2018-2019学年湖北省孝感市部分高中高一下学期期中考试数学试卷

2018-2019学年湖北省孝感市部分高中高一下学期期中考试数学试
卷
本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。

2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项。

1. 若2
sin()3
απ-=，则cos2α=( ) A ．
59 B ．19 C ．19- D ．59-
2. 在△ABC 中，60A ∠=，45B ∠=，AC =BC =( )
A ．
B ．
C ．
D 3. cos80cos 20sin(80)sin160⋅--⋅的值是( )
A.
12 B. 2 C. 1
-2
D. -2
4. 下列命题正确的是( )
A.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C. 垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
D.若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行.
5. 设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，
，，若cos cos a a B b A =+,则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形 6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，
E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为( )
A ．
2
3
B C D 7. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积与原正方体的体积比为( )
A. 2:3
B. 3:4
C. 4:5
D. 5:6 8. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是50m ，则河流的宽度BC 等于( )
A ．1)m
B ．1)m
C ．1)m
D ．1)m
9. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，
若22
()4c a b =-+，3
C π
=，
则ABC ∆的面积是( )
A ．
3
2
B ．3
C
D ．
10. 已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧
面上，从A 到C 的路径中，最短路径的长度为( )
A ．
B ．
C ．3
D ．2
11. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣
内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为( ) A ．9立方尺 B ．18立方尺 C ．36立方尺 D ．72立方尺
12. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、写不清、模棱两可均不得分。

13. 已知球O 的表面积为8π，则球O 的体积为 .
14. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于 .
15. 已知cos sin 6παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则7cos 6πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值是 . 16. 已知,a b ∈R ，且280a b -+=，则1
24
a
b +
的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知1tan()43
π
θ+
=， （1）求θtan 的值；（2）求sin 2θ的值.
18.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，
AB =3AD =，ABD ∆
. （1）求sin BAC ∠的值； （2）求BD 的长.
19. （本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，E , H 分别是线段AB ，AD 的中
点， F , G 分别是线段CB ，CD 上的点，且
1
2
CF CG BF DG ==.求证： （1）四边形EFGH 是梯形；
（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点.
20. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中， D 、P 分别是棱AB ，11
A B
C
的中点，求证：
（1）1//AC 平面1B CD ； （2）平面1//APC 平面1B CD .
21. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所
对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin()3
b A a B π
=+.
（1）求角B 的大小； （2）若4b =，求ABC △面积的最大值．
22. （本小题满分12分）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年
大计。

而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑。

沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效。

通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果。

为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
2018—2019学年度下学期孝感市普通高中联考协作体
期中联合考试
高一数学参考答案及评分细则
说明：
一、如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，满分60分）
二、填空题（每小题5分，满分20分）
14. 3π 15. 1
8
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．
17.解：（1）
1tan()
,43πθ+
=tan tan
143
1tan tan 4
π
θπθ+∴
=-，…………………………（3分） 解得1tan 2
θ=-
. …………………………………………（5分）
（2）222
2sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos sin 1
θθθθθθθθθ==
=++分母应为tan 2
θ+1 又由（1）知1tan 2θ=-，所以12()
42sin 21514
θ⨯-=
=-+.………………………（10分） 18.解：（1）ABD ∆的面积为11sin 3sin 22AB AD BAD BAD ⋅⋅⋅∠=⨯⋅∠= 解得1
sin 3
BAD ∠=
， ……………………………………………………………（2分）
又易知BAD ∠为锐角，所以cos BAD ∠=
………………………………（4分）
所以sin sin()cos 2
BAC BAD BAD π
∠=∠+
=∠=
…………………………（6分） （2）根据余弦定理可得222
cos 2AB AD BD BAD AB AD
+-∠=∙， ………………………（8分）
222
3BD ∴==． …………………………（12分）
19.证明:（1）连结BD, ∵E, H 分别是边AB ，AD 的中点，
∴EH //BD ，且1
2
E H B D = ……………………………………………………（2分） 又∵
1
3
CF CG CB CD ==， ∴FG //BD ，且13
F
G B D = ……………………………………………………
（4分） 因此EH //FG 且EH ≠FG
故四边形EFGH 是梯形； ………………………………………………………（6分） （2）由（1）知EF ，HG 相交，设EF
HG K =
∵,K EF EF ABC ∈⊂平面，∴K ABC ∈平面 …………………………………（8分） 同理K ACD ∈平面，又平面ABC ACD 平面AC =
∴K AC ∈
故EF 和GH 的交点在直线AC 上.
所以AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点 ……………………………………………（12分） 20. 证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，
因为四边形11BCC B 为平行四边形，所以O 为1B C 中点， …………………………（2分） 又D 是AB 的中点，
所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ， …………………………………（4分） 又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，
所以1//AC 平面1B CD . ……………………………………………………………（6分）
（2）因为P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点， 所以1//AD B P 且1AD B P = 所以四边形1ADB P 为平行四边形
所以1//AP DB ， ………………………………………………………………………（8分） 又因为AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，
所以//AP 平面1B CD . ………………………………………………………（10分） 又1//AC 平面1B CD ，1AC ⋂AP P =
1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC
所以平面1//APC 平面1B CD . …………………………………………………（12分）
21.解：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin a b
A B
=，可得sin sin b A a B =， 又由sin sin()3b A a B π=+，得sin sin()3
a B a B π
=+， …………………………（2分）
即sin sin()3B B π=+，即1sin sin 2B B B =
所以sin B B =
可得tan B = ……………………………………………………………………（4分） 又因为(0π)B ∈，，可得3
B π
=
． ………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：2
2
2
2cos
3
b a
c ac π
=+-
即2
2
16a c ac +=+， ………………………………………………………………（8分）
由不等式得：22
2a c ac +≥，当且仅当a c =时，取等号
所以162ac ac +≥，解得16ac ≤ …………………………………………………（10分）
所以△ABC 的面积为
1sin 1623ac π=≤=
所以△ABC 面积的最大值为………………………………………………（12分）
22.解：设沼气池的底面长为x 米，沼气池的总造价为y 元，
因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米， 因为底面长为x 米，所以底面的宽为16
x
…………………………………………（2分） 依题意有
163000150161202(22)y x x
=+⨯+⨯+⨯ 16
5400480()x x
=++
…………………………………………………………………（6分） 因为0x >，由基本不等式和不等式的性质可得
165400480()5400480x x ++
≥+⨯………………………………………（9分）
即5400480y ≥+⨯所以9240y ≥ …………………………………………………………………………（10分） 当且仅当16x x
=
，即4x =时，等号成立 ……………………………………………（11分） 所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元. ………………………………………………………………………………………（12分）。