材料力学 第06章 弯曲变形要点

1 弯曲问题的分析过程：弯曲问题的分析过程：弯曲内力弯曲应力弯曲变形解决刚度问题尽量从理论上分析——一般然后实验上验证——个别

2 拉压扭转弯曲伸长量转角挠度deflection 挠度转角rotation 转角工程上的梁变形问题不容忽视•影响使用影响使用•引发破坏引发破坏•产生不安全感产生不安全感•减少冲击、振动减少冲击、减少冲击•利用变形作为开关利用变形作为开关提高性能

3 梁的强度梁的刚度保证梁的具有足够抵抗破坏的能力保证梁不发生过大的变形过大变形的危害: 例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。车床主轴变形过大，影响其加工精度。例2：高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感。高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感。

4 第六章§6–1 概述弯曲变形 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–4 §6–

5 §6–

6 简单超静定梁的求解方法简单超静定梁的求解方法梁的刚度校核如何提高梁的承载能力 5 §6－１概述研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；研究目的：对梁作刚度校核；②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。 6 康奈尔大桥法国最高的大桥

7 房屋的横梁

8 天线

9 原子力显微镜探头流体机械中的悬臂阀门 10 梁的弯曲变形实验 11 一、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。表示。 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。挠度表示同向为正，反之为负。与 w 同向为正，反之为负。C v C1 θ dx dw P x θ 2.转角： 2.转角：横截面绕其中性轴转转角动的角度。表示，动的角度。用θ 表示，顺时针转动为正，反之为负。针转动为正，反之为负。 f 挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。

二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：其方程为： w =w(x) 小变形三、转角与挠曲线的关系：θ = dw 转角与挠曲线的关系：tg dx θ < 1o (0.0175rad ) ⇒ θ = w' (1) 12 13 14 §6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 15 一、挠曲线近似微分方程M z ( x) = ρ EI z 1 (1) w M>0 由高等数学的知识： w "( x) > 0 w M<0 w "( x) < 0 x 1 w "( x) 小变形=± ≈ 3 ρ ( x) (1 + w '2 ) 2 x ± w "( x) M z (x) ∴ w "( x ) = ± EIz M (x ) w" = L (2 ) EI z 式（2）就是挠曲线近似微分方程。就

是挠曲线近似微分方程。 16 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： EIw" (x) = M(x) 二、求挠曲线方程（弹性曲线）求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分EIw"( x) = M ( x) EIw '( x ) = ∫ ( M ( x ))dx + C1 EIw ( x ) = ∫ ( ∫ ( M ( x ))d x )d x + C1 x + C 2 2.位移边界条件 P A C B D 17 P 支点位移条件：wA = 0 连续条件：光滑条件：讨论：讨论： wB = 0 wC −= wC + wD = 0 θD = 0 = θC右或写成 wC 左 = wC 右或写成θC − = θC+ θC 左①适用于小变形情况

下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、件）确定。确定。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。 18 梁的边界条件固定铰支座和可动铰支座固定端自由端滑动固定端自由端固定和可动铰支座固定端滑动固定端自由端y=0 y=0 y= ~ y= ~ θ=~ θ=0 θ=0 θ= ~ Q= ~ Q= ~ Q=0 Q=0 M=0 M= ~ M= ~ M=0 19 位移条件静力条件 [例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 (1),解: (1), 建立坐标系并写出弯矩方程 M ( x) = P ( x − L) f L P x (1) x 写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数EIf ′′ = M ( x) = P( x − L) 1 3 EIf (0) = − PL + C2 = 0 6 1 2 EIθ (0) = EIf ′(0) = PL + C1 = 0 2 1 2 1 3 ∴ C1 = − PL ; C2 = PL 2 6 20 1 EIf ′ = P( x − L) 2 + C1 2 1 EIf = P( x − L)3 + C1 x + C2 6 f L P x 写出弹性曲线方程并画出曲线

最大挠度及最大转角θ max PL2 = θ ( L) = 2 EI f max PL3 = f ( L) = − 3EI 21 (2),解：建立坐标系并写出弯矩方程

(0 ≤ x ≤ a ) ( a ≤ x ≤ L) f a L (2) P x 写出微分方程并积分P ( x − a ) (0 ≤ x ≤ a )

应用位移边界条件求积分常数 f a L P x 1 3 EIf (0) = − Pa + C2 = 0 6 1 2 EIθ (0) = Pa + C1 = 0 2 θ (a − ) = θ (a + ) f (a − ) = f (a + ) ∴ C1 = D1 ∴ C1a + C2 = D1a + D2 1 1 2 ∴ C 1 = D1 = − Pa ; C 2 = D 2

= Pa 3 2 6 23 写出弹性曲线方程并画出曲线

) 最大挠度及最大转角a P L x θ max f max Pa 2 = θ (a) = 2 EI Pa 2 = f ( L) = − [ 3L − a ] 6 EI 24 例：如图所示的梁，试计算其挠曲线 A 解：首先计算梁的弯矩，绘制弯矩图，a AB: 0 ≤ x ≤ 2 q=10kN/m B a＝＝2m 20kN•m (-) B P＝20kN D a E BD: 2 ≤ x ≤ 4 qx 2 M (x) = − 2 A M ( x ) = −2q + 15( x − 2) DE: 4 ≤ x ≤ 6 1 M ( x ) = −2q + 30 − q( x − 4 ) 2 D (+) 10kN•m E 25 P＝20kN 对M(x)作两次积分，得到分段的挠曲线方程：A AB: 0 ≤ x ≤ 2 q=10kN/m B a a＝2m D a E BD: 2 ≤ x ≤ 4 1 4 f ( x ) = − qx + c0 x + c1 24 2 5 f ( x ) = −15 x + x3 + c2 x + c3 2 DE: 4 ≤ x ≤ 6 5 3 2 f ( x ) = − x + 10 x + c4 x + c5 6 26 弯矩图三段，弯矩图三段，共6个个积分常数需6个边界条件和个边界条件和连续条件 A P＝20kN q=10kN/m B a a＝ 2m D a E B点 f B = 0, θB+ = θB− ： D点f D+ = f D− , ： E点：E = 0 f θD+ = θD− df 同时，利用θ = dx 将边界条件带入挠曲线方程，就可以确定6个积分常数 27 积分法求梁变形的基本步骤：积分法求梁变形的基本步骤：①写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出写出弯矩方程；要分段写出, 要分段写出或者用奇异函数表示。②由