正态分布课件课件

正态分布是应用最广泛 的一种连续型分布. 棣莫佛最 早发现了二项概率的一个近 似公式,这一公式被认为是正 态分布的首次露面. 正态分布在十九世纪前 叶由高斯加以推广 , 所以通常 称为高斯分布.
2.正态曲线的性质
m s ( x )
y
μ= -1 σ=0.5
1 2s
e

( x m )2 2s 2
a
b
1.正态分布定义
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
y
则称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数m、s 唯一确定, m、s分别表示总体的平均数与标准差. 正态分布记作N（ m，s2）.其图象称为正态曲线. 如果随机变量X服从正态分布，则记作： X~N(m,s2) 。（EX= m DX= s ）
当 a 3s 时正态总体的 X 取值几乎总取值于区 由于这些概率值很小（一般不超过 5 ％ ）， 间 之内 , 其他区间取值几乎不可能 . 在 ( m 3 s , m 3 s ) 通常称这些情况发生为小概率事件。 实际运用中就只考虑这个区间 ,称为 3s 原则.
正态曲线的性质简记 1.(1)非负性：曲线 m ,s ( x) 在轴的上方,与x 轴不相交(即x轴是曲线的渐近线). m ,s ( x) 与x轴围成的面积为1． (2)定值性:曲线
x=m
（5）方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1 μ= 1
σ=0.5
若s 固定, 随m值 的变化而 沿x轴平 移, 故 m 称为位置 参数；
m3
m1
m2
（6）均数相等、方差不等的正态分布图示
μ=0
s=0.5
s=1
若 固定, s 大 时, 曲线“矮而 胖”； s 小时, 曲线 “瘦而高”s ,故 称 为形状参数。 s=2
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
X=m
x2 x1
3.特殊区间的概率:
若X~N
(m,s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
m a m a
P(m a x ≤ m a)
x=μ
m ,s ( x )dx
m-a
m+a
特别地有（熟记）
P( m s X m s ) 0.6826, P( m 2s X m 2s ) 0.9544, P( m 3s X m 3s ) 0.9974.
m 3s m 2s
m s
m
m s m 2s
m 3s
小试牛刀：
1、若X~N（μ，σ2），问X位于区域（μ ，μ ＋σ ） 内的概率是多少？ 解：由正态曲线的对称性可得，
1 P( m x m s ) P( m s x m s ) 0.3413 2
m
m
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
正态曲线下的面积规律（重要）


概率
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。S(-,-X)来自S(X,)＝S(-,-X)
X=m
正态曲线下的面积规律（重要）
对称区域面积相等。
概率
S(-x1, -x2)
不知你们是否注意到街头的一种赌博 活动? 用一个钉板作赌具。
高尔顿板模型与试验
高尔顿板模型
创设情境2
这 个 试 验 是 英国 科学 家 高尔顿设计的 ,具体如下:在一 块木板上,订上n+1层钉子,第1 层2个钉子,第2层3个钉子,……, 第 n+1 层 n+2 个钉子 , 这些钉子 所构成的图形跟杨辉三角形 差不多 .自上端放入一小球 ,任 其自由下落 , 在下落过程中小 球碰到钉子时 , 从左边落下的 概率是P,从右边落下的概率是 1-P, 碰到下一排也是如此 . 最 后落入底板中的某个格 . 下面 我们来试验一下:
P(a X b) m ,s ( x)dx
a
b
0
a
b
x
生活中的正态分布现象
人的身高高低不等，但中等身材的占大 多数，特高和特矮的只是少数，而且较 高和较矮的人数大致相近，这从一个方 面反映了服从正态分布的随机变量的特 点。
除了我们在前面遇到过的年降雨量和 身高外,在正常条件下各种产品的质量指标， 如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作 物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差， 射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等 等，都服从或近似服从正态分布.
P( m s X m s ) 0.6826, P( m 2s X m 2s ) 0.9544, P( m 3s X m 3s ) 0.9974.
我们从上图看到，正态总体在 m 2s , m 2s 以外取值的概率只有4.6％，在m 3s , m 3s 以外 取值的概率只有0.3 ％。
, x ( , )
y
μ=1
y
μ=0
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2
3
x
-3 -2 -1 0
1
2 3
4x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
2.正态曲线的性质
m s ( x )
y μ= -1 σ=0.5
1
2s y
e

( x m )2 2s 2
频率 组距
以球槽的编号为横坐 标，以小球落入各个 球槽内的频率值为纵 坐标，可以画出“频 率分布直方图”。
随着重复次数的增加， 直方图的形状会越来 越像一条“钟形”曲线。
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正态分布密度曲线（简称 正态曲线）
Y
“钟形”曲线 函数解析式为：
X
1 m ,s ( x) e 2s
0
( x m )2 2s 2
, x ( , )
y μ=1
μ=0 σ=1
σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
-3 -2 -1 0
x=m
1 2
x
-3 -2 -1 0
x=m
1 2 3 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. 1 （3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) σ 2π （4）曲线与x轴之间的面积为1。
列出频率分布表
分组 25.235~25.265 25.265~25.295 25.295~25.325 25. 325~25.355 25.355~25.385 25.385~25.415 25.415~25.445 25.445~25.475 25.475~25.505 25.505~25.535 频数 1 2 5 频率 0.01 0.02 0.05 累积频率 0.01 0.03 0.08 频率/组距 0.0009 0.0018 0.0045
X P 0 1 … … k
k Cn p k q n k
… …
n
n n 0 Cn p q
1 1 n－1 0 0 n pq Cn p q Cn
4.由函数 y f ( x) 及直线 x a, x b, y 0y
围成的曲边梯形的面积S=_________ a f ( x)dx ；
O
b
a
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从 正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；
在测量中，测量结果； 在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
小试牛刀：
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2)内取值的概率 A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.0228 D ,
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0)= 0.5
P(2 X 2) =
0.9544
.
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则 0.3 相应的正态曲线在x= 时达到最高点。 5、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落 在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学 1 期望是 。
0.02 1.00
1.00
0.0018
频率分布直方图
频率 组距
100件产品尺寸的频率分布直方图
8 6 4 2
o
产品内径尺寸/mm
频数 组距
200件产品尺寸的频率分布直方图
y
0
x
样本容量增大时频率分布直方图
频率 组距
8
6
4 2
o
产品内径尺寸/mm
可以看出 , 当样本容量无限大 , 分组的组距 无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无 限接近于一条光滑曲线
(3)对称性：正态曲线关于直线 x=μ对称， 曲线成“钟形”． (4)单调性：在直线 x=μ的左边, 曲线是上升的; 在直线 x=μ的右边, 曲线是下降的.
1 (5)最值性:当 x=μ时,m ,s ( x)取得最大值 s 2 1 σ越大， s 2 就越小,于是曲线越“矮胖”,
表示总体的分布越分散;反之σ越小,曲线越 “瘦高”,表示总体的分布越集中． (6) 几 何 性 : 参 数 μ 和 σ 的统计意义:E(x)=μ,曲 线的位置由μ决定 ;D(x)=σ2, 曲 线 的 形 状 由σ决定.
《新教材北师大版选修选修２－３》第二章第六节
安远一中
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1两点分布： 2超几何分布：
X 0
0 n CM CN M n CN
X P …
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1 p …