(完整版)新高中数学复数讲义.教师版

欢迎阅读一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式．5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N ZQ R C 苘苘知识内容复数7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立y 轴其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bic di++ 8． 除法运算规则：设复数i a b +(a 、b ∈R )，除以i c d +(c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．1． 复数的概念【例1】 已知2(1a i bi i i -⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭为虚数单位），那么实数a ，b 的值分别为（） A ．2，5B ．-3，1C ．-1．1D ．2，32-【答案】D【例2】 计算：0!1!2!100!i +i +i ++i =L （i 表示虚数单位） 【答案】952i +【解析】 ∵4i 1=，而4|!k （4k ≥），故0!1!2!100!i +i +i ++i i i (1)(1)197952i =++-+-+⨯=+L 【例3】 设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【答案】D【解析】2222(1)10t t t -+=-+≠． 【例4】 在下列命题中，正确命题的个数为（ ）①两个复数不能比较大小；②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1z z=． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】 复数为实数时，可以比较大小，①错；1x =-时，22(1)(32)0x x x i -+++=，②错；z 为实数时，也有z z +∈R ，③错；0a b ==时，()()0a b a b i -++=，④错；⑤⑥正确．2． 复数的几何意义【例5】 复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例题精讲【答案】A【解析】由已知2(2)(12)1[(4)2(1)]12(12)(12)5m i m i iz m m ii i i---===--+++-在复平面对应点如果在第一象限，则4010mm->⎧⎨+<⎩，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．【例6】若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，复数(cos sin)(sin cos)iθθθθ++-在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．1)到点【解析】复数z表示的点在单位圆与直线12x=上（1322z z+=-表示z到点12⎛⎫- ⎪⎝⎭，与点32⎛⎫⎪⎝⎭，的距离相等，故轨迹为直线12x=），故选D．【例9】已知复数(2)i()x y x y-+∈R，yx的最大值为_______．【解析】2ix y-+=∵22(2)3x y-+=∴，故()x y，在以(20)C，yx表示圆上的点()x y，与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx【例10】复数z满足条件：21iz z+=-，那么z对应的点的轨迹是（）2u u r为邻【例12】已知复数1z，2z满足11z=，21z=，且124z z-=，求12zz与12z z+的值．【答案】；4．【解析】设复数1z，2z在复平面上对应的点为1Z，2Z，由于2221)1)4+=，故2221212z z z z+=-，欢迎阅读故以1OZ u u u u r，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r，则12z z ==；12124z z z z +=-=． 【例13】 已知12z z ，∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -．【解析】 设复数12z z ，，12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ u u u u r，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是菱形，记O 所对应的顶点为P ，由12z z +=1120PZ O ∠=︒（可由余弦定理得到），故1260Z OZ ∠=︒，． 3【答案】511- 【解析】 原式12121269100121511(i)=+==-+=--． 【例17】 已知复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ⋅的最大值为（ ）A ．32B C D ．3【答案】A=，故当sin21θ=±时，12z z⋅32．【例18】对任意一个非零复数z，定义集合{|}nzM w w z n==∈N，．（１）设z是方程1xx+=的一个根，试用列举法表示集合zM．若在zM中任取两个数，求其和为零的概率P；由一元二次方程求根公式得1(5i)(1i)3i2x-+-==-，2(5i)(1i)22x---==．∴原方程的解为13ix=-，22x=．法二：设i()x a b a b=+∈R，，则有2(i)5(i)6(2)i0a b a b a bi+-++++-=，22(56)(252)i0a b a b ab b a⇒---++-+-=225602520a b a bab b a⎧---+=⎪⇒⎨-+-=⎪⎩①②，由②得：5221bab+=+，代入①中解得：31ab=⎧⎨=-⎩或2ab=⎧⎨=⎩，故方程的根为123i 2x x =-=，．【例20】 已知21z x =+22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【答案】112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．【解析】12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴， 22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．【解析】 若α，β为实数，则440k ∆=-≥且2222()()444k αβαβαβαβ-=-=+-=-=，解得1k =-．若α，β为虚数，则440k ∆=-<且α，β共轭，2222()()444k αβαβαβαβ-=--=-++=-+=，解得3k =．综上，1k =-或3k =．【例23】 用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，． 并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．【解析】 1n =时，结论显然成立；若对n k =时，有结论成立，即(cos isin )cos()isin()k k k θθθθ+=+， 则对1n k =+，1(cos isin )(cos isin )(cos isin )k k θθθθθθ++=++ 由归纳假设知，上式(cos isin )[cos()isin()]k k θθθθ=++cos[(1)]isin[(1)]k k θθ=+++，从而知对1n k =+，命题成立．综上知，对任意n ∈N ，有(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ+=+∈N ，．即(525)(5415)0x y x y i +-++-=， 故525054150x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得15x y =-⎧⎨=⎩，故4x y +=．【例26】 已知1zz -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹． 【答案】以102⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，． 【解析】 法一：设i z x y =+（x y ∈R ，），则222i (1)i 11i (1)z x y x x y y z x y x y +-+-==--+-+是纯虚数， 故220(0)x y x y +-=≠，即z 的对应点的轨迹是以102⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．(10)，． 【解析】 ∵()23i f z z z =+-，∴(i)2(i)(i)3i 22i i 3i f z z z z z +=+++-=++--22i.z z =+- 又知(i)63i f z +=-，∴22i 63i z z +-=-设i z a b =+（a b ∈R ，），则i z a b =-，∴2(i)(i)6i a b a b -++=-，即3i 6i a b -=-， 由复数相等定义得361a b =⎧⎨-=-⎩，解得21a b ==，．∴2i z =+． 故()(2i)2(2i)(2i)3i 64i f z f -=--=--+-+-=--．【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：①设i z x y =+（x y ∈R ，）的共轭复数为z ，则2z z x +=；2i z z y -=； ②z 为实数2220z z z z z ⇔=⇔>⇔=； ③z 为纯虚数200(0)z z z z ⇔<⇔+=≠；④对任意复数有z z =；1212z z z z ±=±；1212z z z z =⋅，特别地有22()z z =；1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭；2z z z =⋅．2．2ωω=，22233111110ωωωωωωωω++++==++=． 22111121ωωωωωωω++-====-+-+． 【点评】利用12ω=-的性质：3313221()n n n n ωωωωω++===∈Z ，，，210ωω++=可以快速计算一 些ω相关的复数的幂的问题．【例30】 若232012320n n a a a a a ωωωω+++++=L （012212n n a a a a ω+∈∈=-N R L ，，，，，，），求证：036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L设036147258A a a a B a a a C a a a =+++=+++=+++L L L ，，， 则有20A B C ωω++=，即11022A B C ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，202)0A B CB C --⎧=⎪⎪⇒-=，解得A B C ==，即036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L ．（3）2222211222221(1)(1)11b a a w u a a a a a a a a ---=+=+=-=-+++++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>， 故223431w u -⋅=-=≥． 当111a a +=+，即0a =时，2w u -取得最小值1．【例32】 对任意一个非零复数z ，定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，． （1）设σ是方程1x x+=的一个根，试用列举法表示集合M σ； （2）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【答案】（1）i)i)i)i)2222M σ⎫⎪=+---+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，，；（2）略【解析】 （1）∵σ是方程1x x+为虚数（2）将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1y x =+上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．【答案】（1）x x y y⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩；（2）(22y x =-；（3）这样的直线存在，其方程为3y x =或3y x =- 【解析】 （1）由题设，002w z z z z z =⋅==，∴02z =，于是由214m +=，且0m >，得3m =，因此由(13i)(i)3(3)i x y i x y x y x y ''+=-⋅+=++-，得关系式33x x yy x y ⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩．（2）设点()P x y ，在直线1y x =+上，则其经变换后的点()Q x y ''，满足(13)3(31)1x x y x ⎧'=++⎪⎨'=--⎪⎩， 消去x ，得(23)232y x ''=--+，故点Q 的轨迹方程为(23)232y x =--+． （3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为(0)y kx b k =+≠． ∵该直线上的任一点()P x y ，，其经变换后得到的点(33)Q x y x y +-，仍在该直线上，∴3(3)x y k x y b -=++，即(31)(3)k y k x b -+=-+， 当0b ≠时，方程组(31)13k k k⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩无解，故这样的直线不存在．当0b =，由(31)31k k k -+-=，得23230k k +-=，解得33k =或3k =-． 故这样的直线存在，其方程为33y x =或3y x =-．【习题1】 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（）A ．()15，B ．()13，C ．()15，D ．()13，【答案】C【解析】 21z a =+，而02a <<，∴15z <<【习题2】 设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限课后检测【答案】B【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-==->，cos()cot tan 0sin cos A B B A B A +-=<．【习题3】4等于（）A．1B．1-C．1D．1-【解析】原式42522516(1i)1(2i)221211ωω+==-⋅===-+⎛⎫⎛⎫，选B ． 1OZ u u u u r，。