十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题20 空间向量 含解析

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题20空间向量

1.(2014·全国2·理T11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM 与AN所成角的余弦值为()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】如图,以点C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, 不妨设BC=CA=CC1=1,可知点

A(0,1,1),N,B(1,0,1),M.

∴.

∴cos<>=.

根据的夹角及AN与BM所成角的关系可知,BM与AN所成角的余弦值为.

2.(2013·北京·文T8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有()

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

【答案】B

【解析】设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系,如图所示.

则D(0,0,0),D1(0,0,a),C1(0,a,a),C(0,a,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),A(a,0,0),

A1(a,0,a),P,

则||=a,

||==a,

||=a,

||=||==a,

||=||=a,

||=a,

3.(2012·陕西·理T5)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】不妨设CB=1,则CA=CC1=2.由题图知,A点的坐标为(2,0,0),B点的坐标为(0,0,1),B1点的坐标为(0,2,1),C1点的坐标为(0,2,0).

所以=(0,2,-1),=(-2,2,1).

所以cos<>=.

4.(2010·大纲全国·文T6)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

【答案】C

【解析】不妨设AB=AC=AA1=1,建立空间直角坐标系如图所示,

则B(0,-1,0),A1(0,0,1),A(0,0,0),C1(-1,0,1),

∴=(0,1,1),=(-1,0,1).

∴cos<>=.

∴<>=60°.

∴异面直线BA1与AC1所成的角为60°.

5.(2019·天津·理T17)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(1)求证:BF∥平面ADE;

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;

(3)若二面角E-BD-F的余弦值为,求线段CF的长.

【解析】(1)证明依题意,可以建立以A为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h>0),则F(1,2,h).

依题意,=(1,0,0)是平面ADE的法向量,

又=(0,2,h),可得=0,又因为直线BF⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE.

(2)解依题意,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2).

设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,

则不妨令z=1,

可得n=(2,2,1).

因此有cos<,n>==-.

所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.

(3)解设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量,

则

不妨令y=1,可得m=1,1,-.

由题意,有|cos|=,

解得h=,经检验,符合题意.

所以,线段CF的长为.

6.(2019·浙江·T 19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.

(1)证明:EF⊥BC;

(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

【解析】方法一:

(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,

所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,

平面A1ACC1∩平面ABC=AC,

所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.

又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.

所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.

(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.

由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.

连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).

不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=2,EG=.

由于O为A1G的中点,故EO=OG=,

所以cos∠EOG=.

因此,直线EF与平面A BC所成角的余弦值是.

方法二:

(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,

平面A1ACC1∩平面ABC=AC,

所以,A1E⊥平面ABC.

如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1

为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.

不妨设AC=4,则A1(0,0,2),B(,1,0),B1(,3,2),

F,2,C(0,2,0).

因此,=,2,=(-,1,0).

由=0得EF⊥BC.

(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.

由(1)可得=(-,1,0),=(0.2,-2).

设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z).

由

取n=(1,,1),

故sin θ=|cos<·n>|=.

因此,直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为.

7.(2019·全国1·理T18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.

(1)证明:MN∥平面C DE;