勾股定理折叠问题和最短路径问题
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A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
A
5
A
3
1
5
C
12 B
∵ AB2=AC2+BC2=169,
∴ AB=13.
B
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
Baidu Nhomakorabea
练习:三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向
对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为
CE，求三角形ACE的面积
A
A
A
12-x 8
12
13
x E x
D1 5
B D C D5 C D5 C
例3：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
A
x
1.5米
1.5米
2.2米
2.2米
1.5米
1.5米
Cx
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。
B
40
.D 5C0
30
C
A
40
502 702 7400 D 50
A
图③
1.如图，已知长方体的长、宽、高分
别为4cm、3cm、12cm，求BD’的长。
解:连结BD，在直角三角形 D’
C’
ABD中，根据勾股定理 A’
B’
BD2 AB2 AD2 42 32 52
BD 5
在直角三角形D’ BD 中，根 据勾股定理
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
例1.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边 上的高线AD=8,求BC
A
17
8 10
B
C
例2、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
A
F
D
(3）求EF长
(4)连接DG,求△DFG面积
B
C
E
利用勾股定理 求解几何体的最短路线长
一、台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
三、正方体中的最值问题
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
B C
C1 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股
B1
1 C
定理可求得图1中AC1爬行的路线最
2 B
短.
D1
C1
①
1
D
C
2
A
4
B
A1
②
A
4
B1
C1
1
B2 C
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
D D1
C1
2
③
A 1 A1
4
B1
AC1 =√52+22 =√29 .
练习:◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm
BD'2 DD'2 BD2 122 52 132
BD' 13(cm）。
D
C
答：BD’为 13cm。
A
B
17.小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈
去买竹竿。
买最长 的吧！
快点回家， 好用它凉衣
服。
糟糕，太
长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米， 那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少 米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
B
A 5
2
1
P
D
C1
4
1
E
A′
4
小 结： 把几何体适当展开成平面图
形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
能力提升
1、在Rt△ABC中,∠C＝90°，AB=c，BC=a， AC=b. （1）已知a=6,c=10.求b;
（2）已知a=24,c=25.求b;
勾股定理习题课
利用勾股定理求折叠问题 利用勾股定理求解几何体的最短路线长
方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆
. 虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要
爬多远？
B
40
.A
C
50
30 D
.B
40
C
B
.
50
A 30 D
40
A 30 D 50
C
802 402 8000
图①
.
C 50 B
B
40
50
.C
C
A 30 D
40
302 902 9000 A 30 D 图②
. C 30 B
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求 (1) CF ( 2) EC. (3) AE
10
D
A
8-X
8 10
E
8-X X
B
6
F4 C
训练:2、如图,把长方形纸片ABCD折叠, 使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。 若AB=3,BC=9.点D对应点是G
G
(1)求BE
(2)求△AEF面积
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
A
5
A
3
1
5
C
12 B
∵ AB2=AC2+BC2=169,
∴ AB=13.
B
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
Baidu Nhomakorabea
练习:三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向
对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为
CE，求三角形ACE的面积
A
A
A
12-x 8
12
13
x E x
D1 5
B D C D5 C D5 C
例3：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
A
x
1.5米
1.5米
2.2米
2.2米
1.5米
1.5米
Cx
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。
B
40
.D 5C0
30
C
A
40
502 702 7400 D 50
A
图③
1.如图，已知长方体的长、宽、高分
别为4cm、3cm、12cm，求BD’的长。
解:连结BD，在直角三角形 D’
C’
ABD中，根据勾股定理 A’
B’
BD2 AB2 AD2 42 32 52
BD 5
在直角三角形D’ BD 中，根 据勾股定理
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
例1.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边 上的高线AD=8,求BC
A
17
8 10
B
C
例2、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
A
F
D
(3）求EF长
(4)连接DG,求△DFG面积
B
C
E
利用勾股定理 求解几何体的最短路线长
一、台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
三、正方体中的最值问题
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
B C
C1 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股
B1
1 C
定理可求得图1中AC1爬行的路线最
2 B
短.
D1
C1
①
1
D
C
2
A
4
B
A1
②
A
4
B1
C1
1
B2 C
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
D D1
C1
2
③
A 1 A1
4
B1
AC1 =√52+22 =√29 .
练习:◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm
BD'2 DD'2 BD2 122 52 132
BD' 13(cm）。
D
C
答：BD’为 13cm。
A
B
17.小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈
去买竹竿。
买最长 的吧！
快点回家， 好用它凉衣
服。
糟糕，太
长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米， 那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少 米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
B
A 5
2
1
P
D
C1
4
1
E
A′
4
小 结： 把几何体适当展开成平面图
形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
能力提升
1、在Rt△ABC中,∠C＝90°，AB=c，BC=a， AC=b. （1）已知a=6,c=10.求b;
（2）已知a=24,c=25.求b;
勾股定理习题课
利用勾股定理求折叠问题 利用勾股定理求解几何体的最短路线长
方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆
. 虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要
爬多远？
B
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.A
C
50
30 D
.B
40
C
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A 30 D
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802 402 8000
图①
.
C 50 B
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.C
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A 30 D
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302 902 9000 A 30 D 图②
. C 30 B
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求 (1) CF ( 2) EC. (3) AE
10
D
A
8-X
8 10
E
8-X X
B
6
F4 C
训练:2、如图,把长方形纸片ABCD折叠, 使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。 若AB=3,BC=9.点D对应点是G
G
(1)求BE
(2)求△AEF面积