3.2矩阵的对角化
矩阵相似和对角化
矩阵相似和对角化矩阵的相似和对角化是线性代数中重要的概念和技术。
它们在矩阵理论、线性变换和特征值理论等领域具有广泛的应用。
下面将对矩阵相似和对角化进行详细介绍和相关参考内容的分享。
1. 矩阵的相似性（Matrix Similarity）：矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值与特征向量。
具体来说，对于n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似。
矩阵相似性的特性包括：(1) 相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；(2) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩；(3) 相似矩阵表示相同的线性变换，只是在不同的坐标系下表示。
矩阵的相似性在计算机图形学、信号处理和网络分析等领域有广泛的应用。
下面是几篇相关的参考文献：- "Matrix Similarity and Its Applications"（作者：Yu Zhang）是一篇介绍矩阵相似性及其应用的综述文章。
它详细讨论了相似矩阵的定义、性质和计算方法，并列举了相似矩阵在网络分析和信号处理中的应用案例。
- "On Similarity of Matrices"（作者：Pe tar Rajković et al.）是一篇关于相似矩阵的形式定义和性质研究的论文。
它推导了相似矩阵的充要条件和相似变换的表达式，并给出了相似矩阵的几何解释和应用示例。
- "Graph Similarity and Matching"（作者：Michaël Defferrard et al.）是一本关于图相似性和匹配算法的专著。
它介绍了基于矩阵相似性的图匹配方法，包括谱聚类、图嵌入和子图匹配等技术，对于矩阵相似性的理解和应用具有参考价值。
2. 矩阵的对角化（Matrix Diagonalization）：矩阵的对角化是指将一个可对角化矩阵相似转化成对角矩阵的过程。
矩阵的对角化
Λ
0
1
0
，则有
A PΛP1
0 0 0
1 1 0
从而
An
(PΛP 1)n
PΛn P 1
2
2
0
4 2 1
23
(3) f ( A) A3 3A2 A 2I Pf ( Λ)P1
f (1)
Hale Waihona Puke P
22
(2) 解方程组 (I A)x 0 ，得对应于 1 的2个 线性无关的特征向量 p1 (1, 2, 0)T , p2 (0, 0,1)T
解方程组 (0I A)x 0 ，得对应于 0
的1个线性无关的特征向量 p3 (1,1, 2)T
1 0 0
令
P ( p1, p2 , p3 )及
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Ir
0
0 0
的对称阵.
幂零矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 Am 0 (ｍ为正整数），则称
*
2
L
M M L
*
*L
n
则 1, 2 ,L , n
是A的全部特征值。
4
3.2.2 矩阵的对角化 定理3.6 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充
分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 充分性 设方阵A的n个线性无关的特征向量
第四章 矩阵的对角化
第四章 矩阵的对角化矩阵的特征值、特征向量和方阵的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分, 它们不仅在数学的各个分支有着重要的应用, 而且在其他学科、工程技术以及数量经济分析等领域有着极其广泛的应用. 本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵的相似对角化问题, 并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值与特征向量工程技术中的振动问题和稳定性问题, 往往可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题. 特征值和特征向量的概念不仅在理论上很重要, 而且也可直接用来解决实际问题.一、特征值和特征向量的基本概念 先看一个例子设31,51⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 取1,1α⎛⎫= ⎪⎝⎭可验证31144.5114αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A这说明矩阵A 作用在向量α上变成了常数倍. 我们把具有这种性质的非零向量α称为矩阵A 的特征向量, 数4称为对应于α的特征值.对于一般的n 阶矩阵, 引入如下概念：定义1. 1 设A 是n 阶矩阵, 如果存在数λ和n 维非零向量,α使得,αλα=A则称数λ为矩阵A 的特征值,α是A 的属于（或对应于）特征值λ的特征向量.根据定义, n 阶矩阵A 的特征值, 就是使齐次线性方程组()λ0E A x -= 有非零解的λ的值, 即满足方程0-=E A λ的λ都是矩阵A 的特征值. 在复数域上n 次方程有n 个根（重根按重数计算）, 因此n 阶矩阵A 在复数域上有n 个特征值.方阵A 的对应于特征值λ的特征向量就是齐次线性方程组()λ0E A x -=的非零解.定义1. 2 设n 阶矩阵(),⨯=ij n n A a 则()f =λ-E A λ111212122212n n n n nna a a a aa a a a λλλ------=---称为矩阵A 的特征多项式, -E A λ称为A 的特征矩阵, 0-=E A λ称为A 的特征方程.根据上述定义, 求n 阶A 的特征值与特征向量的求法可按如下步骤进行： （1）由()0f E A λλ=-=求出矩阵A 的全部特征值12,,,,n λλλ 其中0)(=λf 的t重根, 对应A 的t 个数值相同的特征值.（2）对于A 的每一个特征值,i λ求解齐次线性方程组(),λ-=0i E A x 设它的一个基础解系为12,,,n r ξξξ- （其中()i r R E A λ=-, 则A 的属于i λ的全部特征向量为1122,n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,n r k k k - 是不全为零的任意实数. 例1. 1 求1124-⎛⎫=⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为-=E A λ11(2)(3),24λλλλ-=---- 故A 的特征值为122,3λλ==．对特征值12λ=, 解方程(2)-=0E A x , 由(2)-E A 1111,2200⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求得(2)-=0E A x 基础解系为11,1ξ-⎛⎫=⎪⎝⎭故111(0)k k ξ≠是对应于12λ=的全部特征值向量．对特征值23λ=, 解方程(3)-=0E A x , 由2121(3),2100⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E -A求得(3)-=0E A x 基础解系21,21ξ⎛⎫- ⎪= ⎪⎝⎭所以222(0)k k ξ≠是对应于23λ=的全部特征向量．例1. 2 设211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 求A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为221120(2)(1)413E A λλλλλλ+---=-=-+--, 所以A 的特征值为1232, 1.λλλ===-对特征值122λλ==, 解方程(2)-=0E A x , 即41100000,4110x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得其基础解系为12114,0,04ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故对应于122λλ==的全部特征向量为112212(,k k k k ξξ+不同时为0).对特征值31λ=-, 解方程()--=0E A x , 即11100300,4140x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得其基础解系为310,1ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故对应于31λ=-的全部特征向量为333(0)k k ξ≠.例1. 3 求n 阶数量矩阵a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量. 解()0,n aaa aλλλλλ---==-=-E A故A 的特征值为12.n a λλλ====把a λ=代入()λ-=0E A x 得1200,00,,00.n x x x ⋅=⋅=⋅=这个方程组的系数矩阵是零矩阵, 所以任意n 个线性无关的向量都是它的基础解系, 取单位向量组12100010,,,001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n 作为基础解系, 于是A 的全部特征向量为1122 n n k k k ++ εεε(12,,,n k k k 不全为0) .注 特征方程0E A λ-=与特征方程0A λ-=E 有相同的特征根, A 的对应于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组()λ0E A x -=的非零解, 也是()λ0A E x -=的非零解. 因此, 在实际计算特征值和特征向量时, 以上两种形式均可采用.二、特征值与特征向量的性质性质1. 1 设A 为n 阶矩阵, 则A 与A T有相同的特征值.证明 因为()T T E A E A E A λλλ-=-=-所以A 与A T有相同的特征多项式, 故它们的特征值相同.性质1. 2 设n 阶方阵()A ⨯=ij n n a 的n 个特征值为12,,,,n λλλ 则（1）121122;n nn a a a λλλ+++=+++ （2）12.n A λλλ=其中A 的主对角线的元素之和1122nn a a a +++ 称为矩阵A 的迹, 记为().A tr证明 由行列式的定义可知1112121222121122() =()()()n n n n nnnn a a a a a a f a a a a a a λλλλλλλλ------=-=------+E A其中一项是主对角线n 个元素的乘积, 而省略的各项至多含有2-n 个主对角线上的元素, 因此特征多项式中含nλ与1n λ-的项只能在主对角线元素乘积项中出现, 显然nλ的系数为1,1n λ-的系数为1122().nn a a a -+++又因为, 在特征多项式中令0λ=可得其常数项为(0),f A =-故11122()()(1).n n n nn f a a a A λλλ-=-+++++-另一方面, 由于12,,,n λλλ 是A 的n 个特征值, 所以1211212()()()() ()(1).n n n nn n f λλλλλλλλλλλλλλλλ-=-=-⋅--=-+++++-E A在上述两式中, 比较1n λ-的系数和常数项, 可得121122n nn a a a λλλ+++=+++ 和12.n A λλλ=推论 n 阶方阵A 可逆的充要条件是A 的n 个特征值都不为零. 例1. 4 设n 阶方阵A 满足等式2A A =, 证明A 的特征值为1或0. 证明 设λ为A 的特征值, 则存在非零向量α, 使,αλα=A 因此2(),ααλαλα=2A =A(A )=A由题设知22,A λαααλα===A即2()0.λλα-=因为0α≠. 所以20λλ-=, 即1λ=或0.例1. 5 设λ是方阵A 的特征值, α为对应于特征值λ的特征向量, 证明 （1）k λ是A k 的特征值（k 为任意常数）； （2）对正整数,m m λ是m A 的特征值（m 为正整数）； （3）若A 是可逆的, 则1λ-是1A -的特征值. 证明 由题意, 对向量0,α≠有,A αλα=（1） 因为()()(),kA k A k ααλα==所以k λ是A k 的特征值. （2）由112()(),m m m m m A A A A A A ααλαλαλα---=====知m λ是mA 的特征值.（3）当A 可逆时, 由推论可知, 0,λ≠用1A -左乘A αλα=两边, 得1,A αλα-=即11,A αλα--=所以1λ-是1A -的特征值.用例1. 5的方法, 读者可自证：若λ是方阵A 的特征值, ()g A 是矩阵多项式, 即1110()k k k k g A a A a A a A a E --=++++ ,则矩阵()g A 有特征值1110().k k k k g a a a a λλλλ--=++++例1.6 设三阶方阵A 的三个特征值分别为2, 3, 7, 求行列式5A E +.解 当i λ是A 的特征值, 可知, （51i λ+）为5A E +的特征值, 即5A E +有特征值521⨯+, 531⨯+, 571⨯+所以由性质1. 2知51116366336.A E +=⋅⋅=定理1.1 设12,,,m λλλ 是矩阵A 的m 个不同的特征值, 12,,,m ααα 是A 的分别属于12,,,m λλλ 的特征向量, 则12,,,m ααα 线性无关.证明 用数学归纳法对特征向量个数m 进行归纳证明.当1m =时, 由于10,α≠因此1α线性无关.假设对1m -个互异的特征值定理成立, 即121,,,m ααα- 线性无关. 对向量组12,,,m ααα , 设有数12,,,m k k k 使11220.m m k k k ααα+++= （4. 1）两端左乘,A 并利用条件,i i i A αλα=得1112220m m m k kk λαλαλα+++=(4. 2) 将m λ·（4. 1）－（4. 2）, 得11122211()()()0m m m m m m k k k λλαλλαλλα---+-++-=由归纳假设,121,,,m ααα- 线性无关, 因此()0, 1,2,, 1.i m i k i m λλ-==-又()0,m i λλ-≠从而0(1,2,,1),i k i m ==- 代入（4. 1）, 得0,m k = 从而12,,,m ααα 线性无关.推论 如果n 阶方阵A 有n 个不同的特征值, 则A 有n 个线性无关的特征向量. 类似地可以证明： 定理 1.2 设12,,,m λλλ 是矩阵A 的m 个互不相同的特征值, 12,,,ii i is ααα 是A 的属于特征值(1,2,,)i i m λ= 的线性无关的特征向量, 则向量组12111212122212,,,,,,,,,,,,ms s m m ms ααααααααα线性无关定理1.3 设λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值, 则λ对应的线性无关的特征向量至多有t 个.习题4. 11．求矩阵211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.2. 已知方阵A 满足2+23,A A E =试确定A 的特征值的可能取值.3. 设A 是三阶矩阵, 它的特征值是-1, 0, 4, 又知2,A B E +=求B 的特征值.4. 设矩阵122212,221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的特征值. （2）求矩阵1A E -+的特征值.5. 设矩阵0011100A x y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有三个线性无关的特征向量, 求,x y 应满足的条件.§4.2 相似矩阵在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算最方便. 自然要问, 对于一个n 阶矩阵,A 是否可化为对角矩阵, 且保持矩阵A 的一些重要性质不变, 本节将讨论这个问题.一、相似矩阵的概念与性质定义2. 1 设A 和B 都是n 阶方阵, 如果存在可逆矩阵,P 使1,P AP B -=则称B 是A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似, 记为,A B ～可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 对A 进行的运算1P AP -称为对A 进行相似变换. 相似是方阵之间的一种关系, 这种关系具有下列三个性质： （1）自反性：;A A ～（2）对称性：若,A B ～则;B A ～ （3）传递性：若,A B ～,B C ～则.A C ～即它是一种等价关系. 彼此相似的矩阵具有一些共性, 也称为相似不变性．定理2. 1 若n 阶矩阵A 与B 相似, 则 （1）()();R A R B =（2）;A B =（3）A 和B 的特征多项式相同, 即,E A E B λλ-=-从而A 和B 的特征值相同；（4）kkA B ～(k 为正整数)； （5）11A B --～ (A 可逆时).证明 这里仅证（3）, 其余留给读者自行证明. 因为,A B ～ 故存在可逆矩阵,P 使1,P AP B -=于是11()E B E P AP P E A P λλλ---=-=-1.P E A PE A λλ-=-=-从而A 和B 的特征值相同.推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵12n λλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ 相似, 则12,,n λλλ 是A 的n 个特征值.从定理2. 1可以看出相似矩阵有许多共同的性质, 若一个矩阵与一个简单矩阵相似, 可以通过研究简单矩阵的性质来得到原来矩阵的一些性质, 最简单的矩阵就是对角阵. 下面来研究矩阵A 满足什么条件与对角阵相似.定义2. 2 对n 阶方阵,A 若存在可逆矩阵,P 使1,P AP -=Λ则称A 相似于对角矩阵, 也称矩阵A 可相似对角化.如果方阵A 能够对角化, 则可简化许多运算过程. 但并不是每个矩阵都能对角化, 即矩阵的可对角化是有条件限制的. 下面将从特征向量的角度来刻画矩阵可对角化的条件.二、矩阵可对角化的条件定理2. 2 n 阶矩阵A 与对角矩阵相似（A 可对角化）的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．证明 必要性设A 可对角化, 即存在可逆矩阵P 和n 阶对角阵Λ,使121.n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ 设12(,,,),n P ααα= 由1,P AP -=Λ得AP P =Λ, 即121212121122(,,,)(,,,)(,,,) =(,,,) n n n n n n AP A A A A ααααααλλαααλλαλαλα==⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此, (1,2,,)i i i A i n αλα== . 由于P 可逆, 所以0, 1,2,,.i i n α≠= 故12,,,n ααα 分别是属于特征值12,,,n λλλ 的特征向量, 且由P 可逆知12,,,n ααα 线性无关.充分性设12,,,n ααα 为A 的分别属于特征值为12,,,n λλλ 的n 个线性无关的特征向量, 则有(1,2,,)i i i A i n αλα== 取12(,,,),n P ααα= 因为12,,,n ααα 线性无关, 所以P 可逆, 于是有12,n AP P λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 即121,n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Λ 因此A 可对角化.注 因特征向量不是唯一的, 所以矩阵P 不具有唯一性．推论 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值, 则A 必相似于对角矩阵．定理2. 3 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 的每一个i t 重特征值i λ对应i t 个线性无关的特征向量, 即()i i R E A n t λ-=-这里121, ,,,mim i tn λλλ==∑ 是A 的所有互异的特征值.定理2.2不仅给出了一个矩阵可对角化的充要条件, 而且定理证明的本身给出了对角化的具体方法. 将这种方法总结如下：(1)求出矩阵A 全部互不相等的特征值12,,,,m λλλ 它们的重数依次为1212,,()m m t t t t t t n +++= ，.(2) 求A 的特征向量.对每个特征值λi , 求出齐次线性方程组()0i E A x λ-=的一个基础解系, 设为12,,, (1,2,,) ,ii i is i m ξξξ=(3)判断A 是否可对角化.若A 的i t 重特征值有i t 个线性无关的特征向量(1,2,,)i m = , 则A 可对角化, 否则A 不可对角化.例2. 1 判断下列矩阵能否相似于对角阵, 若能, 则求出相似变换矩阵P ．（1）200110111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, （2）122212.221B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解 （1）A 的特征多项式为2(2)(1),E A λλλ-=--故A 的特征值2,1321===λλλ．其中121==λλ为二重特征值, 又100(1)100,110E A -⎛⎫⎪⋅-=- ⎪ ⎪--⎝⎭(1)2,3(1)321,R E A R E A ⋅-=-⋅-=-=故1=λ只对应一个线性无关的特征向量, 故矩阵A 不能相似于对角阵．（2）B 的特征多项式为2(1)(5)0E B λλλ-=+-=故B 的特征值5,1321=-==λλλ．其中1-为B 的二重特征值, 又当1-=λ时222111(1)222000,222000E B ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭所以3()312,R B E -+=-=故1-=λ对应2个线性无关的特征向量, 即B 可对角化, 且121-==λλ对应的线性无关特征向量为.)1,0,1(,)0,1,1(T T --由于53=λ为单特征值, 它有且仅有一个线性无关的特征向量, 由(5)0E B x -=,得线性无关的特征向量(1,1,1).T取111101,011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是111.5P BP --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭习题4. 21. 设方阵12422421A x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭与50000004y ⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭相似, 求,.x y2. 设A B 、都是n 阶方阵, 且0A ≠, 证明AB 与BA 相似．3. 判断下列矩阵能否相似于对角阵, 若能, 则求出相似变换矩阵.P（1）220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭； （2）421201.110B ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭4. 当k 为何值时, 方阵25141001k A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭可相似对角化？§4.3 向量的内积与正交矩阵本节主要讨论向量的内积、长度、正交矩阵等概念, 并介绍它们的性质. 若不特别说明, 本章讨论的向量都是实数域上的.一、向量的内积 定义3. 1 设n 维向量1122,,n n x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αβ 令 []1122,,αβ=++ n n x y x y x y称[],αβ为向量α与β的内积.由于内积是两个向量间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积可用矩阵记号可表示为[],.T =αβαβ容易证明内积满足下列运算性质（其中,,αβγ为n 维向量, k 为实数）：(1) [][],,;αββα= (2) [][],,;k k =αβαβ (3) [][][],,,;+=+αβγαγβγ(4) 当0=α时, [],0;=αα当0≠α时, [],0.>αα定义3. 2 令||||α==称||||α为n 维向量α的长度（或范数）．当||||1α=时, 称α为单位向量． 对nR 中的任一非零向量α, 向量||||αα是一个单位向量, 因为1.||||=αα用非零向量α的长度去除向量α, 得到一个单位向量, 这一过程通常称为把向量α单位化.向量的长度具有下述性质：(1) 非负性 ||||0,≥α且||||00;=⇔=αα(2) 齐次性 ||||||||k k =αα (3) 三角不等式 ||||||||||+≤+αβαβ 另外, 可以证明向量的内积满足柯西-施瓦兹（Chauchy-Schwarz ）不等式[][][]2,,,,≤αβααββ这里不予证明. 由此成立[],1|||| ||||≤αβαβ （当,≠≠00αβ时）,于是, 可定义向量的夹角．定义3. 3 当||||0,||||0≠≠αβ时, 称[],arccos|||| ||||=αβθαβ为n 维向量α与β的夹角．定义3. 4 当向量α与β满足[],αβ=0时, 则称向量α与β正交． 显然, 若,=0α则α与任何向量都正交．定义3. 5 若12,,,r ααα 是一个非零向量组, 且12,,,r ααα 中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组．例如, nR 中单位向量组()()()121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1===TTTn e e e 是正交向量组.定理3. 1 若n 维向量12,,,r ααα 是一组两两正交的非零向量, 则该向量组线性无关． 证明 设有12,,,r k k k 使得11220,r r k k k ++=ααα用(1,2,,)i i r =α 与上式两端作内积, 得1122(,)(0,),r r i i k k k ++=ααααα即1122(,)(,)(,)(,)0.i i i i i r r i k k k k ++++=αααααααα由于i α与1211,,,,i i r -+ααααα 均正交, 即,0,1,2,,1,1,,,i j j i i r ⎡⎤==-+⎣⎦αα 所以有[],0i i i k =αα, 再有0,i ≠α得0, 1,2,,.i k i r == 所以,12,,,r ααα 线性无关．例3. 1 已知3维向量空间3R 中两个向量()()121,1,1,1,2,1TT==-αα正交, 试求一个非零向量3α, 使123,,ααα两两正交．解 记 12111,121T T A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα则3α应满足齐次方程=0Ax , 即1231110,1210x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭由111101,121010A ⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得132,0,x x x =-⎧⎨=⎩ 从而有基础解系()1,0,1T-．则取()31,0,1Tα=-即为所求．定义3. 6 设n 维向量12,,, r e e e 是向量空间()nV V R ⊂的一个基, 如果12,,, r e e e 两两正交, 且都是单位向量, 则称12,,, r e e e 是V 的一个规范正交基（或标准正交基）．例如 n 维向量()()()121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1===TTTn e e e 是nR 的一个规范正交基．再如123411,0,0,,0,0,,,,,22⎫⎫⎛⎫⎛⎫====⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎭⎝⎭⎝⎭TTTTe e e ε就是4R 的一个规范正交基．若12,,, r e e e 是V 的一个规范正交基, 那么V 中任一向量α都能由12,,, r e e e 线性表示, 设表示式为1122,αλλλ=+++r r e e e为求出其系数(1,,)i i r λ= , 可用i e 与上式两端作内积, 有[],.=i i e λα这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式．利用这个公式能方便的求出向量的坐标, 因此, 我们在给向量空间取基时常常取规范正交基．设12,,,r ααα 是向量空间V 的一个基, 要求V 的一个规范正交基. 也就是要找一组两两正交的单位向量12,,,,r e e e 使12,,, r e e e 与12,,,r ααα 等价. 该过程称为把12,,,r ααα 规范正交化．我们可以用以下的办法把12,,,r ααα 规范正交化, 具体的步骤为： (1) 正交化：取[][][][][][][][]112122111121121112211;,;,,,,,,,,----==-=----r r r r r r r r rβααββαββββαβαβαβαβββββββββ容易验证12,,,βββr 两两正交, 且12,,,βββr 与12,,,r ααα 等价． (2) 单位化：取112212111,,,,===r r re e e ββββββ则12,,, r e e e 就是向量空间V 的一个规范正交基．上述从线性无关向量组12,,,r ααα 导出正交向量组12,,,βββr 的过程称为施密特正交化过程．它不仅满足12,,,βββr 与12,,,r ααα 等价, 还满足：对任何(1)≤≤k k r , 向量组12,,,βββk 与12,,,k ααα 等价．例 3. 2 设1231142,3,1,110ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．解 正交化：取[][][][][][]112122111313233121122;1,51;,311,,20.,,1=-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪=--= ⎪ ⎪⎝⎭βααββαβββαβαββαββββββ再单位化, 取3121231231112,1,0,111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪======⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎭⎭⎭e e e ββββββ 则123,,e e e 即为所求．二、正交矩阵定义3. 7如果n 阶实矩阵A 满足T AA E =（即1T A A -=）,那么, 称A 为正交矩阵, 简称正交阵. 显然, n 阶单位矩阵E 是正交矩阵.由正交矩阵的定义, 显然有下面的的性质：(1) 如果A 为正交矩阵, 则1T AA -=；(2) 如果A 为正交矩阵, 则1()TA A -也是正交矩阵；(3) 如果,A B 为同阶正交矩阵, 则它们的乘积AB 也是正交矩阵． (4) 正交矩阵的行列式等于1或－1．定理3. 2 n 阶矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件是它的列（行）向量组是单位正交向量组．证明 设A 是实矩阵, 它的列向量组为12,,,n ααα , 则A 与TA 可表示为1212(,,,),,T T T n T n A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααααα于是[][][][][][][][][]111212122212,,,,,,,,,,n n T n n n n A A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭αααααααααααααααααα因此, TA A E =的充分必要条件是1,;,0,.i j i j i j =⎧⎡⎤=⎨⎣⎦≠⎩αα当当即A 的列向量组是单位正交向量组．又A 正交时, TA 也正交, 因此A 是正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量组是单位正交向量组．例3. 3 判断下列矩阵是否为正交阵 (1) 1001⎛⎫⎪-⎝⎭； (2) 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3) 184999814999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭；(4) 0⎛ ⎝； (5) 1112310121112⎛⎫- ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭；(6) 0⎛ ⎝． 解 (1)、(2)、 (3)、 (4)都是正交矩阵．因为它们的列向量组都是单位正交向量组． (5)、（6）都不是正交矩阵．因为它们的第一列都不是单位向量． 定义3. 6 若P 为正交矩阵, 则线性变换=y Px 称为正交变换.设=y Px 为正交变换, 则有||||||||.y x =====这说明正交变换后向量的长度保持不变, 这是正交变换的优良特性.习题4. 31. 已知()()1,2,1,1,2,3,1,1,TT=-=-αβ求[][],,32,23,--αβαβαβ||||α||||,βα与β的夹角．2. 设()()1,1,2,1,0,1,TT=-=-αβ求与,αβ等价的标准正交向量组.3. 设()()()123123,3,3,3,3,,3,,3,(,,),TTTk k k A m ====αααααα求,,m k 使A 为正交阵.§4. 4实对称矩阵的对角化从上一节我们看到, 一般的矩阵并不一定可对角化. 本节专门讨论一种特殊的方阵——实对称矩阵，这种矩阵一定可对角化, 并且还能正交相似于对角矩阵. 定理4.1 实对称矩阵的特征值为实数.证明 设λ是实对称矩阵A 的特征值, α为对应的特征向量. 即,0,A αλαα=≠以λ表示λ的共轭复数, α表示α的共轭复向量,则()().A A A αααλαλα====于是有(),TTTA A ααααλαα==及()()(),TTTTT TA A A ====ααααααλααλαα以上两式相减, 得 ()0,Tλλαα-=因为0,≠α所以0.Tαα≠，故λλ=即λ为实数. 对实对称矩阵A , 因其特征值λi 为实数, 故方程组()0i A E x -=λ是实系数方程组,由0i A E -=λ知它必有实的基础解系, 所以A 的特征向量可以取实向量. 定理 4.2 设12,λλ是实对称矩阵A 的两个特征值, 12,αα 依次是它们对应的特征向量.若12,≠λλ则1α与2α 正交.证明 111,=A αλα222,=A αλα 12,≠λλ 故12212().T T A ααλαα=因A 对称, 故1212112112()()(),T T T TA A ααααλααλαα===于是()12120.T λλαα-=因12≠λλ，故120,=Tαα即1α与2α正交.定理 4.3设A 为n 阶对称矩阵,λ是A 的特征方程的t 重根, 则矩阵-A E λ的秩()-=-λR A E n t ，从而特征值λ恰有t 个线性无关的特征向量.证明 略定理4.4 设A 为n 阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使1P AP Λ-=, 其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.证明 设A 的互不相等的特征值为12λλλm ，，，，它们的重数依次为12,,m t t t ，， 于是12m t t t n +++= . 根据定理4. 1及定理4. 3知, 对应特征值i λ恰有i t 个线性无关的实特征向量, 把它们正交单位化, 即得(1,2,,)i t i m = 个两两正交的单位特征向量, 由12m t t t n +++= 知这样的特征向量恰有n 个. 又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交, 故这n 个特征向量构成规范正交向量组. 以它们为列构成正交矩阵,P 并有1.P AP Λ-=其中对角矩阵Λ的对角元素含i t 个(1,2,,),i i s =λ 恰是A 的n 个特征值. 根据定理4. 3及定理4. 4, 我们有下述把对称阵A 对角化的步骤： （1）求出A 的全部互不相等的特征值12 m λλλ，，，，它们的重数依次为1212,,().m m t t t t t t n +++= ， （2）对每个i t 重特征值i λ, 求方程()0-=i A E x λ的基础解系, 得i t 个线性无关的特征向量. 再把它们正交化、单位化, 得i t 个两两正交的单位特征向量. 因12,m r r r n +++= 故总共可得n 个两两正交的单位特征向量.（3）把这n 个两两正交的单位特征向量为列构成正交阵,P 便有1.TP AP P AP -==Λ 注 Λ中对角元的排列次序应与P 中列向量的排列次序相对应.例4. 1 设500021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一正交矩阵P 使得1.P AP -=Λ解 A 的特征多项式为50021(1)(3)(5),012A E λλλλλλλ--=-=---- 故A 的特征值为12313 5.===，，λλλ对11=λ, 由12340000110,0110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12301,1x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得10.p ⎛⎫⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ 对23=λ, 由12320000110,0110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12301,1x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得20.p ⎛⎫⎪= 对35=λ, 由12300000310,0130x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12310,0x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得30.0p ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭将123,,p p p 构成正交矩阵123001(,,)0,0⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭P p p p 则 .5311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-AP P AP P T例4. 2设111111111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求一正交矩阵P 使1-=ΛP AP .解 A 的特征多项式为2111111(3),111A E λλλλλλ--=-=--故A 的特征值为1230, 3.===λλλ对120==λλ, 解齐次线性方程组(0)0,-=A E x 求得基础解系为:12111,0,01ξξ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭经过施密特正交化, 再单位化得12,.0⎛⎛== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p对33=λ, 解齐次线性方程组3)0,-=A E x （求得基础解系为31,1ξ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭单位化得3.=p 取123(,,),0P p p p ⎛==⎝则.3001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-AP P AP P T例4. 3 设2112-⎛⎫=⎪-⎝⎭A , 求nA解 因A 对称, 故A 可对角化, 即有可逆矩阵P 及对角阵Λ, 使1.Λ-=P AP 于是1,Λ-=A P P 从而1.Λ-=n n A P P由 22143(1)(3),12λλλλλλλ---==-+=----A E得A 的特征值为121, 3.==λλ于是1010,0303ΛΛ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n 对应11,=λ 由()0,-=A E x 解得基础解系为111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对应23,=λ 由(3)0,-=A E x 解得基础解系为211ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭.并有1211(,)11ξξ⎛⎫==⎪-⎝⎭P , 再求出1111.112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭P 于是1111011131311110311221313-⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n nnn n n A P P Λ. 习题4. 41. 试求一个正交矩阵P , 将下列对称矩阵化为对角矩阵.(1) 400031013⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭; (2) 222254245-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭. 2. 设A 为三阶实对称矩阵, 特征值是1,1,0.-而11=λ和21=-λ的特征向量分别是21,1,113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a a a a 求矩阵A . 3. 设三阶对称矩阵A 的特征值为6,3,3,特征值6 对应的特征向量为1(1,1,1),=T p 求A .4. 设142034,043⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 求100.A§4.5 应用举例例5. 1 社会调查表明, 某地劳动力从业转移情况是：在从农人员中每年有3/4改为从事非农工作, 在非农从业人员中每年有1/20改为从农工作. 到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的1/5和4/5, 试预测到2015年底该地劳动力从业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势．解 到2011年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比分别为1114;45205⨯+⨯31194.45205⨯+⨯ 如果引入2 阶矩阵(),ij A a =其中121/20a =表示每年非农从业人员中有1/20改为从农工作. 213/4a =表示每年从农人员中有3/4改为从事非农工作. 于是有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20/194/320/14/1A再引入 2 维列向量, 其分量依次为到某年底从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比．如向量1/54/5X ⎛⎫=⎪⎝⎭表示到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的1/5和4/5．那么, 2011年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出1/41/201/53/419/204/5AX ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1114452053119445205⎛⎫⨯+⨯⎪= ⎪ ⎪⨯+⨯ ⎪⎝⎭9/10091/100⎛⎫= ⎪⎝⎭于是, 到2015年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比应为5,A Xk 年后该地劳动力的从业情况可由计算k A X 而得.矩阵A 的特征多项式)1)(15(20194320141||--=--=-λλλλλE A得A 的特征值121/5, 1.λλ==所以A 能与对角矩阵相似.求特征值11/5λ=对应的特征向量为：11⎛⎫⎪-⎝⎭求特征值21λ=对应的特征向量为：115⎛⎫⎪⎝⎭取矩阵11,115P ⎛⎫=⎪-⎝⎭则P 为可逆矩阵, 且使得11/50.01P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭因为11511,1116P --⎛⎫=⎪⎝⎭所以 555111/50(1/5)0,0101A X P P X P P X --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)5/1(151115⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11115161⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5/45/1 66111151116155⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪- ⎪⎝⎭类似的, 第k 年底该地劳动力的从业情况为111511/5(1/5)01115114/51601kk A X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++11511155111161545151515511155115151161k k k k k k 按此规律发展, 多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比趋于16/10011594/10016⎛⎫⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的6/100 和 94/100.例5. 2 在1202年, 裴波那契在一本书中提出一个问题：如果一对兔子出生一个月后开始繁殖, 每个月生出一对后代, 现在有一对新生兔子, 假设兔子只繁殖, 没有死亡, 那么问每月月初会有多少兔子？解 假设这对兔子出生时记为零月份, 这时只有一对兔子, 一个月后即1月初, 这对兔子还未开始繁殖, 所以依然是一对兔子, 2月初, 它们生了一对兔子, 因此, 此时有两对；3月初, 它们又生了一对兔子, 而在1月初生下的那对兔子还未繁殖, 故此时共有3对, ……, 依次下去, 有1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …,这一数列称为裴波那契数列.设第n 月初有n x 对兔子, 则有12.n n n x x x --=+这是一个递推公式, 显然01 1.x x == 将上式用矩阵表示, 有11101.11n n n n n n n x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭记101,,11n n n x X A x +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭那么0011,1x X x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且21201.1n n n n n X AX A X A X A --⎛⎫===⋯== ⎪⎝⎭易知A的特征值为121122+==λλ 属于1λ的特征向量为()111,T=ξλ属于2λ的特征向量为()221.T=ξλ 令()121211,P ⎛⎫==⎪⎝⎭ξξλλ那么1120.0P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭λλ而 21112211211111,111P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλλλλλλλ于是1111212212211111212222212121211111111 =,n n n n n n n n n n n n X A P P -++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪---⎝⎭⎭λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以11111211).22n n n n n x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭λλ 这就是裴波那契数列的卢卡斯通项公式.习题四1. 求与()()()1231111,1111,2113TTTααα=-=--=正交的单位向量．2. 试用施密特正交化方法把下列向量组正交化：(1) 1231021,1,0123ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2) 123111011,,101110ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 判断下列矩阵是不是正交矩阵, 并说明理由.(1)10;3323⎛ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)11123111.2211132⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭4. 设,A B 为同阶正交矩阵, 则它们的乘积AB 也是正交矩阵.5. 求下列矩阵的特征值与特征向量（1）211031;213-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）001010;100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）11111111;11111111⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭ （4）10000100;00010000a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭6. 设,A B 为n 阶方阵, A 可逆, 证明AB 与BA 有相同的特征值．7. 设A 是三阶矩阵, 它的特征值是-1, 2, 1, 求*32A A E ++.8. 设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为1p 和2p , 证明12p p +不是A 的特征向量.9. 设21253,102A b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭已知A A ,1-=的伴随矩阵*A 特征值0λ所对应的特征向量T )1,1,1(--=α, 求0λ和b 的值.10. 已知111p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵21153143A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量. (1) 求参数,a b 及特征向量p 所对应的特征值; (2) 问A 能不能相似对角化？并说明理由.11. 设110220,421A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求kA12. 设n 阶方阵A 的秩为,r A A =2． （1）求A 的特征值;（2）证明E A -的秩为();n R A -（3）证明A 可相似于对角矩阵, 并写出对角矩阵.13. 设A 为3阶矩阵,12,αα为矩阵A 的分别属于特征值 -1和1 的特征向量, 3α满足323A ααα=+, 证明 123,,ααα线性无关.。
3.2 实对称矩阵与实二次型
一、 实对称矩阵的特征值与特征向量
定理3.6: 实对称矩阵的特征值一定是实数。 实对称矩阵的特征值一定是实数。 定理
为其任一特征值， λ 证明： 实对称， 证明：设A实对称， = a + bi为其任一特征值， 对应的特征 向量为 α + iβ ,
于是有 A(α + iβ ) = ( a + bi )(α + iβ ) 展开， 展开， Aα = aα − bβ , Aβ = bα + a β
2 + a n1 x1 x n + a n 2 x 2 x n + a n 3 x 3 x n + L + a nn x n
+ LL
= x1 ( a11 x + a12 x 2 + a13 x 3 + L + a1 n x n )
+ x 2 ( a 21 x1 + a 22 x + a 23 x 3 + L + a 2 n x n )
= ( x1 ,
x2 , L,
a11 a 12 = ( x1 x2 L xn ) a1n
a12 L a1n x1 a22 L a2 n x2 为实数） M （其中 a ij 为实数） L L a2 n L ann xn
个标准正交的特征向量。 注:求正交矩阵 Q 的关键是求矩阵 的n个标准正交的特征向量。 求正交矩阵 的关键是求矩阵A的 个标准正交的特征向量
具体步骤) 实对称矩阵对角化的实现: 具体步骤 实对称矩阵对角化的实现: (具体步骤 1）求出 A 的全部特征值 ） 的全部特征值; 2）对于每一个λi ，求出其对应的线性无关的特征向量 ） 求出其对应的线性无关的特征向量, 从而得出矩阵 A 的 n 个线性无关的 特征向量η 1 , η 2 ,..., η n . 均为单根时， 3) 当 λ i 均为单根时，将
3.2相似矩阵
AP P
2
n
可得 A i i i , (i 1,2,, n)
因 P 可 , 有 P 0, 所 i (i 1,2,, n) 都 非 向 . 为 逆 以 是 零 量
因而 1 , 2 ,, n 都是 A 的 征 量 , 并 这 n 个 征 量 性 关 特 向 且 特 向 线 无 .
1 ( 1 , 2 , , n )
2
P n
A~
任务：寻找 A 的 n 个线性无关的特征向量.
定理4.3 设 1 ,2 , ,m 为n m 阶矩阵A的不同的 定理3.4 特征值. 1 , 2 , , m 分别是属于1 ,2 , ,m 的 特征向量，则 1 , 2 , , m 线性无关.
1.概念
定义 3.3 设 A, B 为 n 阶矩阵 , 如果有 n 阶非奇矩阵 P 存在 , 使得 P 1 AP B
成 ,则 矩 立 称 阵 A 与 B 相 , 记 A ~ B. 似 为 例1 E ~ E
例2
3 4 1 1 4 1 设 A 5 2 , P 1 2 , Q 5 1 ,
3.2 相似矩阵与
矩阵可对角化的条件
相似矩阵的概念 相似的性质 相似矩阵的性质
矩阵可对角化的条件
矩阵对角化的步骤 若尔当(Jordan)典范形
我们对 A 的特征值加以研究，希望将 A 经过某种变换化为简 单矩阵 B，而保持 A 的固有特性不变：特征值、秩、可逆性等.
(一)相 矩 及 性 似 阵 其 质
4 1 1 AQ Q 5 1
2 所以 A ~ 0
矩阵对角化的方法
矩阵对角化的方法
矩阵对角化是将一个方阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。
常用的矩阵对角化方法有以下几种：
1. 特征值分解：对于一个可对角化的矩阵，可以通过求解其特征值和特征向量来进行对角化。
首先求解矩阵的特征值，然后求解每个特征值对应的特征向量，并将这些特征向量排列成一个矩阵，将原矩阵相似变换到对角矩阵。
2. 正交对角化：对于实对称矩阵，可以通过正交对角化的方法进行对角化。
首先通过特征值分解求解出特征值和对应的特征向量，然后将特征向量单位化得到正交矩阵，再进行相似变换得到对角矩阵。
3. Jordan标准形：对于不可对角化的矩阵，可以通过Jordan标准形对其进行对角化。
首先求解矩阵的特征值和对应的特征向量，然后通过Jordan标准形的分块结构将矩阵进行相似变换得到对角矩阵。
需要注意的是，并不是所有矩阵都可以对角化。
只有满足一定条件的矩阵才可以进行对角化。
矩阵对角化的步骤
矩阵对角化的步骤引言矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，它可以将一个矩阵变换为对角矩阵，从而简化一些运算和求解问题的过程。
本文将通过介绍矩阵对角化的基本概念、性质和步骤来深入探讨该主题。
什么是矩阵对角化矩阵对角化是指通过相似变换将一个矩阵变换为对角矩阵的过程。
对角矩阵是一种特殊的方阵，它的非主对角线上的元素全都是0，而主对角线上的元素可以是任意的数。
对角矩阵在一些问题的求解过程中具有简化运算的作用。
矩阵对角化的条件要将一个矩阵对角化，需要满足以下条件： 1. 矩阵必须是方阵，即行数和列数相等。
2. 矩阵必须有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵的维度。
矩阵对角化的步骤对于一个满足对角化条件的矩阵，下面是进行矩阵对角化的步骤：步骤1：求矩阵的特征值首先，我们需要求出矩阵的特征值。
矩阵的特征值是一个标量，它满足方程Ax=λx，其中A是矩阵，λ是特征值，而x是对应于特征值λ的特征向量。
步骤2：求特征值对应的特征向量在求得矩阵的特征值之后，我们需要求解特征值对应的特征向量。
通过解方程(A−λI)x=0，其中A是矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵，x是特征向量，可以得到特征向量。
步骤3：构成特征向量矩阵将步骤2中求得的特征向量按列构成一个矩阵P，这个矩阵称为特征向量矩阵。
步骤4：构成特征值矩阵将步骤1中求得的特征值按对角线排列成一个对角矩阵Λ，其它位置上的元素为0。
步骤5：对角化通过相似变换，即A=PΛP−1，将矩阵A变换为对角矩阵Λ。
这个过程中，矩阵P是特征向量矩阵，Λ是特征值矩阵。
矩阵对角化的意义和应用矩阵对角化在数学和工程中有着广泛的应用。
其主要意义在于简化问题的求解过程和分析矩阵的性质。
以下是矩阵对角化的一些具体应用：1.矩阵求幂一步计算: 对角化可以将矩阵的幂指数形式A n化简为PΛn P−1的形式，其中Λn是对角矩阵每个元素分别进行幂运算，大大简化了计算的复杂度。
2.线性差分方程的求解: 微分方程可以用矩阵表示，对角化可以将不易求解的高阶微分方程转化为一组一阶方程，从而简化求解过程。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，与线性变换和向量空间的理论密切相关。
矩阵的相似与对角化是矩阵理论中的两个重要概念，它们在解决特征值问题、矩阵的可对角化性和矩阵的特殊性质等方面发挥着重要作用。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指具有相同特征值的矩阵之间存在一种关系。
设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B成立，那么就称矩阵A与B相似，记作A∼B。
相似关系是一种等价关系，它具有自反性、对称性和传递性。
相似矩阵有以下几个重要性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。
设A与B相似，那么它们的特征多项式和特征值都相同。
2. 相似矩阵具有相同的迹。
矩阵的迹是指主对角线上元素的和。
如果A与B相似，那么它们的迹也相等。
3. 相似矩阵具有相同的秩。
矩阵的秩是指矩阵的列空间的维度。
如果A与B相似，那么它们的秩也相等。
二、矩阵的对角化对角化矩阵是一种特殊的相似矩阵，使得矩阵在某一种特殊的变换下能够变为对角矩阵。
设A是一个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，其中D是一个对角矩阵，那么就称矩阵A可对角化。
对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量组成一个线性无关的向量组。
此时，矩阵A经过适当的变换后，可以将其对角化。
对角化的优点是简化了矩阵的计算和处理。
对角矩阵的运算更加方便，可以更直观地观察矩阵的性质，同时在求解线性方程组和矩阵的幂等问题时，也能够更加高效地进行计算。
三、矩阵相似与对角化的关系矩阵的相似与对角化之间存在一定的联系。
设A是一个n阶矩阵，如果A与对角矩阵D相似，那么A可对角化。
具体地说，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，那么矩阵A可对角化。
对角化的好处在于可以将矩阵的运算和计算简化为对角矩阵的运算。
同时，对角化也能够更好地揭示矩阵的特殊性质，如特征值、特征向量和秩等。
计算矩阵的相似和对角化是解决线性代数问题的重要方法。
矩阵相似与对角化
矩阵相似与对角化矩阵在线性代数中占据重要地位，矩阵的相似性和对角化是矩阵理论中的重要概念。
本文将详细介绍矩阵相似和对角化的概念、性质和相关定理，并探讨其在实际应用中的意义。
一、矩阵相似1.1 相似矩阵的定义在矩阵理论中，若存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A和矩阵B满足以下关系：A = PBP⁻¹，则称矩阵A和矩阵B相似。
P被称为相似变换矩阵。
1.2 相似矩阵的性质相似矩阵具有以下性质：（1）相似矩阵具有相同的特征值。
（2）相似矩阵具有相同的行列式。
（3）相似矩阵具有相同的秩。
（4）相似矩阵具有相同的迹。
1.3 相似矩阵的意义相似矩阵的概念使得我们能够通过矩阵之间的相似关系进行计算和分析，简化了复杂的计算过程。
在线性代数的研究中，通过寻找矩阵的相似变换，可以将原始矩阵转化为更简单的形式，从而更好地理解和求解问题。
二、对角化2.1 对角化的定义对于n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P和一个对角矩阵D，使得A = PDP⁻¹，则称矩阵A可对角化。
其中，对角矩阵D的非零元素即为矩阵A的特征值。
2.2 对角化的条件矩阵A可对角化的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。
2.3 对角化的意义对角化将矩阵转化为对角形式，简化了计算和分析。
对角化后的矩阵具有特征向量的信息，使得我们能够更方便地进行矩阵运算和求解线性代数的相关问题。
三、矩阵相似与对角化的关系3.1 矩阵对角化的条件矩阵A能够相似于对角矩阵D的充分必要条件是矩阵A可对角化。
3.2 相似变换与对角化的关系对于矩阵A和相似变换矩阵P，有以下关系：（1）若A可对角化，则存在相似变换矩阵P，使得A = PDP⁻¹。
（2）若A相似于对角矩阵D，即存在相似变换矩阵P，使得A = PDP⁻¹，则矩阵A可对角化。
3.3 矩阵相似与对角化的意义矩阵相似和对角化的概念和定理为矩阵理论和线性代数的研究提供了重要的工具和方法。
通过相似变换，我们可以将复杂的矩阵转化为更简单的形式，从而更好地理解、求解和分析实际问题。
矩阵对角化公式
矩阵对角化公式矩阵对角化是线性代数中的重要概念，它提供了一种将一个矩阵表示为对角矩阵的方法，使得矩阵的运算更加简化。
在本文中，我们将介绍矩阵对角化的基本概念、判定条件以及计算方法。
1. 矩阵对角化的基本概念一个n×n矩阵A可对角化，意味着存在一个可逆矩阵P和一个对角矩阵D，使得A=PDP^{-1}。
其中，D是由A的特征值组成的对角矩阵。
2. 判定矩阵可对角化的条件一个n×n矩阵A可对角化的条件是：- 矩阵A有n个线性无关的特征向量；- 矩阵A的每个特征值都有对应的正交归一化特征向量。
3. 计算矩阵的特征值和特征向量要计算一个矩阵A的特征值和特征向量，可以遵循以下步骤：- 计算矩阵A的特征多项式det(A-λI)，其中λ是一个未知数，I是单位矩阵；- 解特征多项式的根，即特征值λ；- 将特征值代入方程A-λI的解空间中，求解特征向量。
4. 矩阵对角化的计算过程对于可对角化的矩阵A，可以按以下步骤进行对角化：- 对矩阵A进行特征值分解，得到特征矩阵V和对角矩阵D；- 计算可逆矩阵P，使得A=V^{-1}DVP；- 可以通过相似变换将矩阵A对角化，P表示变换矩阵。
5. 对角化与矩阵的性质对角矩阵的特点是非常简单的，可以很容易地计算幂、指数和逆矩阵等运算。
因此，对角化使得矩阵的运算更加简化。
6. 矩阵对角化的应用矩阵对角化在许多领域都有广泛应用，包括物理、工程和数据分析等。
例如，在量子力学中，矩阵对角化可以把含有多个粒子态的哈密顿矩阵表示成一组分立的单粒子能级。
总结：矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，它提供了将一个矩阵表示为对角矩阵的方法。
这篇文章介绍了矩阵对角化的基本概念、判定条件及计算方法，还讨论了对角化的计算过程、矩阵的性质以及应用领域。
对角化简化了矩阵的运算，并且在许多领域有广泛的应用。
线性代数3.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件
2 1 2 ， 1 1 1 。 A 0 2 3 0 0 1 8
属于2的特征向量为 属于1的线性无关特征向量为 T 1 (1, 0, 0)T 3 (1, 1, 0) 根据定理4.1知该矩阵不可对角化。
特征值 1 2 （二重） 1
1 1 1 1 1 1 1 1 31 31 2 1 0 32 2 3 2 62 94 62 2 0 1 32 2 2 11 62 62 30
有 A 1 ~ B 1 。 定理3.7 设 A ~ B ， 则矩阵 A, B具有相同的特征多项式， 具有相同的特征值。 证明： A ~ B P 1 AP B 从而具有相同的特征值。 det(E B) det(E P 1 AP ) det( P 1 (E A) P) det( P 1 ) det(E A) det P det(E A) 这表明矩阵 A, B 具有相同的特征多项式，
所以 A ~ B 。
附注1： 对于可逆矩阵 Q 4 1 ， 5 1 可以有
4 1 3 4 4 1 2 0 Q AQ C 5 1 5 2 5 1 0 7
1
1
于是 A ~ C 。 附注2： 1）与矩阵A相似的矩阵不是唯一的， 也不都全 是对角矩阵； 2）可以构造许多矩阵与A相似，哪些可以得到
1
1 3 2 5 10 1 6 1
1
4 1 1 2 1 3 4 1 1 2 1 2 1 1 5 2 1 2 1 1 9 B 2 2 4
二次型矩阵对角化方法
二次型矩阵对角化方法【导言】在线性代数中，二次型是一类与矩阵密切相关的重要概念。
对于一个二次型，我们可以通过矩阵的运算和对角化方法来深入理解其性质和特征。
本文将以二次型矩阵对角化方法为主题，以从简到繁的方式，由浅入深地介绍这一概念，并探讨其在数学领域中的应用和重要性。
【目录】1. 什么是二次型？2. 二次型矩阵的表示与性质3. 二次型的对角化方法3.1 特征值和特征向量3.2 对称矩阵的对角化3.3 正交对角化方法3.4 应用案例：最小二乘法与主成分分析4. 我对二次型矩阵对角化方法的理解与观点【正文】1. 什么是二次型？在线性代数中，二次型是一类与矩阵密切相关的函数形式，通常定义为多个变量的平方和的形式。
具体而言，对于域K上的n个变量x1,x2, ..., xn，其中K可以是实数域R或复数域C，二次型的一般形式为：Q(x1, x2, ..., xn) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 +2a12x1x2 + ... + 2an-1n xn-1xn其中，系数aij为常数。
2. 二次型矩阵的表示与性质二次型函数与矩阵之间具有紧密的联系。
对于二次型函数Q(x)，我们可以将其表示为一个矩阵形式Q(x) = X^TAX，其中X = [x1, x2, ..., xn]^T为列向量，而矩阵A则代表了二次型的系数。
进一步地，我们可以通过矩阵A来研究二次型的性质。
A的对称性决定了二次型函数的对称性，即Q(x) = Q(x^T)。
A的特征值和特征向量也能进一步揭示二次型的信息。
特征值表征了二次型函数的规模，而特征向量则代表了与二次型函数相关的变量的方向。
3. 二次型的对角化方法为了更深入地理解二次型函数，并发现其内涵的深层次特征，对角化方法是非常重要的工具。
下面将介绍几种常见的对角化方法。
3.1 特征值和特征向量特征值和特征向量在矩阵理论中具有重要意义，而在对于二次型函数的对角化中同样发挥着关键作用。
矩阵的特征值分解与对角化
矩阵的特征值分解与对角化矩阵特征值分解和对角化是线性代数中重要的概念和工具，被广泛应用于各个领域，如图像处理、物理学、工程学等。
本文将从理论和实际应用的角度，探讨矩阵特征值分解和对角化的概念、计算方法及其应用。
一、矩阵特征值分解的概念及计算方法特征值分解是将一个矩阵分解为由其特征向量和特征值构成的形式。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一组非零向量v和常数λ，使得Av=λv成立，则称λ为A的特征值，v为对应的特征向量。
特征值分解的表示形式为A=PDP^(-1)，其中P是由A的特征向量组成的矩阵，D是由特征值组成的对角矩阵。
特征值的计算可以通过求解矩阵A经过特定变换后的特征方程来实现。
设矩阵A减去λI（其中I为单位矩阵）为A-λI，若矩阵A-λI的行列式等于0，即|A-λI|=0，则称λ为A的特征值。
通过求解这个特征方程，可以得到A的所有特征值。
二、矩阵对角化的概念及条件对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=D，其中D是一个对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
对角化意味着通过合适的变换，将原矩阵A转化为对角矩阵D，从而简化了矩阵的计算。
对于可对角化矩阵A，它具有n个线性无关的特征向量，且这些特征向量可以组成一组基。
特征向量构成的矩阵P就是对矩阵A的特征向量进行排列得到的。
矩阵A可对角化的一个重要条件是：矩阵A拥有n个线性无关的特征向量。
这意味着特征向量数目与矩阵的阶数相等，并且这些特征向量互相独立。
三、矩阵特征值分解与对角化的应用1. 特征值分解在图像处理中的应用特征值分解可用于图像处理中的特征提取和压缩。
通过特征值分解，可以获得图像的主要特征，如边缘、纹理等，并进行相应的处理。
此外，在图像压缩中，特征值分解可以将图像转化为其特征向量表示，从而实现对图像数据的压缩存储。
2. 对角化在物理学中的应用在量子力学中，对角化过程对应着另一个重要的概念——归一变换，用于表示量子体系的不同状态之间的转换。
矩阵的对角化计算方法和例子
矩阵的对角化计算方法和例子矩阵对角化是矩阵理论中的基础概念，它是将一个矩阵A转换成一个对角矩阵D的过程，即找到一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D，其中D 为对角矩阵，其非零元素为原矩阵A的特征值，P的列向量为A的对应特征值的特征向量。
接下来我们将介绍两种常见的矩阵对角化计算方法，以及一个简单的例子。
一、矩阵对角化的计算方法1. 直接计算法通过计算特征值和特征向量，可以直接得到对角矩阵。
具体步骤如下：（1）求出矩阵A的特征值λ1、λ2、... 、λn；（2）对于每一个特征值λi，求出相应的特征向量xi；（3）将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2, ... ,xn]，则A可以被对角化为P⁻¹AP=D，其中D是由特征值组成的对角矩阵。
2. 相似矩阵法将矩阵A转化为一个相似矩阵B，使得B是对角矩阵，即B=[diag(λ1,λ2, ... ,λn)]。
具体步骤如下：（1）求出矩阵A的特征值λ1、λ2、... 、λn；（2）对于每一个特征值λi，求出相应的特征向量xi；（3）将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2, ... ,xn]，则A可以被对角化为B=P⁻¹AP。
二、矩阵对角化的例子考虑矩阵A=[1 22 1]首先求出A的特征值：|A-λI|=(1-λ)²-4=λ²-2λ-3=(λ-3)(λ+1)所以A的特征值为λ1=3和λ2=-1。
接下来求出A的特征向量：当λ1=3时，解方程组(A-λ1I)x=0得到x1=[1-1]，当λ2=-1时，解方程组(A-λ2I)x=0得到x2=[11]。
将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2]，则A可以被对角化为P⁻¹AP=D=[3 00 -1]。
因此，矩阵A可以被对角化，对角矩阵为D，可逆矩阵为P。
矩阵对角化公式
矩阵对角化公式矩阵对角化是说，对于给定的一个矩阵A，存在一个可逆矩阵P使得P的逆矩阵和A相乘得到一个对角矩阵D。
具体而言，若A为n阶矩阵，则存在一个n阶可逆矩阵P使得P的逆矩阵P-1和A相乘后得到一个对角矩阵D，即 P-1 *A * P = D。
对角化有一些重要的性质和定理：1. 对角化定理：如果一个n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么A可对角化。
2. 特征值和特征向量：设A是一个n阶矩阵，λ是A的一个特征值，v是对应于λ的一个特征向量，那么Av=λv。
3. 特征值的性质：- A的特征值等于其特征多项式的根；- A的特征值之和等于A的主对角线元素之和，即trace(A)； - A的特征值之积等于A的行列式，即det(A)。
4. 可对角化的条件：- A有n个线性无关的特征向量；- A的特征值都是代数重复的；- A的特征向量对应不同特征值的个数之和等于n。
5. 进一步形式化的对角化定理：设A是一个n阶矩阵，A有n个线性无关的特征向量，那么以这n个特征向量为列组成的矩阵P是可逆的，且有 P-1 * A * P = D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。
6. 一些特殊情况下的对角化：- 对称矩阵可以对角化为实对角矩阵；- n阶矩阵A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量。
在进行矩阵对角化的过程中，通常需要对矩阵A进行特征值分解和特征向量计算，然后构造可逆矩阵P，最后计算P-1 * A * P得到对角矩阵D。
总结起来，矩阵对角化是一个重要的线性代数概念和技巧，它帮助我们简化矩阵的计算和分析。
通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵转化为一个对角矩阵，从而使得矩阵的运算更加简单和方便。
矩阵对角化的步骤
矩阵对角化的步骤矩阵对角化是线性代数中一项重要的技术，它可以将一个复杂的矩阵转化为一个更简单的对角矩阵。
在实际应用中，对角化可以帮助我们简化数学计算、解决方程组和求解特征值等问题。
下面将介绍矩阵对角化的步骤。
一、什么是矩阵对角化？在线性代数中，一个n×n的方阵A称为可对角化矩阵，当且仅当它可以表示成PDP−1的形式，其中P是可逆方阵，D是对角矩阵。
也就是说，通过一系列变换可以将原始矩阵转换为一个对角矩阵。
二、为什么要进行矩阵对角化？1. 简化计算通过对角化可以将原始矩阵转换为一个更加简单的形式，使得计算更加容易。
例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，则可以直接求出其逆和行列式等参数。
2. 求解特征值通过对角化可以求出一个矩阵的特征值和特征向量。
这些参数在许多应用中都非常重要，例如图像处理、信号处理和物理建模等领域。
三、矩阵对角化的步骤1. 求出矩阵的特征值和特征向量对于一个n×n的矩阵A，首先需要求出它的n个特征值λ1,λ2,…,λn 和对应的特征向量v1,v2,…,vn。
这一步可以通过求解矩阵A−λI的零空间来实现，其中I是单位矩阵。
具体地，我们需要求解线性方程组(A−λI)x=0，并找到所有非零解x。
这些非零解构成了矩阵A的特征向量。
2. 构造特征向量矩阵P将所有求得的特征向量按列排成一个矩阵P=[v1v2⋯vn]，称为特征向量矩阵。
注意到如果某个特征值有多个线性无关的特征向量，那么它们都可以被加入到P中。
3. 求出对角化矩阵D将所有求得的特征值按对角线排列构成一个对角矩阵D=diag(λ1,λ2,…,λn)。
4. 求出逆变换矩阵P−1由于P是由线性无关的特征向量构成的矩阵，因此它是可逆的。
我们可以通过高斯-约旦消元法或矩阵求逆公式等方法求出P的逆矩阵P−1。
5. 检验对角化结果将对角化矩阵D和逆变换矩阵P−1代入PDP−1，即可得到原始矩阵A的对角化形式。
为了检验结果是否正确，可以计算PDP−1与原始矩阵A之间的误差。
矩阵的特征值与特征向量
= λ n − (λ1 + λ2 + L + λn )λ n−1 + L + ( −1)n λ1λ2 L λn
082线性代数 学时 W&M. 线性代数(32学时 线性代数 学时).
3.1 方阵的特征值与特征向量
定理3.4 的特征值, 定理 若 λ 是 A 的特征值 则 ϕ(λ) = a0 + a1λ + … + amλm 是 ϕ(A) = a0I + a1A + … + amAm 的特征值. 的特征值 对应的一个特征向量, 证 设 x 为 λ 对应的一个特征向量 则有 a0Ix = a0x, a1Ax = a1λx, a2A2x = a2A(Ax) = a2A(λx) = a2λ(Ax) = a2λ(λx) = a2λ2x, … … amAmx = a1λmx. 的特征值. 求和得 ϕ(A)x = ϕ(λ)x. 故 ϕ(λ) 是 ϕ(A) 的特征值
对应于 λ3 = 2 的特征向量
082线性代数 学时 W&M. 线性代数(32学时 线性代数 学时).
3.1 方阵的特征值与特征向量
特征值和特征向量的性质: 特征值和特征向量的性质 定理3.1 每个方阵 与它的转置矩阵有相同的特征值 与它的转置矩阵有相同的特征值. 定理 有相同的特征多项式: 证 A 与 AT 有相同的特征多项式 |λE − A| = |(λE − A)T| = |λE − AT|. 定理3.2 定理 设 n 阶方阵 A 有互不相同的特征值 λ1, λ2, … , λm, 而 (λiI − A)x = 0 的基础解系为 αi1, αi2, …, αiri (i = 1, 2, … , m). 则 α11, α12, …, α1r1; α21, α22, …, α2r2, … , αm1, αm2, …, αirm 线性无关 线性无关. 证* 见书). 略(见书 见书 A− ―λ1―α11 , α12 ,L ,α1r1 ―λ2 ―α 21 ,α 22 ,L , α 2 r2
相似矩阵矩阵可对角化的条件
则称A与B相似, 记作AB. 性质3.1 基本性质 1) 反身性; 2) 对称性; 3) 传递性. 定理3.5 若AB, 则 1) |A| = |B|; 2) R(A) = R(B); 3) A1 B1, A, B均可逆.
P2/11
§2 相似矩阵可对角化的条件
定理3.6 若AB, 则A与B的特征多项式相同, 从而A与B的特征值亦相同. 证明 AB 可逆阵P, 使得P1AP = B,
B E P1AP P1EP P1A EP
P1 A E P A E .
1
推论 3.2
若
A
2
,
n
则1, 2, …,n 是A的n个特征值.
(i E A)x 0, i 1, , m,
的解.
R pi1, , p1ni n R(i E A) ni n R(i E A)
P7/11
§2 相似矩阵可对角化的条件
因A, 由定理3.7知A有n个线性无关的特征向量,
n
n R(i E A) n i 1
若 ni n R(i E A)
定理3.8 设i为An的 ni重特征值, i = 1, 2, …, m,
n1+ n2+…+ nm= n, 则
An 对角矩阵 R(iEA) = nni . 证明 “” An 可逆阵P使P 1AP = ,
P6/11
§2 相似矩阵可对角化的条件
即 A p11, , p1n1 , , pm1, , pmnm p11, , p1n1 , , pm1, , pmnm diag(1 , 1 , n1
A pi1, , pini i pi1, , i pini , i 1, , m
矩阵的对角化及其应用
矩阵的对角化及其应用13届分类号:单位代码:10452临沂大学理学院毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用2013年3月20日临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)摘要矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义.本文对可对角化矩阵做出了较全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论总结出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂)利用特征值求行列式的值)由特征值和特征向量反求矩阵)判断矩阵是否相似)向量空间)线性变换等方面的应用.关键词:对角化;特征值;特征向量;相似;线性变换临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)ABSTRACTMatrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory ofmatrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.Key words:The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)目录1 引言 (1)2矩阵对角化 (1)2.1可对角化的几个条件 (1)2.2可对角化的矩阵的性质 (3)2.3 矩阵的对角化 (5)2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法 (5)2.3.2 利用内积构造齐次线性方程组的方法 (7)3 矩阵对角化的应用 (10)3.1 求具有线性递推关系( 组) 的数列的通项式与极限 (10)3.2 求解行列式的值 (14)3.3对角矩阵的其他方面的应用.................................... 15 4 结论 .......................................................... 19 参考文献 ..................................................... 19 致谢 (21)临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)1 引言对角化矩阵在求解一类具有递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式、求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面的应用.对角矩阵贯穿于高等代数之中，有着十分重要的作用.定义1.1 对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵.对角线上的a元素可以为 0 或其他值.因此行列的矩阵= 若符合以下的性质: nnAa，，ij,ij,10,, ij,1,2,,…，nij,=0，，.形如. ，，,,01,,V定义1.2 矩阵可对角化:设是维线性空间的一个线性变换，如果存在n,V的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化. ,, 定义1.3 矩阵是数域上的一个维方阵，如果存在数域上的级可逆APPnn,1TAT矩阵,使为对角矩阵，则称矩阵可对角化. AT2矩阵对角化通俗地说就是经过矩阵的一系列行、列变换(初等变换)后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而其他位置全为零的另一个矩阵(这个矩阵称为对角阵)，这个过程就叫做矩阵的对角化，并不是所有矩阵都能对角化. 2.1可对角化的几个条件矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用, 矩阵的对角化有多种判别方法.本节对矩阵对角化作一点讨论，nn，22,PABB, 引理2.1 设,，且=,,.则存在可逆矩阵,ABAABBA,P使，可同时对角化. ABnn，,Pdiag,,,,,…，引理2.2 如果=有个互不相同的对角元，对某Pn，，12nnn，,P个，则当切仅当本身是对角阵. BPBBP,BE0,,r2AA,由于任意一个幂等矩阵A必相似于对角矩阵.而且每个与对角，，,,00,,n矩阵都可以进行谱分解，即=,A,其中是的特征值，为幂等阵.那么AA,A,iiiii,1任意有限个幂等阵的线性组合是否对角化,有如下结论:1临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)定理1.1 以=，为个数，Akkk,，,，，,…kkk，，…，n1122nn12nij,为个幂等阵，且两两可换，即=，，则可对,,,，，…，,,,,An，，12nijji 角化.证明为个幂等阵，且两两可换.由引理1可知，存在可逆阵,,,，，…，n12n ,1,1,使可同时对角化.即，…，，,,,，，…，,,,PPP,,,PP12n1nnnn1111 ,1,1,,，…，是对角阵PkP,PkP,.==++…Akkk,，,，，,…，，，，，，1n11221122nn,1,1PkP,PkkP,，,，,…+k++.由知,,，…，是对角阵，，，，nnnn11221n 也为对角阵，故可对角化. Akk,，,，,…+k1122nn如果矩阵只有两个不同的特征值，可有如下结论:nn，,P定理2.2 设，，为其两个不同的特征值，则可对角化存在AA,,,12 ,,,,幂等矩阵，使得=+,其中为幂等阵. ,AE,,，，211,E,,11-1证明必要性:若可对角化，存在可逆矩阵，使=相似APPAP,,11E,,,22,1PP,于对角阵，则= A,,0,,,1 = ,PEP，,,,,1,,,E,,，，21,,,,0,,,1,1,, =+, PPPEP,，，,,2111E2,,0,,,1,, =+, PP,E，，,,2111E2,,000,,,,,,,1,,112,PPPP且相似于== ,PP,,,,,,EEE222,,,,,,,,,,故为幂等阵，即存在幂等阵使得=+. ,,AE,，，211,,,,充分性:若存在使=+.因为为幂等阵，故存在可逆阵,使,AE,T,，，211 00,,,,,1,1,,,得=,则=+TT ,TTAE,，，,,,,211EE22,,,,2临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),,0,,,1= ,TET，,,,,,,,E,,，，21,,,,,E,,11,1= TT,,E,22,,,E,,11,1,1TAT故= TT,,E,22,,即可对角化. AAB,如果满足条件的情况，有如下结论: ABBA=nn，nn，,P,P定理2.3 假设个互不相同的特征值，对某个个ABn有，则有AB,当且仅当同时对角化. ABBA=,1TPAP,证明必要性.由有个互不相同的特征值，则可对角化.设,AAndiag,,,,…，其中=.则T，，12，n,,11,,11,1,1,1,1PAPPBPPABPPBAPPBPPAPTPBPPBPT=====.即与T，，，，,1,1PBPPBP可交换，由引理2知是对角阵，从而是可对角化矩阵. B ,1AB,充分性.可同时对角化，故存在可逆阵，使得，PAPP,,1,1其中，为对角阵,,,1. BPP,,，，22,,11,1,1,,11=====. ABBAPPPP,,PP,,PP,,PPPP,,21121221对定理，我们可得到矩阵只有两个不同的特征值时可对角化的判别方法: A22,,=,,,,AE,,,/若，则可对角化，否则不可对角化.其中. AA，，，，122.2可对角化的矩阵的性质是数域上的一个可对角化的阶矩阵，是定理2.2.1 设APA,,,,,…，n12t 阶矩阵,使AA,,…，An的互不相同的特征根，则存在12t1+AAAA,，，,,,…; ，1122tt2+=E,EAAA，，…为单位矩阵; ，12t23AA,; ，ii,140,AAij,,，0为零矩阵，其中. ATBT,，ijii1证明由上一个阶可逆矩阵，使得 APTn，可对角化，则存在3临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),0,,1,,,2,1,,TATB,, ,,…,,0,t,,其中的重数为，由于 s,ii10,,,,,,,,……,,,,,,,,10 B,,,，…+,,,,1t01,,,,,,,,……,,,,,,,,01,,,,记,所以 ,,,BBB，，…+1122tt,,11ATBTTBBBT,,，，,,,…+ ，，tt1122,,,111= TBTTBTTBT,,,，，…+t t1122,,11,,TBTTBT，…+= ，，，，tt11,1记，其中 ,,,AAA，，…+ATBT,1122tti故. AAAA,，，,,,…+1122tt 2由每个为对角形幂等阵，则, BBBE，，,…+B，12ti,1,1,,,111TET=ETBBBT，，…+===AAA，，…+TBTTBTTBT，，…+，，,t12t12t12故 AAA，，…+=E12t,,11,12,,113TBTTBT由，则== ATBT,ATBTTBT，，，，，iiiiiii,121,,1==,TBTTBBTTBTiiii=Ai2故. AA,ii,,11,1,,11TBTTBTTBBT4ij,TBTTBT当时，====0;0为零矩阵 AA，，，，，ijijijij故 AAij,,0,ij4临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)15115,,,,1,2,3例2.2.1 设是数域上的矩阵.是矩阵的特征根，A,,20158PA,,,,876,,, 100231,,,,,,,,,1则存在可逆矩阵,使得=,其中T,342TAT,020B,,,,,,,,112003,,,,,,652,,,,,1， T,,431,,,,111,,,100,,,,,,,,,,,,由于，记 BBB，，23B,，，02130123,,,,,,,,,,,,001,,,,,,,,11ATBTTBBBT,,，，23所以，，123,,,111TBTTBTTBT，，23= ，，，，123,1=,其中AAA，，23ATBT,123ii，,,,,121041293111,,,,,,,,,,,,，且满足: AAA,,,,,,,18156,16124,222123,,,,,,则 ,,,,,,,,,,652431222,,,,,,123AAAA,，，; ，1232AAAE，，,; ，12323AA,i,1,2,3,; ，，，ii40,AAij,,,0为零矩阵. ，，，ij通过一个具体的可对角化矩阵，鲜明地反映了上述性质是成立的.2.3 矩阵的对角化2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法VV数域P上维线性空间的一个线性变换判定其是否在中能找到一组基n使它在此基下的矩阵为对角形矩阵; 当这种基存在时, 如何去寻求它是线性代数学上一个十分重要的问题，利用矩阵的初等变换法解决此问题.,1TAT若矩阵在数域上可对角化，则有上可逆矩阵使=为对角阵.APPBT5临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计) 于是的主对角线上的元素即为的全体特征值，并且可表示为，BATQQQ,…12s,1,,,111i,1,2,…，s其中为初等矩阵，，于是，,又也BQQQAQQQ,……QQis1112sS,,1是初等矩阵，由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系，即知相当于对施AQAQ11行了一次初等行变换和一次初等列变换，将此种变换称为对施行了一次相似变A注:为单位矩阵E换.又由，可进行如下初等变换，则可将化A TEQQQ,…，，12S 为对角矩阵，且可求得: BTAB,,,,对施行一系列相似变换A,对只施行其中的初等列变换. E,,,,,,,,,,,,ET,,,,当不可对角化时，也可经相似变换化简后，求得其特征值，判定它可否对角AA 化.-1,,,111T类似地，可有=，做如下的初等变换则可将化为对角形矩阵AQQQE…s11s,，且可求得或由求的特征值，判定可否对角化: BBAAT对施行一系列相似变换A,1AEBT,,,,,,,,,对对只施行其中的初等行变换. E，，，，并且在施行相似变换时，不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行，可施行若干次行(或列)变换后再施行若干次相应的列(或行)变换,只要保持变换后,最后所得矩阵与相似即可. Ajk为叙述简便，这里用表示第行，表示第列，表示用数乘第行iicrkr，riiji jk后加到第行上，表示用数乘第列后加到第列上. iickc，ij注意到初等矩阵的逆矩阵,,11,1,1PijPijPikPijkPijkPijk,,,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,1A故用左乘A，相当于对施行了变换，右乘A，相当于对A施rkr,Pijk,，，，，ji行了变换. ckc,ji例 2.3.1 求如下矩阵的特征值,并判定它们可否对角化,若可,则将其对角化: 1111,,511,,,,,1111,,,,,,21602，，，，，,,,,1111,,,,,311,,,,1111,,,,;511,411,,,,,,,,,rr，cc,31131CC解由=,知与相似.A,,,,602,,,,402A，，,,,, ,,,,,311002,,,,C2,2,2,2EC,C易知，的特征值为的秩为，所以不可对角化，从而知的特2A6临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)2,2,2,征值为且不可对角化. A11111111,2111,,,,,,,,,,,,1111,,22000200,,,,,,,,,,,,1111,,20200020,,,,,,1111,,20020002rri，,,2,3,4cci,,,2,3,4,,,,,,i11i,,,,,,,,,,,2由，，,,,,,,100010001000,,,,,,01000100,1100,,,,,,,,,,,,00100010,1010,,,,,,,,,,,,00010001,1001,,,,,,，,2000,,111,,,2,,,,0200222,,,,,,00200200,,,,,,00020020,,1,,,2,3,4rri, ,,,1i，知可对角化，的BB111400021,,,,,,,,1,,cci，,,2,3,4ii4444,,,,,,,,,,1000,,311,,,,,1,,,,,11 00444,,,,131,1010,,,,,,,1,,,,444,1001,,,,113,,,,,1,,,,444 111,,1,,444,2,,,,,,311,,2,1,,,1,,,2,2,2,2。
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1 0 1
0 0 0
2020年3月2日星期一
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11
解方程组
x1
x2
x3 2x3
0 0
x1 x3
得通解
x2
2x3
x3 x3
x1 1 x2 k 2 x3 1
2020年3月2日星期一
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25
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21
对 2，解 (2I A)X 0 得基础解系
X4 (1,1,1,1)T
令
1 1 1 1
P [X1
X2
X3
X
4
]
1 0
0 1
0 0
1 1
0 0 1 1
则
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(Spring,24ppt)
程组的基础解系.
第三步:若如上求出A有n个线性无关的特征向量1,2,L ,n ,
令P (1,2 ,L ,n )
1
则有 : P1AP
2
O
n
注(1):若A的全部线性无关特征向量个数小于n个,则不能对角化,此时A只能化为若 当标准形.
(2):上式中i和i的对应关系以及矩阵P中列向量的排列顺序在无
重根时不能颠倒.
2020年3月2日星期一
下列矩阵是否可对角化
1 A 2
1 2
1 2
解 已知矩阵
1 1 1 1 1 1
A 2 2 2
1 1 1
有特征值 0（二重）和 -2，对应的特征向量分别为
记 P (1 L n )
2020年3月2日星期一
1
2
O
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n
AP P P1AP
6
必要性
设A相似于对角矩阵
d1
D
O
dn
即存在可逆矩阵B，使得 B1AB D
B (1, L , n )
8
例1 用相似变换化下列矩阵为对角形 4 6 0
解 A的特征方程为
A
3
5
0
3 6 1
4 6 0
A E 3 5 0 ( 2)( 1)2
3 6 1
特征值为 1 2, 2 3 1
对于 1 2, 可求得特征向量 1 (1,1,1)
2020年3月2日星期一
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5
定理3.6 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充分必 要条件是A有n个线性无关的特征向量.
证明:充分性
设A的n个特征向量1,L ,n线性无关，
它们对应的特征值分别是1,L , n , 则
A1 11, L ,
An nn
A(1 L n ) (11 L nn )
3.2 矩阵的对角化 3.2.1相似矩阵及其性质
定义3.3
设 A和B为 n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵P，
使得
P1AP B
则称A相似于B，或说A和B相似 。
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1
定理3.5.若n阶矩阵A和B相似，则A和B有相同的 特征多项式和特征值。
分析：
1(Spri3ng,24pp0t)
0 13
620
5
1
2
1
0 6
P1
14
将一个方阵A对角化,可以按如下步骤进行: 第一步 : 令 | E A | 0,求出A的全部特征值1, 2,L , r.
第二步:解(iE-A)x=0(i=1,2,L ,r),求出每个特征值i对应的齐次方
P1AP B
B E P1AP E P1( A E)P
P1 A E P
AE
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2
定义3.4 设A为n阶方阵，A的主对角线上元素之和 称为A的迹，记作Tr(A).
性质3.1 对矩阵Anxs与矩阵Bsxn ,有: Tr(AB)=Tr(BA)
7
推论3.2
如果n阶矩阵A的特征值 1,L , n 互不相同
则相似于对角矩阵
1
O
n
定理 3.7: n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对
于每一个 ni 重特征值
向量（证明略）。
i
，对应着
ni 个线性无关的特征
2020年3月2日星期一
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P1 P A P1P A A B
(2)
P1AP B tr(B) tr(P1AP)
tr(APP1) tr(A)
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4
3.2.2 矩阵的对角化(n阶方阵)
相似矩阵具有许多共同的性质,对于n阶矩阵,希望 在与A相似的矩阵中寻找一个较简单的矩阵,在研 究A的性质时只需研究这一较简单矩阵的同类性质, 因此,考虑n阶矩阵是否与一个对角矩阵相似的问题, 即矩阵的对角化(Diagonalization)问题.
2020年3月2日星期一
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18
考虑 A的特征值 1。对方程组 ( I A) X 0，
仅当 秩 ( I A) 1时，才能使基础解系含 2个解。
又
0 a 2 0 a 0
I
A
0 0
0 0
21
0 0
0 0
01
∴ A有特征值 -2 （重数为1）和 2（重数为3）.
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(Spring,24ppt)
20
对 2，解 (2I A) X 0 得基础解系
X1 (1,1,0,0)T X2 (1,0,1,0)T X3 (1,0,0,1)T
故特征值2的线性无关的特征向量为也为3，由此得A 可对角化。
1 1 对应的特征向量为 1 (1, 1)
2 6 对应的特征向量为 2 (2, 3)
P 1
2
1 1
2
3
P1
AP
1 0
0
6
1
A
P
0
A202200年3月P2日10星期一60
20
P1
1 21
P1
1
1
0
1 2 1
2 0 0
P 1 AP
0
1
0
0 0 1
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10
1 1 0 例2 矩阵A = 4 3 0 能否相似于对角阵？
1 0 2 为什么？
1 1
(k 为任意常数）
因为 λ2 =λ3 = 1 是二重根，而对应于λ2 =λ3 = 1无 两个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。
2020年3月2日星期一
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12
应用: 利用对角化计算矩阵的乘方
1
P1AP
2
O
n
1m
B1AB D AB BD A(1, L ,n ) (d11, L , dnn )
A1 d11, L , An dnn 由B可逆便知：1, L , n 都是非零向量，因而都是A的特征
向量，且 1, L , n 线性无关。
2020年3月2日星期一
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故 a 0 。所以，当 a 0 时，A可对角化。
2020年3月2日星期一
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19
练习3 设
求 An。
1 1 1 1
A
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
解 ∵ | I A | ( 2)( 2)3
22
2
P 1AP
2 2
B
2
由此得 A PBP 1。
于是，
An PB nP 1
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23
练习4
2020年3月2日星期一
(Spring,24ppt)
24
作业 P81,
3.9 3.10: (1), (3) 3.11
0
解 | λE – A | = 4 3 0 =(λ- 2)(λ-1)2
1
0
2
所以 A的特征值为 λ1 = 2 λ2 =λ3 = 1
对于 λ2 =λ3 = 1，解方程组 (E – A )χ= 0 对系数矩阵作初等变换
2 1 0
1 0 1
4
2
0
0
1
2
性质3.2 若n阶矩阵A和B相似，则
(1). A和B有相等的行列式; (2). A和B有相等的迹。