高中数学必修一：1.1第一课时
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合之间的关系的,不能用来表示集合与集合之 间的关系,这一点千万要记准)
集合的概念 【例 1】 下列各组对象:①接近于 0的数的全体; ②比较小的正整数的全体;③平面上到点 O 的距离 等于 1的点的全体;④正三角形的全体;⑤ 2的近 似值的全体.其中能构成集合的组数是( ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )5
如何判定数与数集之间的关系?(首先应明确 数集的含义,每个数集的元素是什么,再判断数 与数集的关系)
变式训练 3 1:设不等式 3-2x<0的解集为 M ,下列正 确的是( ) (A )0∈M ,2∈M (B )0∉ M ,2∈M (C )0∈M ,2∉ M (D )0∉ M ,2∉ M 解析:从选项来看,本题是判断 0和 2与集合 M 间的 关系,因此只需判断 0和 2是否符合不等式 3-2x<0 即可,代入不等式,易得 0∉ M ,2∈M ,故选 B .
变式训练 1 1:下列各组对象不能构成集合的是( ) (A )山东瀚海书业有限公司的所有员工 (B )2010年参与上海世博会的所有国家 (C )好心的人 (D )所有小于 18的既是奇数又是质数的正实数
解析:A 、B 、D 中涉及的元素都是确定的,如 D 中 满足条件的正实数只有 3、5、7、11、13、17,故 它们都能构成集合,而 C 中没有一个确定的标准 来判断某个人是否是“好心的人”,所以不能组成 集合.故选 C .
二、集合相等 2:例③组成的集合的元素是什么?与
例④什么关系? (相等)
2:集合相等:只要构成两个集合的元 素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
2:若集合中元素的排列顺序不同,集合 就不同吗? (相同,即集合中元素具备无序性:集合与其中元素的排 列顺序无关,这个特性通常用来判断两个集合的关系)
1:(1)例⑤不能组成集合,与例①~④对 照,这说明集合中的元素应具备什么特征? (确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定 的.即一个集合一旦确定,某一个元素属于不属于这 个集合是确定的.要么是该集合中的元素要么不是, 二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体 是否能构成集合)
(2)例④组成的集合中有几个元素? (1个.这是因为“集合中的元素必须是互异的, 就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元 素都是不同的.如方程(x-1)2=0的解构成的集合 为{1},而不能记为{1,1}.这个特性通常被用来 判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的 未知元素.”)
3:(1)是否存在某个元素 a,使得 a∈
A 与 a∉ A 同时成立或同时不成立? (不存在,a∈A 与 a∉ A 取决于 a是不是集合 A 中的 元素.根据集合中元素的确定性,可知对任何 a与 A, 在 a∈A 与 a∉ A 这两种情况中必有一种且只有一 种成立)
(2)N ∈Z 对吗? (不对.因为符号“∈”“∉ ”是表示元素与集
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义
1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的
“属于”关系. 2.了解集合中元素的确定性、无序性和互异性. 3.掌握数学中一些常用的数集及其记法.
【实例】 观察下列实例: ①2012年 1月 1日之前,在腾讯微博注册的会员 ②平面内到定点 O 的距离等于定长 d的所有的点
集合中元素的性质 【例 2】 (12分)已知集合 A 含有两个元素 a-3和 2a-1,若-3∈A,试求实数 a的值. 名师导引:怎样利用集合中元素的性质建立关于 a的方程?(根据集合中元素的确定性,可得 a-3=-3或 2a-1=-3)
解:∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1(2分) 若-3=a-3,则 a=0.(4分) 此时集合 A 中含有两个元素-3、-1,符合题意.(6分) 若-3=2a-1,则 a=-1.(8分) 此时集合 A 中含有两个元素-4,-3,符合题意.(10分)
三、常用数集及表示符号 3:我们经常用数学符号来表示数学问
题,一些特殊的数集如何用数学符号表示呢?
3:(1)集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母 A,B ,C ,…表示集合. 通常用小写拉丁字母 a,b,c,…表示集合中的元素.
(2)常用数集及表示符号
常用数集
简称
全体非负整数的 集合
非负整数集(或 自然数集)
解析:“接近于 0的数”“比较小的正整数”标准 不明确,即元素不确定,所以①②不是集合.同样, “ ������的近似值”也不明确精确到什么程度,因此很 难判定一个数,比如 2是不是它的近似值,所以⑤也 不是一个集合.③④能构成集合.选 A .
如何判断一组元素能否构成集合?(判断元素能否 构成集合,关键是集合中元素的确定性,即能否找 到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合的 元素,若标准明确则可以构成集合,否则不可以)
综上所述,a=0或 a=-1.(12分)
(1)本题求解中利用了集合元素的什么性质?(确定 性、互异性) (2)是否有必要代回检验?(为防止与互异性矛盾,需 要代回检验,这是初学者易忽视致错的环节) (3)求解中利用了什么数学思想方法?(分类讨论思 想,要注意将分类讨论的结果加以综合作答)
变式训练 2 1:(2011青岛师大附中高一检测)若一个 集合中的三个元素 a,b,c是△AB C 的三边长,则此三角 形一定不是( ) (A )锐角三角形 (B )直角三角形 (C )钝角三角形 (D )等腰三角形
【例 1】以方程 x2-5x+6=0和方程 x2-x-2=0的解
为元素的集合共有
个元素.
解析:x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,
∴x1=2,x2=3, x2-x-2=(x-2)(x+1)=0,
∴x3=2,x4=-1,
根据集合中元素的互异性可知,组成的集合中
只有-1,2,3共 3个元素.
答案:3
∴a=0或 a=1.
通过本节课的学习有什么收获?
1.学习了元素、集合的概念及其之间的关系; 2.能利用集合中元素的性质判定一组元素能否构 成集合; 3.解决集合中元素的性质问题时,要注意利用互异 性进行检验,并注意分类讨论思想的应用.
③不等式组
������
+ ������2
1≥ <9
3的整数解
④方程 x2-4x+4=0的实数根
⑤我校经常参加体育锻炼的同学
一、集合的概念 1:你能确定上述实例的研究对象吗?谁能组
成集合? (①②③④的研究对象可以确定,能组成集合)
1:一般地,我们把研究对象统称为元素, 把一些元素组成的总体叫做集合.
【例 2】 设 A 是满足 x<6的所有自然数组成的集合, 若 a∈A,且 3a∈A,求 a的值.
解:∵A 是满足 x<6的所有自然数组成的集合, 且 a∈A,3a∈A,
������ < 6 ������ < 6 ∴ ������������ < 6,即 ������ < 2,
������∈������ ������∈������
解析:据集合中元素的互异性,可知 a、b、c互不相等来自百度文库 故选 D .
元素与集合的关系 【例 3】 下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ;② 3∉ Q ;③0∈N *;④|-4|∉ N * (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 名师导引:常见数集的表示符号有哪些?(N 、N *、 Z 、Q 、R ) 解析:①π∈R 显然是正确的;② ������是无理数,而 Q 表示有理数集,∴ ������∉ Q ,正确;③N *表示不含 0 的自然数集,∴0∉ N *,③错误;④|-4|=4∈N *,④错 误,所以①②是正确的,故选 B .
所有正整数的集合
正整数集
全体整数的集合 全体有理数的集合
整数集 有理数集
全体实数的集合
实数集
记法
N N *或 N +
Z Q R
四、元素与集合的关系
4:对于给定的一个集合 A 与某一元素
a,它们之间会存在什么关系?
4:元素与集合的关系 (1)属于:如果 a是集合 A 的元素,就说 a属于集合 A,记 作 a∈A. (2)不属于:如果 a不是集合 A 中的元素,就说 a不属于 集合 A,记作 a∉ A.
集合的概念 【例 1】 下列各组对象:①接近于 0的数的全体; ②比较小的正整数的全体;③平面上到点 O 的距离 等于 1的点的全体;④正三角形的全体;⑤ 2的近 似值的全体.其中能构成集合的组数是( ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )5
如何判定数与数集之间的关系?(首先应明确 数集的含义,每个数集的元素是什么,再判断数 与数集的关系)
变式训练 3 1:设不等式 3-2x<0的解集为 M ,下列正 确的是( ) (A )0∈M ,2∈M (B )0∉ M ,2∈M (C )0∈M ,2∉ M (D )0∉ M ,2∉ M 解析:从选项来看,本题是判断 0和 2与集合 M 间的 关系,因此只需判断 0和 2是否符合不等式 3-2x<0 即可,代入不等式,易得 0∉ M ,2∈M ,故选 B .
变式训练 1 1:下列各组对象不能构成集合的是( ) (A )山东瀚海书业有限公司的所有员工 (B )2010年参与上海世博会的所有国家 (C )好心的人 (D )所有小于 18的既是奇数又是质数的正实数
解析:A 、B 、D 中涉及的元素都是确定的,如 D 中 满足条件的正实数只有 3、5、7、11、13、17,故 它们都能构成集合,而 C 中没有一个确定的标准 来判断某个人是否是“好心的人”,所以不能组成 集合.故选 C .
二、集合相等 2:例③组成的集合的元素是什么?与
例④什么关系? (相等)
2:集合相等:只要构成两个集合的元 素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
2:若集合中元素的排列顺序不同,集合 就不同吗? (相同,即集合中元素具备无序性:集合与其中元素的排 列顺序无关,这个特性通常用来判断两个集合的关系)
1:(1)例⑤不能组成集合,与例①~④对 照,这说明集合中的元素应具备什么特征? (确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定 的.即一个集合一旦确定,某一个元素属于不属于这 个集合是确定的.要么是该集合中的元素要么不是, 二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体 是否能构成集合)
(2)例④组成的集合中有几个元素? (1个.这是因为“集合中的元素必须是互异的, 就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元 素都是不同的.如方程(x-1)2=0的解构成的集合 为{1},而不能记为{1,1}.这个特性通常被用来 判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的 未知元素.”)
3:(1)是否存在某个元素 a,使得 a∈
A 与 a∉ A 同时成立或同时不成立? (不存在,a∈A 与 a∉ A 取决于 a是不是集合 A 中的 元素.根据集合中元素的确定性,可知对任何 a与 A, 在 a∈A 与 a∉ A 这两种情况中必有一种且只有一 种成立)
(2)N ∈Z 对吗? (不对.因为符号“∈”“∉ ”是表示元素与集
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义
1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的
“属于”关系. 2.了解集合中元素的确定性、无序性和互异性. 3.掌握数学中一些常用的数集及其记法.
【实例】 观察下列实例: ①2012年 1月 1日之前,在腾讯微博注册的会员 ②平面内到定点 O 的距离等于定长 d的所有的点
集合中元素的性质 【例 2】 (12分)已知集合 A 含有两个元素 a-3和 2a-1,若-3∈A,试求实数 a的值. 名师导引:怎样利用集合中元素的性质建立关于 a的方程?(根据集合中元素的确定性,可得 a-3=-3或 2a-1=-3)
解:∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1(2分) 若-3=a-3,则 a=0.(4分) 此时集合 A 中含有两个元素-3、-1,符合题意.(6分) 若-3=2a-1,则 a=-1.(8分) 此时集合 A 中含有两个元素-4,-3,符合题意.(10分)
三、常用数集及表示符号 3:我们经常用数学符号来表示数学问
题,一些特殊的数集如何用数学符号表示呢?
3:(1)集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母 A,B ,C ,…表示集合. 通常用小写拉丁字母 a,b,c,…表示集合中的元素.
(2)常用数集及表示符号
常用数集
简称
全体非负整数的 集合
非负整数集(或 自然数集)
解析:“接近于 0的数”“比较小的正整数”标准 不明确,即元素不确定,所以①②不是集合.同样, “ ������的近似值”也不明确精确到什么程度,因此很 难判定一个数,比如 2是不是它的近似值,所以⑤也 不是一个集合.③④能构成集合.选 A .
如何判断一组元素能否构成集合?(判断元素能否 构成集合,关键是集合中元素的确定性,即能否找 到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合的 元素,若标准明确则可以构成集合,否则不可以)
综上所述,a=0或 a=-1.(12分)
(1)本题求解中利用了集合元素的什么性质?(确定 性、互异性) (2)是否有必要代回检验?(为防止与互异性矛盾,需 要代回检验,这是初学者易忽视致错的环节) (3)求解中利用了什么数学思想方法?(分类讨论思 想,要注意将分类讨论的结果加以综合作答)
变式训练 2 1:(2011青岛师大附中高一检测)若一个 集合中的三个元素 a,b,c是△AB C 的三边长,则此三角 形一定不是( ) (A )锐角三角形 (B )直角三角形 (C )钝角三角形 (D )等腰三角形
【例 1】以方程 x2-5x+6=0和方程 x2-x-2=0的解
为元素的集合共有
个元素.
解析:x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,
∴x1=2,x2=3, x2-x-2=(x-2)(x+1)=0,
∴x3=2,x4=-1,
根据集合中元素的互异性可知,组成的集合中
只有-1,2,3共 3个元素.
答案:3
∴a=0或 a=1.
通过本节课的学习有什么收获?
1.学习了元素、集合的概念及其之间的关系; 2.能利用集合中元素的性质判定一组元素能否构 成集合; 3.解决集合中元素的性质问题时,要注意利用互异 性进行检验,并注意分类讨论思想的应用.
③不等式组
������
+ ������2
1≥ <9
3的整数解
④方程 x2-4x+4=0的实数根
⑤我校经常参加体育锻炼的同学
一、集合的概念 1:你能确定上述实例的研究对象吗?谁能组
成集合? (①②③④的研究对象可以确定,能组成集合)
1:一般地,我们把研究对象统称为元素, 把一些元素组成的总体叫做集合.
【例 2】 设 A 是满足 x<6的所有自然数组成的集合, 若 a∈A,且 3a∈A,求 a的值.
解:∵A 是满足 x<6的所有自然数组成的集合, 且 a∈A,3a∈A,
������ < 6 ������ < 6 ∴ ������������ < 6,即 ������ < 2,
������∈������ ������∈������
解析:据集合中元素的互异性,可知 a、b、c互不相等来自百度文库 故选 D .
元素与集合的关系 【例 3】 下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ;② 3∉ Q ;③0∈N *;④|-4|∉ N * (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 名师导引:常见数集的表示符号有哪些?(N 、N *、 Z 、Q 、R ) 解析:①π∈R 显然是正确的;② ������是无理数,而 Q 表示有理数集,∴ ������∉ Q ,正确;③N *表示不含 0 的自然数集,∴0∉ N *,③错误;④|-4|=4∈N *,④错 误,所以①②是正确的,故选 B .
所有正整数的集合
正整数集
全体整数的集合 全体有理数的集合
整数集 有理数集
全体实数的集合
实数集
记法
N N *或 N +
Z Q R
四、元素与集合的关系
4:对于给定的一个集合 A 与某一元素
a,它们之间会存在什么关系?
4:元素与集合的关系 (1)属于:如果 a是集合 A 的元素,就说 a属于集合 A,记 作 a∈A. (2)不属于:如果 a不是集合 A 中的元素,就说 a不属于 集合 A,记作 a∉ A.