公开课菱形的性质 ppt课件
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18.2.2菱形(第1课时) 菱形的性质课件(18张PPT)人教版初中数学八年级下册
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO， ∴△ABO是直角三角形， ∴BO= AB2 AO2 =3 ∴AC=2AO=8，BD=2BO=6
1 个 定：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 义 2 个 特 ：特在“边、对角线” 性 2个公式 ：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
思考题：如图菱形ABCD中，写出图中
特殊的三角形，并指出它们的关系。
A
O
B
D
C
❖菱形是轴对称图形，它具有平 行四边形的一切性质。
➢菱形的四条边相等 （特性）
➢菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组 对角．
例1 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
归纳 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线
都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
菱形的面积
A
菱形
B
O
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗? D
E
C
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
S SS 1 菱形ABCD= △ABD+ △BCD= AC×BD 2
人教版 数学 八年级下册 第十八章第二节
18.2.2 菱形
第1课时菱形的性质
活动一：
我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它 是从哪个角度特殊化来进行研究的பைடு நூலகம்它有哪些性质？
1 个 定：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 义 2 个 特 ：特在“边、对角线” 性 2个公式 ：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
思考题：如图菱形ABCD中，写出图中
特殊的三角形，并指出它们的关系。
A
O
B
D
C
❖菱形是轴对称图形，它具有平 行四边形的一切性质。
➢菱形的四条边相等 （特性）
➢菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组 对角．
例1 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
归纳 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线
都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
菱形的面积
A
菱形
B
O
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗? D
E
C
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
S SS 1 菱形ABCD= △ABD+ △BCD= AC×BD 2
人教版 数学 八年级下册 第十八章第二节
18.2.2 菱形
第1课时菱形的性质
活动一：
我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它 是从哪个角度特殊化来进行研究的பைடு நூலகம்它有哪些性质？
19.菱形及其性质PPT课件(华师大版)
知4－讲
例4 如图，已知菱形ABCD的边长为 2 cm，∠BAD＝ 120°，对角线AC、BD相交于点O. 试求这 个菱 形的两条对角线AC与BD的长. (结果保留根号)
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AB＝AD(菱形的四条边都相等). 在△ABO和△ADO中， ∵AB＝AD，AO＝AO, OB＝OD, ∴△ABO≌△ADO, ∴∠BAO＝∠DAO ＝ 1 ∠BAD＝60°. 2
19.2.1 菱形及其性质
1 课堂讲授 2 课时流程
菱形的定义 菱形的对称性 菱形的边的性质 菱形的对角线的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
什么是矩形？ 矩形都有哪些性质？
知识点 1 菱形的定义
做一做 将一张矩形的纸对折，再对折， 然后沿着图中的虚线剪下，打开， 你发现这是一个什么样的图形？
①菱形的面积等于底乘高． ②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对于对角线互相 垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来 进行计算．
知4－讲
3. 易错警示： 菱形和矩形都是建立在平行四边形的基础上；
矩形是附加一直角；而菱形附加一组邻边相等； 矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的
等腰三角形．而菱形的两条对角线把菱形分割成 四个全等的直角三角形； 菱形的对称轴是两条对角线所在的直线，不要误 认为两条对角线是它的对称轴．
∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平
行四边形是菱形)．
总结
知1－讲
本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作 为菱形的判定方法．
知1－练
1 如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需 要添加的条件是( ) A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
公开课-菱形的性质.ppt
64cm 。 高是8cm，则菱形的周长为______
(2012•泸州中考）2.菱形对角线的平方和等于一
边平方的 ( B ) A. 2倍 B. 4倍
C.8倍
D. 16倍
A
(2013•湛江中考）3.在菱形ABCD中，
AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC， CD的中点，那么∠EAF的度数是（ B ） A.75° B.60° C.45° D.30°
思考:菱形的面积除了底× 高外,利用对角线能计算吗?
回味无穷
请就下面的一点或几点谈谈 你的想法:
本节课下来：
我最大的收获是______________ 我对自己的表现感想如何_____________ 作业：1.挑战中考（选做） 2.堂清（必做）
(2012•滨州中考）1.已知菱形的两个邻角的比是1：5，
(2)在菱形ABCD中， ∵AB=BC(菱形的四条边都相等) ∠B=60º ∴△ ABC是等边三角形.（
？）
有一个角是60º 的等腰三角形是等边三角形
巩固练习
S菱形=底×高=对角线乘cm和8cm，那么菱形 2 20cm ，面积是24cm 的周长是_____ _____ 。 A 2.已知如图，菱形ABCD中,∠BAD=120⁰， O B D AC=4，则菱形的周长是（ B ）。 C A.16 3 B.16 C. 8 3 D.8 3.菱形的面积为120c㎡，一条对角线的长为24cm,则 另一条对角线长为10cm ______。
菱形的性质
复习回顾
1._____________________ 两组对边分别平行的四边形 叫平行四边形。
A
平行且相等 。 D 2.平行四边形的对边_________ 相等 邻角_______ 互补 对角_____ ， 互相平分 ， 对角线__________ 是______ 中心 对称图形。
菱形的判定(公开课)课件
详细描述
菱形的四条边长度相等，这是菱形的一个显著特征。这一性质使得菱形成为一 种对称的图形，具有高度的美感。
菱形的角度性 质
总结词
菱形的角度性质是其对角相等。
详细描述
除了边长相等外，菱形的对角也相等。这意味着在菱形中，相对的两个角大小相 等，这也是菱形的一个重要性质。
PART 02
菱形的判定方法
菱形在面积计算中的应用
总结词
菱形面积计算是几何问题中的重要应用 之一，可以通过计算边长和角度来求解。
VS
详细描述
菱形的面积可以通过边长和角度来计算， 具体公式为面积 = (边长 × 边长) × sin( 角度/2)。在计算过程中，需要先确定菱 形的边长和角度，可以通过测量或利用已 知条件推导得出。
性质
等腰菱形的两腰相等，且 相对的两个角相等，对角 线互相垂直平分。
判定方法
如果一个四边形两组对边 分别平行，且一组等长， 则这个四边形是等腰菱形。
正方形作为特殊情况的菱形
定义
正方形是一种特殊的菱形， 其特点是四边相等，四个 角都是直角。
性质
正方形具有菱形的所有性 质，同时还有四个角都是 直角的特性。
菱形在周长计算中的应用
总结词
周长计算是几何问题中的基础应用之一，可 以通过计算各边长度之和来求解。
详细描述
菱形的周长可以通过四条相等的边来计算， 具体公式为周长 = 4 × 边长。在计算过程 中，需要先确定菱形的边长，可以通过测量 或利用已知条件推导得出。
菱形在角度计算中的应用
总结词
角度计算是几何问题中的重要应用之一，可以通过计算角度和边长之间的关系来求解。
判定定理一：四边相等的四边形是菱形
总结词
菱形的四条边长度相等，这是菱形的一个显著特征。这一性质使得菱形成为一 种对称的图形，具有高度的美感。
菱形的角度性 质
总结词
菱形的角度性质是其对角相等。
详细描述
除了边长相等外，菱形的对角也相等。这意味着在菱形中，相对的两个角大小相 等，这也是菱形的一个重要性质。
PART 02
菱形的判定方法
菱形在面积计算中的应用
总结词
菱形面积计算是几何问题中的重要应用 之一，可以通过计算边长和角度来求解。
VS
详细描述
菱形的面积可以通过边长和角度来计算， 具体公式为面积 = (边长 × 边长) × sin( 角度/2)。在计算过程中，需要先确定菱 形的边长和角度，可以通过测量或利用已 知条件推导得出。
性质
等腰菱形的两腰相等，且 相对的两个角相等，对角 线互相垂直平分。
判定方法
如果一个四边形两组对边 分别平行，且一组等长， 则这个四边形是等腰菱形。
正方形作为特殊情况的菱形
定义
正方形是一种特殊的菱形， 其特点是四边相等，四个 角都是直角。
性质
正方形具有菱形的所有性 质，同时还有四个角都是 直角的特性。
菱形在周长计算中的应用
总结词
周长计算是几何问题中的基础应用之一，可 以通过计算各边长度之和来求解。
详细描述
菱形的周长可以通过四条相等的边来计算， 具体公式为周长 = 4 × 边长。在计算过程 中，需要先确定菱形的边长，可以通过测量 或利用已知条件推导得出。
菱形在角度计算中的应用
总结词
角度计算是几何问题中的重要应用之一，可以通过计算角度和边长之间的关系来求解。
判定定理一：四边相等的四边形是菱形
总结词
19.菱形的性质cfPPT课件(沪科版)
请谈谈你这节课的收获
当堂诊学
(必做题）1.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角 线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E （1）求∠ABD的度数 （2）求线段BE的长
(选做题）2.如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点，且DE⊥AB，
AB=a.
（1）求∠ABC的度数
（2）求对角线AC的长
结论：对角线互相垂直的四边形面积都是对角线积的一半
引导探究
5.已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且 DE⊥AB，AB=1.
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。D
C
O
A
B
E
目标再现
1、理解菱形的概念及与平行四边形之间的关系 有一组邻边相等的平行四边行叫做菱形 2、掌握菱形的性质并会运用其解决简单的问题
度数为 5° .
B
D
EF
C
引导探究
3、已知菱形的两条对角线长分别为 6a,, b8, 求菱形的面积. 周长呢？
或S菱形=AB× DE
E
结论：菱形的面积是两条对角线积的一半.
4.菱形的两条对角线的长分别是12cm和16cm， 则菱形的面积是_9_6_c_m_2,周长是_4_0_c_m__
引导探究
变式：已知四边形的对角线互相垂直，且两 条对角线长分别为 a,b,求四边形的面积.
2、掌握菱形的性质并会解决简单的问题
独立自学
1、在平行四边形中，改变边的长度，能否得到一 个特殊的平行四边形？
D
A
D
平行四边形 （
）
A
菱?形
C
B
C
B
2.什么样的四边形叫做菱形？
当堂诊学
(必做题）1.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角 线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E （1）求∠ABD的度数 （2）求线段BE的长
(选做题）2.如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点，且DE⊥AB，
AB=a.
（1）求∠ABC的度数
（2）求对角线AC的长
结论：对角线互相垂直的四边形面积都是对角线积的一半
引导探究
5.已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且 DE⊥AB，AB=1.
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。D
C
O
A
B
E
目标再现
1、理解菱形的概念及与平行四边形之间的关系 有一组邻边相等的平行四边行叫做菱形 2、掌握菱形的性质并会运用其解决简单的问题
度数为 5° .
B
D
EF
C
引导探究
3、已知菱形的两条对角线长分别为 6a,, b8, 求菱形的面积. 周长呢？
或S菱形=AB× DE
E
结论：菱形的面积是两条对角线积的一半.
4.菱形的两条对角线的长分别是12cm和16cm， 则菱形的面积是_9_6_c_m_2,周长是_4_0_c_m__
引导探究
变式：已知四边形的对角线互相垂直，且两 条对角线长分别为 a,b,求四边形的面积.
2、掌握菱形的性质并会解决简单的问题
独立自学
1、在平行四边形中，改变边的长度，能否得到一 个特殊的平行四边形？
D
A
D
平行四边形 （
）
A
菱?形
C
B
C
B
2.什么样的四边形叫做菱形？
1.菱形的性质与判定第1课时菱形的性质PPT课件(北师大版)
新知导航
2．如图，菱形ABCD的边长为4 cm，对角线AC，BD 交于O，∠BAD＝60°.求对角线AC，BD的长．
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝4 cm ∴BO＝2 cm，∴AO＝2 3 cm，∴AC＝4 3 cm
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
新知导航
知识点3：对角线平分对角
【例3】如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，
连接OB，OD，求证：OB＝OD.
【例3】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO AD＝AB
在△ADO和△ABO中， ∠DAO＝∠BAO ， AO＝AO
∴△ADO≌△ABO(SAS)，∴OB＝OD.
第1课时 菱形的性质
新知导航
（一）基础呈现 菱形的定义：有一组邻边 相等 的 平行四边形 叫做 菱形． 菱形的性质 （1）菱形具有平行四边形的所有性质； （2）菱形不同于一般平行四边形的性质： ①四条边都 相等 ； ②两条对角线 垂直平分 ，并且每条对角线平分对角． ③菱形是轴对称图形，有 2 条对称轴．
（2）平行四边形的对角
相等
.
（3）平行四边形的对角线 互相平分 .
第1课时 菱形的性质
知识回顾
几何语言 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴（边）__如__A__B_＝__C_D_________________________； （角）____∠__A__＝__∠__C_________________________； （对角线）__O_A__＝__O_C_，__O__B_＝__O_D__等______________.
第1课时 菱形的性质
菱形的性质课件(共24张PPT)
1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系.2.经历菱形性质定理的探索过程.（重点）3.能够用综合法证明菱形的性质定理.（难点）下面几幅图中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？知识点1 菱形的定义由上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么共同点吗？从边的角度想一想。
平行四边形菱形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.归纳做一做用菱形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？知识点2 菱形的性质（2）菱形中有哪些相等的线段？探索菱形的性质通过上面的折纸活动，我们可以发现：（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴.（2）菱形四条边都相等.（3）菱形的对角线互相垂直.证明菱形的性质已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O.求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD.A BC DO证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD，∴AB = BC = CD =AD.证明菱形的性质已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O.求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD.A BC DO（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD.在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，∴AO⊥BD，即AC⊥BD.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.解：∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB = BD (菱形的四条边相等)，∴ AC ⊥BD (菱形的对角线互相垂直)， OB =OD = BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABC 中，∵∠BAD =60°，1212A C DOB如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.A C D OB ∴△ABD 是等边三角形.∴AB = BD = 6.在Rt ΔAOB 中，由勾股定理，得OA 2+OB 2=AB 2，∴ OA = = = ∴ AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分）.22AB O B -2263-3 3.63菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直. 角：对角相等，邻角互补.边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等C2.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交 于点O . 已知AB =5cm，AO =4cm，求BD 的长.解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直）.在Rt△AOB 中，由勾股定理，得OA 2 + OB 2 = AB 2，∴BO = .-=-=2222543AB AO∵四边形ABCD 是菱形，∴BD =2BO = 2×3=6（菱形的对角线互相平分）.∴BD 的长为 6 cm.2.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交 于点O . 已知AB =5cm，AO =4cm，求BD的长.3.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵四边形ABCD是菱形∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°.又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°.∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形.4.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.求证：AC，CA分别平分∠BAD和∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD ，BO=DO，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，同理：CA平分∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC.1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.。
菱形的判定公开课ppt课件
BDC
∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠3
∴AE=DE∴ □AEDF源自菱形返回１、这节课你学到了些什么知识？ ２、你有什么收获？
（1）菱形的判定方法有哪些？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（定义） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. （对角线互相垂直平分的四边形是菱形.）
∴ ABCD是菱形
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
1.对角线互相垂直的四边形一定是菱形吗？为什么？
D
A
C
答：不一定。如图A
∟
C
B
B
D
2.通过问题1，我们在使用菱形判定定理2时，需 要注意哪些事项？
答：要注意两个条件，（1）是一个平行四边 形；（2）两条对角线互相垂直。
四边形EFGH，求证：四边形EFGHA是菱形。E
D
证明：连接AC、BD
∵四边形ABCD是矩形 F
H
∴AC=BD
B
G
∵点E、F、G、H为各边中点
C
∴ EF GH 1 BD EH GF 1 AC
2
2
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形
为什么丝带重叠的部 分是菱形？你能证明 吗？请把证明过程写 在草稿纸上。
四条边相等的四边形是菱形.
谢谢指导
课后作业：课本60页第6题，61页第10题。
你能证明这 个猜想吗？
猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 ABCD中，AC ⊥ BD
A
求证： ABCD是菱形
B
菱形及其性质PPT课件(北师大版)
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
特别提醒: 菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一 组邻边相等。二者必须同时具备，缺一不可。 菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本 判定方法.
感悟新知
例例11：如图1-1-1，在△ ABC中，CD平分∠ ACB交 知1－练
感悟新知
知3－练
例例33：如图1-1-3，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，BD=12 cm，AC=6 cm。求菱形的周长。
解题秘方：紧扣菱形边的性质、对角线的性质进行解答。
解法提醒: 菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的
直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线 段的长转化为求直角三角形中相关线段的长， 再利用勾股定理来计算.
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形及其性质
学习目标
1 课时讲授 2 课时流程
菱形的定义 菱形的判定 菱形对角线的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形.视察这些平 行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
复习提问 引出问题
感悟新知
解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD，AO= 12AC，BO= 12BD. ∵ AC=6 cm，BD=12 cm， ∴ AO=3 cm，BO=6 cm. 在Rt △ ABO 中，由勾股定理 得AB= AO2+BO2 = 32+62 =35 （cm）， ∴菱形的周长=4AB=4×35 =125 （cm）.
AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC 交AC 于点
菱形性质与判定课件ppt
面积计算
菱形面积的计算公式为
面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。由于菱形的对角线互相垂直且平分，因此可以使用此公式来计算面积。
另一种计算菱形面积的方法是
面积 = 底 × 高。在这里，底是菱形的一条边，高是从这条边到对角顶点的垂直距离。
周长计算
01
菱形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。由于菱形的四条边都相等， 因此可以使用此公式来计算周长。
建筑学中的应用
建筑设计
菱形结构在建筑设计中常被用作装饰元素，如菱形窗格、菱形图案的墙面等，增加建筑物的美感和独特性。
空间划分
菱形地砖、菱形玻璃等可以用于室内空间划分，创造出独特视觉效果，同时起到引导人流、划分功能区域的作用。
工程学中的应用
结构工程
菱形结构具有较好的稳定性和承重能力，在桥梁、道路、隧道等工程建设中，菱形结构 常被用于增强结构的稳定性和承载能力。
邻边互相垂直且相等判定
邻边互相垂直
菱形的任意一组邻边互相垂直，因此 可以通过测量任意一组邻边的夹角是 否为90度来判断一个四边形是否为菱 形。
邻边长度相等
除了互相垂直外，菱形的任意一组邻 边的长度还相等。这也是菱形的一个 基本性质。
03
菱形与其他四边形的比较
与矩形的关系
01
02
03
边的性质
菱形的对边相等，与矩形 相同；但菱形的邻边也相 等，这是矩形不具备的性 质。
角度关系
两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补，即∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°。
对角线性质
对角线互相垂直： AC⊥BD。
对角线长度关系：对 角线长度不一定相等 ，但满足 AC²+BD²=4AB²。
《菱形的性质》教学PPT课件 初中数学公开课
角线能 计算菱形的面积公式吗?
S菱形 ABCD=4SRt△ABO=
1 2
AC×BD
S菱形=底×高=对角线乘积的一半
例2（1）如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC =60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．
花坛的面积（结果保留小数点后两位）.
1 S菱形ABCD 2 AC BD 20 34.64 692.80
C
A.10cm B.7cm
C. 5cm D.4cm
B
点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰的边长为20 m，∠ABC
=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求
两条小路的长（结果保留小数点后两位）.
解： 花坛A B CD是菱形
AC BD， ABO 1 ABC 1 600 300
2．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是 1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
3.已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2.
求（1）∠ABC的度数；
D
C
（2）对角线AC、BD的长；
O
（3）菱形ABCD的面积
A
B
E
你敢挑战吗？ 回去想一想
拓展题：在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别从点D、C出 发，以同样的速度沿边DA、CD向终点A、D运动. 求证：三角形BEF是等边三角形。
对角线 两条对角线互相平分 两条对角线互相垂直，且一条对角线 平分一组对角
证明性质
D 已知:如图四边形ABCD是菱形
求证1：AB=BC=CD=DA 求证2：AC⊥BD
A
C
求证3：AC平分∠DAB和∠DCB ，
第1章第1课时 菱形的性质PPT课件(北师大版)
解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB∥CD，∴∠1＝∠ACD. ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD. ∴MC＝MD. ∵ME⊥CD，∴CD＝2CE. ∵CE＝1，∴CD＝2.∴BC＝CD＝2.
知识点 2 菱形面积的计算 ☞ 例 3 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相 交于点 O，AB＝5，AC＝6，过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，求△BDE 的面积.
6．(2018·贵州贵阳)如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EF∥CB，交 AB 于点 F，如果 EF＝3，那 么菱形 ABCD 的周长是( A )
A．24 B．18 C．12 D．9
7．(2018·辽宁锦州)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，连接 OH. 若 OB＝4，S 菱形 ABCD＝24，则 OH 的长为 33 ．
第1课时 菱形的性质
核心提要 典例精炼 变式训练 基础演练 能力拔高 拓展培优
1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的四条边相等， 对角角线线互相垂直，并且每 一条 对角线平分一组对角． 3．菱形是 轴轴对称图形，它有 2 条对称轴． 4．菱形的面积是 对角线乘积的一半．
知识点 1 菱形性质的运用 ☞ 例 1 如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，∠BCD＝ 120°，则△ABC 的周长等于( B )
BE 的长．
解：菱形 ABCD 的面积为21×16×12＝96(cm2)． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥DB， ∴CD＝ 62＋82＝10(cm)． ∵S△BCD＝12S 菱形 ABCD，∴12CD·BE＝48， 即12×10BE＝48，解得 BE＝458. ∴菱形 ABCD 的面积为 96cm2图，在菱形 ABCD 中，过点 B
知识点 2 菱形面积的计算 ☞ 例 3 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相 交于点 O，AB＝5，AC＝6，过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，求△BDE 的面积.
6．(2018·贵州贵阳)如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EF∥CB，交 AB 于点 F，如果 EF＝3，那 么菱形 ABCD 的周长是( A )
A．24 B．18 C．12 D．9
7．(2018·辽宁锦州)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，连接 OH. 若 OB＝4，S 菱形 ABCD＝24，则 OH 的长为 33 ．
第1课时 菱形的性质
核心提要 典例精炼 变式训练 基础演练 能力拔高 拓展培优
1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的四条边相等， 对角角线线互相垂直，并且每 一条 对角线平分一组对角． 3．菱形是 轴轴对称图形，它有 2 条对称轴． 4．菱形的面积是 对角线乘积的一半．
知识点 1 菱形性质的运用 ☞ 例 1 如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，∠BCD＝ 120°，则△ABC 的周长等于( B )
BE 的长．
解：菱形 ABCD 的面积为21×16×12＝96(cm2)． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥DB， ∴CD＝ 62＋82＝10(cm)． ∵S△BCD＝12S 菱形 ABCD，∴12CD·BE＝48， 即12×10BE＝48，解得 BE＝458. ∴菱形 ABCD 的面积为 96cm2图，在菱形 ABCD 中，过点 B
《菱形的性质》课件
服更具特色。
其他领域的应用
总结词
除了建筑和服装设计，菱形在艺术、家 居、包装等领域也有广泛的应用。
VS
详细描述
在艺术领域，菱形常被用作创作元素，如 绘画、雕塑等。在家居设计中，菱形图案 的壁纸、地毯等也常被使用，能够营造出 温馨、舒适的氛围。在包装设计中，菱形 形状的包装盒、标签等也十分常见，能够 吸引消费者的注意。
菱形只有一组邻边相 等，而矩形两组邻边 分别相等。
菱形的对角线互相垂 直且平分对方，而矩 形的对角线相等且互 相平分。
THANKS 感谢观看
《菱形的性质》ppt课件
• 菱形的定义与性质 • 菱形的判定方法 • 菱形面积的计算 • 菱形在生活中的应用 • 菱形与平行四边形、矩形的联系
与区别
01 菱形的定义与性质
菱形的定义
总结词
明确菱形的定义
详细描述
菱形是一种四边形，其中两组相对边相等且平行。
菱形的性质
总结词：列举菱形的性质
1. 菱形的两组相对边相等 。
05 菱形与平行四边形、矩形的联系与区别
联系
菱形、平行四边形和矩Hale Waihona Puke 都属于 四边形，具有四边形的共同性质
。
菱形是特殊的平行四边形，具有 平行四边形的对边平行且相等的
性质。
矩形是特殊的平行四边形，具有 平行四边形的两组对边平行且相
等的性质。
区别
菱形的两组对边平行 但不一定相等，而平 行四边形的两组对边 分别相等。
详细描述
在建筑设计中，菱形图案的运用可以增加建筑的视觉效果， 使建筑看起来更加独特和美观。同时，在建筑的结构中，菱 形结构也经常被使用，因为它的稳定性强，能够承受较大的 压力。
服装设计中的应用
其他领域的应用
总结词
除了建筑和服装设计，菱形在艺术、家 居、包装等领域也有广泛的应用。
VS
详细描述
在艺术领域，菱形常被用作创作元素，如 绘画、雕塑等。在家居设计中，菱形图案 的壁纸、地毯等也常被使用，能够营造出 温馨、舒适的氛围。在包装设计中，菱形 形状的包装盒、标签等也十分常见，能够 吸引消费者的注意。
菱形只有一组邻边相 等，而矩形两组邻边 分别相等。
菱形的对角线互相垂 直且平分对方，而矩 形的对角线相等且互 相平分。
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《菱形的性质》ppt课件
• 菱形的定义与性质 • 菱形的判定方法 • 菱形面积的计算 • 菱形在生活中的应用 • 菱形与平行四边形、矩形的联系
与区别
01 菱形的定义与性质
菱形的定义
总结词
明确菱形的定义
详细描述
菱形是一种四边形，其中两组相对边相等且平行。
菱形的性质
总结词：列举菱形的性质
1. 菱形的两组相对边相等 。
05 菱形与平行四边形、矩形的联系与区别
联系
菱形、平行四边形和矩Hale Waihona Puke 都属于 四边形，具有四边形的共同性质
。
菱形是特殊的平行四边形，具有 平行四边形的对边平行且相等的
性质。
矩形是特殊的平行四边形，具有 平行四边形的两组对边平行且相
等的性质。
区别
菱形的两组对边平行 但不一定相等，而平 行四边形的两组对边 分别相等。
详细描述
在建筑设计中，菱形图案的运用可以增加建筑的视觉效果， 使建筑看起来更加独特和美观。同时，在建筑的结构中，菱 形结构也经常被使用，因为它的稳定性强，能够承受较大的 压力。
服装设计中的应用
《菱形的性质》课件
源自菱形是四边相等 的平行四边形
四边相等的平行 四边形是菱形
菱形的对角线互 相垂直且平分
菱形的对角线相 等且互相垂直
根据邻边垂直判定菱形
菱形定义：四边相等的四边形 邻边垂直：对角线互相垂直的四边形 判定方法：如果四边形的对角线互相垂直，那么它就是菱形 证明：利用三角形全等和相似性进行证明
建筑中的应用
菱形对角线互相垂直平分 菱形对角线互相平分 菱形对角线长度相等 菱形对角线长度的平方和等于边长的平方和
菱形对角线的角度性质
菱形对角线互相垂直，且平分 菱形对角线相交于菱形中心，且平分 菱形对角线长度相等，且平分 菱形对角线夹角为90度，且平分
菱形对角线的垂直平分性质
菱形对角线互 相垂直平分
菱形的周长等于 其边长的4倍
菱形的边长等于 其对角线的一半
菱形的对角线互 相垂直且平分
菱形的面积等于 其对角线乘积的 一半
特殊菱形的面积和周长计算
特殊菱形：等 边菱形、直角 菱形、等腰菱
形等
面积计算：等边 菱形面积=边长 ^2/2，直角菱形 面积=对角线乘 积/2，等腰菱形 面积=底边乘以
高
周长计算：等边 菱形周长=4*边 长，直角菱形周 长=2*对角线， 等腰菱形周长 =2*底边+2*高
菱形的边长性质
菱形具有四条边，且四条边长 度相等
菱形的对角线互相垂直，且平 分
菱形的对角线长度相等，且等 于边长的2倍
菱形的面积等于对角线乘积的 一半
菱形的角度性质
菱形是四边相等的四边形 菱形的对角线互相垂直且平分 菱形的四个角都是直角 菱形的对角线互相平分且相等
菱形对角线的长度性质
特殊菱形的性 质：对称性、 稳定性、对角 线互相垂直等
四边相等的平行 四边形是菱形
菱形的对角线互 相垂直且平分
菱形的对角线相 等且互相垂直
根据邻边垂直判定菱形
菱形定义：四边相等的四边形 邻边垂直：对角线互相垂直的四边形 判定方法：如果四边形的对角线互相垂直，那么它就是菱形 证明：利用三角形全等和相似性进行证明
建筑中的应用
菱形对角线互相垂直平分 菱形对角线互相平分 菱形对角线长度相等 菱形对角线长度的平方和等于边长的平方和
菱形对角线的角度性质
菱形对角线互相垂直，且平分 菱形对角线相交于菱形中心，且平分 菱形对角线长度相等，且平分 菱形对角线夹角为90度，且平分
菱形对角线的垂直平分性质
菱形对角线互 相垂直平分
菱形的周长等于 其边长的4倍
菱形的边长等于 其对角线的一半
菱形的对角线互 相垂直且平分
菱形的面积等于 其对角线乘积的 一半
特殊菱形的面积和周长计算
特殊菱形：等 边菱形、直角 菱形、等腰菱
形等
面积计算：等边 菱形面积=边长 ^2/2，直角菱形 面积=对角线乘 积/2，等腰菱形 面积=底边乘以
高
周长计算：等边 菱形周长=4*边 长，直角菱形周 长=2*对角线， 等腰菱形周长 =2*底边+2*高
菱形的边长性质
菱形具有四条边，且四条边长 度相等
菱形的对角线互相垂直，且平 分
菱形的对角线长度相等，且等 于边长的2倍
菱形的面积等于对角线乘积的 一半
菱形的角度性质
菱形是四边相等的四边形 菱形的对角线互相垂直且平分 菱形的四个角都是直角 菱形的对角线互相平分且相等
菱形对角线的长度性质
特殊菱形的性 质：对称性、 稳定性、对角 线互相垂直等
菱形的性质与判定分层ppt课件
试一试
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与
BD交于点O,AC⊥BD.
求证: □ABCD是菱形
证明:
定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
议一议
已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一 个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?
探索新知
根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形. 除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四 边形是菱形?先想一想,再与同伴交流.
小明的想法
平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆 命题.受此启发,我猜想:
四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边 形是菱形.
你是怎么想的?你认为小明的想法如何?与同伴交 流一下.
第一章 特殊平行四边形
1.1.2菱形的性质与判定
教学目标：1.探索证明菱形的两种判定方法，掌握证明的基本要求、 方法及思路．
2．能利用菱形的判定方法进行证明.
复习旧知
1.菱形的定义?性质?
2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只需
补充
就可以判定它是一个菱形.
3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为_____ 怎么做的?你认为小刚的作法正确吗?与 同伴交流.
请尝试证明下面的定理
四条边相等的四边形是菱形
已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形 证明:
定理 四条边相等的四边形是菱形
符号语言：
∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
菱形的性质与判定ppt课件
四边形
_______.
【探究提升】 取两张短边长度相等的平行四边形纸条和
< , ≤ ,其中 = ,∠ = ∠,将它们按图2放
置,落在边上,,与边分别交于点,.求证：四边形
是菱形.
证明：∵ 四边形纸条和是
折叠,使得落在边上,折痕为,
展平纸片.如图2，再次折叠该三角形
纸片,使点与点重合,折痕为,再
次展平后连接，.求证:四边形是菱形.
证明:由第一次折叠，得为∠
的平分线.∴ ∠ = ∠.
由第二次折叠，得∠ = ∠，
= , = .
= = = = ， = .若∠ = ∘ ，则
∠的度数为( B )
A.∘
B.∘
C.∘
D.∘
第10题图
11.
如图，将△ 沿着方
向平移得到△ ，只需添加一个条件即可证
明四边形是菱形，这个条件可以是
= （答案不唯一）
∴ 四边形为菱形.
第7题图
（2）求的长．
解：∵ 四边形为菱形，
∴ = = ， = ， ⊥ .
在 △ 中， = − = ，
∴ = = ．
第7题图
8.张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对
4个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是
( C )
A.
B.
C.
D.
9.(2023洛阳期中改编)如图1，四边形
是菱形，在直线上找两点，，
使四边形是菱形，则甲、乙两个方
案( C )
A.甲对，乙错
B.乙对，甲错
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
10.如图，四边形内有一点，
_______.
【探究提升】 取两张短边长度相等的平行四边形纸条和
< , ≤ ,其中 = ,∠ = ∠,将它们按图2放
置,落在边上,,与边分别交于点,.求证：四边形
是菱形.
证明：∵ 四边形纸条和是
折叠,使得落在边上,折痕为,
展平纸片.如图2，再次折叠该三角形
纸片,使点与点重合,折痕为,再
次展平后连接，.求证:四边形是菱形.
证明:由第一次折叠，得为∠
的平分线.∴ ∠ = ∠.
由第二次折叠，得∠ = ∠，
= , = .
= = = = ， = .若∠ = ∘ ，则
∠的度数为( B )
A.∘
B.∘
C.∘
D.∘
第10题图
11.
如图，将△ 沿着方
向平移得到△ ，只需添加一个条件即可证
明四边形是菱形，这个条件可以是
= （答案不唯一）
∴ 四边形为菱形.
第7题图
（2）求的长．
解：∵ 四边形为菱形，
∴ = = ， = ， ⊥ .
在 △ 中， = − = ，
∴ = = ．
第7题图
8.张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对
4个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是
( C )
A.
B.
C.
D.
9.(2023洛阳期中改编)如图1，四边形
是菱形，在直线上找两点，，
使四边形是菱形，则甲、乙两个方
案( C )
A.甲对，乙错
B.乙对，甲错
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
10.如图，四边形内有一点，
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C
∠B=60º
∴△ ABC是等边三角形.（ ？ ）
有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形
巩固练习 S菱形=底×高=对角线乘积的一半
1.菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，那么菱形
的周长是_2_0_c_m_，面积是2__4_c_m_2。
A 2.已知如图，菱形ABCD中,∠BAD=120⁰，
AC=4，则菱形的周长是（ B ）。 B
B
O
D
对角线：菱形的对角线互相垂直。
C
推理演绎
菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等。 A
几何语言：∵四边形ABCD为菱形，
B
∴ AB=BC=CD=AD.
证明：在菱形ABCD中，AB=BC，
又∵AB=CD，AD=BC
∴ AB=BC=CD=AD.
菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直。
几何语言：∵AC,BD是菱形ABCD的对角线，
菱形的性质
复习回顾
1._两__组_对__边__分_别__平__行__的_四__边__形_ 叫平行四边形。
A
D 2.平行四边形的对边_平_行__且__相_等__。
对角_相__等__ 邻角__互_补____，
对角线__互__相_平__分___，
是__中__心__ 对称图形。
B
C
生活中的“菱形”
菱形的定义：
º
OD C
方法指导：有关菱形问题可转化为直
角三角形或等腰三角形的问题来解
决
合情推理
例1 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求出
∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形。
解：(1)在菱形ABCD中，AD∥BC，
A
∴∠B+∠BAD=180º
又∵∠BAD=2∠B，
B
D
∴∠B=60º.
(2)在菱形ABCD中， ∵AB=BC(菱形的四条边都相等)
B
∴ AC┴BD.
证明：在菱形ABCD中，AB=AD，OB=OD。
在等腰▲ABD中，OA是BD上的中线，
∴ OA┴BD,即AC┴BD（ 三线合一 ）
C
A O
C
D D
牛刀小试
1层.菱层形深具入有：而菱一形般被平对行角四线边分形成不几具个有什的么性样质的是三（角形C？）它们分
别是A什.对么角关相系等？由此，你发现对B角.对线边还相有等什么特点？
OD
A.16 3 B.16 C. 8 3 D.8
C
3.菱形的面积为120c㎡，一条对角线的长为24cm,则
另一条对角线长为1_0_c__m__。
思考:菱形的面积除了底× 高外,利用对角线能计算吗?
回味无穷
请就下面的一点或几点谈谈 你的想法:
本节课下来： 我最大的收获是______________ 我对自己的表现感想如何_____________ 作业：1.挑战中考（选做）
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
一组邻边相等
平行四边形
菱形
我动手，我快乐
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图 中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么 样的图形呢?
你剪出的是什么图形？它有什么特殊性质?
自学提示
自学课本P110---112页内容，并思考下列问题：
1.动手折一折剪好的菱形，观察思考，将你发现的菱形的特殊 性质填写在 P110的表格中。（从对称性、边、角、对角线方面考虑）
菱形C被.对对角角线线互分相成垂四直个等腰三角D形.对和角四线个互直相角平三分角形。
2四.已个知等菱腰形三的角周形长两是两1分2c别m，全那等么，它四的个边直长角是三_3角_c__m__.
形全等。
A
3是._在_2菱__0形__A_BC,DA中C=，__A_6B_=_5_，_,OBBD==4_，__8则__菱__形的周长B 若∠ABC＝60⁰，则∠BAC＝_6_0___.
2.堂清（必做）
公开课菱形的性质
感谢各位老师莅临指导!
2.结合图19.2.3和19.2.4你能推理说明菱形的两条性质定理吗？
3.菱形被对角线分成几个行四边形，它具有平行四边形的所有性质。
菱形的特殊性质：
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形。
对称轴为对角线连线所在的直线。 A
边：菱形的四条边都相等。