2017年全国初中数学联合竞赛试题含答案

2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试(A)

一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）

1．已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3b+c

＝（）a +2b

A. 2．

B. 1．

C. 0．

D.-1．

【答】B.

已知等式可变形为 2( a+ 2b) + 3(3b+c ) = 90 ， 3( a+ 2b) + (3b+c ) = 72 ，解得a+2b=18，

3b+c=18 ，所以3b+c

=1.

a +2b

2．已知△ABC的三边长分别是a,b,c，有以下三个结论：

（1）以a,b,c为边长的三角形一定存在；

（2）以 a 2, b 2, c2为边长的三角形一定存在；

（3）以 | a-b | +1,| b-c | +1,| c-a | +1 为边长的三角形一定存在.

其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．

【答】C.

不妨设 a ≥ b ≥ c ，则有 b + c > a .

（1）因为 b + c > a ，所以 b + c +2

22

b +

c > a ，故以a,b,c为bc > a ，即( b + c ) >（ a），即

边长的三角形一定存在；

（2）以 a =2, b =3, c =4为边长可以构成三角形，但以 a 2= 4, b2= 9, c2=16 为边长的三角形不存在；

（3）因为 a ≥ b ≥ c ，所以| a - b |+1= a - b +1,| b - c |+1= b - c +1,| c - a |+1= a - c +1，故三条边中| c - a |+1大于或等于其余两边，而（| a-b | +1）+（| b-c | +1）=（a-b+ 1）+（b-c+1）=a-c+ 1 + 1 >a -c+ 1 =| c-a | +1 ，故以 | a-b | +1 ， | b-c | +1 ， | c-a | +1 为边长的三角形一定存在.

3．若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么，好数组的个数

为（）

A. 1．B．2．C．3．D．4．

【答】C.

若( a, b, c) 为好数组，则abc= 2( a+b+c ) ≤ 6c，所以ab≤6.显然，a只能为1或2.

若a ＝2，由ab≤6可得b=2或3，b=2时可得c=4，b=3时可得c=5

2（不是整数）；

若a ＝1，则bc=2(1+b+c)，于是可得(b-2)(c-2)=6，可求得(a,b,c)＝（1，3，8）或（1，4，

5）.

综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.

4．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 ∠BAD + ∠ACB = 180︒，且 BC = 3，AD = 4 ，

AC = 5 ， AB = 6 ，则 DO ＝ （ ）

OB

10 8 6

4

A.

．

B.

．

C.

．

D.

．

D

9 7 5 3

E

【答】A.

C

过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE = 180︒ - ∠BAD

= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以

AC = BC ，所以

4

O

3

AB EB

AB ⋅ BC

6 ⨯3

18

B

EB = = = .

A

6

AC 5 5

再由 BE // AD ，得 DO = AD = 4 = 10 .

BE

OB 18 9

5

5．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在 CB 的延长线上，

满足 ∠BAF = ∠CAE .已知 BC =15 ， BF = 6 ， BD = 3 ，则 AE ＝ （ ）

A

A. 4 3 ．

B. 2 13 ．

C. 2 14 ．

D. 2 15 ．

【答】B.

F

B

D

E

C

如图，因为 ∠BAF = ∠CAE ，所以 ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 6 3

∠FAE = ∠BAC = 90︒ .

又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ⋅ DF = DB ⋅ DC .

而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 =12 ，所以 AD 2 = DE ⋅ 9 = 3 ⋅ 12 ，所以 AD = 6 ，DE

= 4 . 从而 AE = AD 2 + DE 2 = 62 + 42 = 213 .

6．对于正整数 n ，设 a 是最接近

的整数，则 1 + 1 + 1 + +

1 = （ n

）

n

a 1 a 2 a 3

a

200

A. 191 ．

B. 192 ．

C. 193 ．

D. 194 ．

7

7

7 7 【答】A.

对于任意自然数 k ， ( k +

1 )

2 = k 2 + k + 1

不是整数，所以，对于正整数 n ，

- 1 一定不是整数.

n

2

4 2

的整数，则| m - |< 1 ， m ≥1.

设 m 是最接近 n

n

2

易知：当 m ≥1时，| m - |< 1 ⇔ ( m - 1 ) 2 < n < ( m + 1 )2

⇔ m 2 - m + 1 < n < m 2 + m + 1 .

n 2 2 2

4 4 于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数 n 满足 m 2 - m + 1 ≤ n ≤ m 2

+ m 时，m 是最接近

的整数，

n 即 a n = m .所以，使得 a n ＝ m 的正整数 n 的个数为 2m .

注意到132 + 13 = 182 < 200 < 14 2 + 14 = 210 ，因此， a , a , ,