3.2矩阵的对角化

P1AP B
B E P1AP E P1( A E)P
P1 A E P
AE
2020年3月2日星期一
(Spring,24ppt)
2
定义3.4 设A为n阶方阵，A的主对角线上元素之和 称为A的迹，记作Tr(A).
性质3.1 对矩阵Anxs与矩阵Bsxn ,有: Tr(AB)=Tr(BA)
1 1 对应的特征向量为 1 (1, 1)
2 6 对应的特征向量为 2 (2, 3)
P 1
2



1 1
2
3

P1
AP


1 0
0
6

1
A

P

0
A202200年3月P2日10星期一60
20

P1

1 21
2020年3月2日星期一
(Spring,24ppt)
18
考虑 A的特征值 1。对方程组 ( I A) X 0，
仅当 秩 ( I A) 1时，才能使基础解系含 2个解。
又
0 a 2 0 a 0
I

A


0 0
0 0
21


0 0
0 0
01
2020年3月2日星期一
(Spring,24ppt)
21
对 2，解 (2I A)X 0 得基础解系
X4 (1,1,1,1)T
令
1 1 1 1


P [X1
X2
X3
X
4
]


1 0
0 1
0 0
1 1


0 0 1 1
则
2020年3月2日星期一
(Spring,24ppt)
故 a 0 。所以，当 a 0 时，A可对角化。
2020年3月2日星期一
(Spring,24ppt)
19
练习3 设
求 An。
1 1 1 1
A



1 1
1 1
1 1
1 1


1 1 1 1
解 ∵ | I A | ( 2)( 2)3
3.2 矩阵的对角化 3.2.1相似矩阵及其性质
定义3.3
设 A和B为 n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵P，
使得
P1AP B
则称A相似于B，或说A和B相似 。
2020年3月2日星期一
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1
定理3.5.若n阶矩阵A和B相似，则A和B有相同的 特征多项式和特征值。
分析：
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(Spring,24ppt)
25
Am

P


2m
O



P
1
nm
2020年3月2日星期一
(Spring,24ppt)
13
例3
设
A
3


3
2
4

,
求A20
解 A的特征方程为
3 AE
2 2 7 6 ( 1)( 6)
3 4
特征值为 1 1, 2 6

1(Spri3ng,24pp0t)
0 13
620

5

1
2
1

0 6

P1
14
将一个方阵A对角化,可以按如下步骤进行: 第一步 : 令 | E A | 0,求出A的全部特征值1, 2,L , r.
第二步:解(iE-A)x=0(i=1,2,L ,r),求出每个特征值i对应的齐次方
P1


1
1
0

1 2 1
2 0 0
P 1 AP


0
1
0

0 0 1
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10
1 1 0 例2 矩阵A = 4 3 0 能否相似于对角阵？
1 0 2 为什么？
1 1
对于 2 3 1 可求得线性无关的特征向量
2 (2,1, 0), 3 (0, 0,1)
2020年3月2日星期一
(Spring,24ppt)
这三个特 征向量线 性无关
9
1 2 0
P 1
2
3


1
1
1
0

0 1
1 2 0
P1 P A P1P A A B
(2)
P1AP B tr(B) tr(P1AP)
tr(APP1) tr(A)
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4
3.2.2 矩阵的对角化(n阶方阵)
相似矩阵具有许多共同的性质,对于n阶矩阵,希望 在与A相似的矩阵中寻找一个较简单的矩阵,在研 究A的性质时只需研究这一较简单矩阵的同类性质, 因此,考虑n阶矩阵是否与一个对角矩阵相似的问题, 即矩阵的对角化(Diagonalization)问题.
7
推论3.2
如果n阶矩阵A的特征值 1,L , n 互不相同
则相似于对角矩阵
1


O


n
定理 3.7: n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对
于每一个 ni 重特征值
向量（证明略）。

i
，对应着
ni 个线性无关的特征
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0
解 | λE – A | = 4 3 0 =(λ- 2)(λ-1)2
1
0
2
所以 A的特征值为 λ1 = 2 λ2 =λ3 = 1
对于 λ2 =λ3 = 1，解方程组 (E – A )χ= 0 对系数矩阵作初等变换
2 1 0
1 0 1

4
2
0

0
1
2
B1AB D AB BD A(1, L ,n ) (d11, L , dnn )
A1 d11, L , An dnn 由B可逆便知：1, L , n 都是非零向量，因而都是A的特征
向量，且 1, L , n 线性无关。
2020年3月2日星期一
(Spring,24ppt)
2020年3月2日星期一
(Spring,24ppt)
5
定理3.6 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充分必 要条件是A有n个线性无关的特征向量.
证明:充分性
设A的n个特征向量1,L ,n线性无关，
它们对应的特征值分别是1,L , n , 则
A1 11, L ,
An nn
A(1 L n ) (11 L nn )
0

P 1 AP


0


2
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17
练习2 已知
1 a 2
A


0
1
2

0 0 2
问 a 满足什么条件时，A可对角化？
解 首先
| I A | ( 1)2( 2)
所以，A的特征值为2（重数为1）和1（重数为2）。
8
例1 用相似变换化下列矩阵为对角形 4 6 0
解 A的特征方程为
A


3
5
0

3 6 1
4 6 0
A E 3 5 0 ( 2)( 1)2
3 6 1
特征值为 1 2, 2 3 1
对于 1 2, 可求得特征向量 1 (1,1,1)
性质3.2 若n阶矩阵A和B相似，则
(1). A和B有相等的行列式; (2). A和B有相等的迹。
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3
性质3.2 若n阶矩阵A和B相似，则 (1). A和B有相等的行列式; (2). A和B有相等的迹。
证明:(1)
P1AP B P1AP B P1 A P B
22
2



P 1AP


2 2


B



2
由此得 A PBP 1。
于是，
An PB nP 1
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23
练习4
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24
作业 P81,
3.9 3.10: (1), (3) 3.11
程组的基础解系.
第三步:若如上求出A有n个线性无关的特征向量1,2,L ,n ,
令P (1,2 ,L ,n )
1

则有 : P1AP
2


O

n

注(1):若A的全部线性无关特征向量个数小于n个,则不能对角化,此时A只能化为若 当标准形.
(2):上式中i和i的对应关系以及矩阵P中列向量的排列顺序在无
记 P (1 L n )
2020年3月2日星期一
1


2


O

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n
AP P P1AP
6
必要性
设A相似于对角矩阵
d1

D


O


dn
即存在可逆矩阵B，使得 B1AB D
B (1, L , n )
重根时不能颠倒.
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15
练习1 下列矩阵是否可对角化
1 A 2
1 2
1 2
解 已知矩阵
1 1 1 1 1 1
A 2 2 2
1 1 1
有特征值 0（二重）和 -2，对应的特征向量分别为
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1 0 1
0 0 0
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11
解方程组

x1

x2

x3 2x3
0 0
x1 x3
得通解

x2

2x3
x3 x3
x1 1 x2 k 2 x3 1
(1,1,0)T , (1,0,1)T , (1,2,1)T
因
1 1 1
1 0 2 0
01 1
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16
故这三个特征向量线性无关。于是A可相似对角化。 以三个特征向量为列构造矩阵
1 1 1
P 1 0 2
则
0 1 1
∴ A有特征值 -2 （重数为1）和 2（重数为3）.
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20
对 2，解 (2I A) X 0 得基础解系
X1 (1,1,0,0)T X2 (1,0,1,0)T X3 (1,0,0,1)T
故特征值2的线性无关的特征向量为也为3，由此得A 可对角化。
(k 为任意常数）
因为 λ2 =λ3 = 1 是二重根，而对应于λ2 =λ3 = 1无 两个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。
2020年3月2日星期一
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12
应用: 利用对角化计算矩阵的乘方
1

P1AP
2


O

n

1m