
0
-M
a１
a２
x
（ｃ） 回环继电器
（ｄ） 死区＋回环继电器
（1）理想继电器特性
M y M