巧用平面向量中三点共线的充要条件解题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一
ｊ ｒ ｔ ｓ ｉ ｎ ａ ） ＝ ２ ｐ ｔ ｃ ｏ ｓ ｃ ￣ ￣Ｉ Ｏ Ａ Ｉ ＝ ２ ／ ９ Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ￣ 同理 Ｉ ∞Ｉ ＝
Ｓ ｌ ｎ Ｃ０Ｓ
・
ＯＢ ＝０ ￡ ｌ ｔ ２＝－１
Ｓ ＆ ４ ０ Ｂ ＝
＝
Ｉ ＝ 圭
瓣
所 以
厢
＝
厢
５ ＝ ￣ Ｉ Ａ Ｏ Ｉ Ｂ Ｏ Ｉ ＝
１ Ｌ 【
…
＝ ２ ｐ 。 ／ ３ ＋ ＿ ≥ ４ ｐ 当 且 仅 当ｓ ｉ ｎ ＝ １ 即０ ｃ ＝ ＇ ｒ ｆ 时 取 等 号 ． ｓ ｉ ｎ 。
啦箍
．
解 法６ ： 设Ａ （ ｚ ｐ 。 ， ２ ． ｔ 。 ） ， （ ： ， ２ ｐ ｔ ： ） ， 由
Ｐ是平面上一点 ， 且点 Ｐ不在直线 Ａ Ｂ上 ， 则Ｃ ， Ａ ， 曰三点共线
点评： 本题 的求解 思路 不唯 一 ， 但利 用 Ｏ ， Ｅ ， Ｆ三点 共线
高效 演 练 １ ： （ ２ ０ １ ３ 年 高考 江 苏 卷 ・ １ ０ ） 设 Ｄ ， Ｅ分 别 是 Ａ Ａ Ｂ Ｃ的边 Ａ Ｂ ， Ｂ Ｃ 上 的 点 ，Ａ Ｄ＝ｌ Ａ Ｂ
４ ２
中学 数 学 研 究
２ ０ １ ５ 年第７ 期（ 下）
巧用平面 向量 中三点 共线 的充要条件解题
安徽省枞 阳县会 宫中学 （ ２ ４ ６ ７ ４ ０ ）朱 贤良
北师大版必修 ４ 教材第 ８ ４ 页 中有如下例 ３ ： 如图， Ａ ， Ｂ ， Ｃ是平 面 内三个 点 ，Ａ
若 ＝ ｍ砑
的值为
，
．
＝ｎ Ａ — Ｎ， 则 ｍ＋ｎ
Ｍ
中， Ｅ和 ，分别是边 ∞ 和 Ｂ Ｃ的 中点 ， 若 ＝ Ａ 十
，
（ 参考答案 ：
故
Ａ ＾ ∞＝ ２ ｐ
Ｓｌ ｎ ｏ ／
ｓ ｉ ｎ ａ ＝ ２ ｐ — － ｊ ｌ ＋ ３ ｓ ｉ ｎ ２ ａ
，
的充要 条 件 是存 在 实 数 Ａ与 ， 使得 ＝Ａ 雨＋ 两 ， 且 Ａ＋ ／ ｚ ＝１ ．利 用这一充 要条件 ， 可 以解决诸 多与三 点共线有
关的问题 ．
１ 化“ 三点共 线 ” 为“ 向量 的系数 和为 １ ” 例１ ： （ ２ ０ ０ ６ 年高考江西卷・ 理７ 文１ Ｏ ） 已知等差数列 ｝
参考文献
＝ ≥ 和 。
√ １ ＋ ｌ ＋ ｆ ２ ＋ １ ≥ ／ ２ ＋ ２ Ｉ ｔ ｌ ｔ ２ Ｉ ＝ 和 ， 当且 仅 当 等 号当 且 仅当 署时 成 立 ・ 即Ａ Ｂ ． Ｌ 轴 时 等 号 成 立 ．
Ｉ ： Ｉ ， 即Ａ Ｂ ＿ Ｉ ＿ ｘ 轴时 等号成立．
解 法 ７ ： 直 线 ｌ ｏ ａ 参 数 方 程 为 ： ｛ ｖ ｘ ＝ ： ｔ ￡ Ｃ ｓ Ｏ ｉ ８ ０ ／
『 １ １ 梅 向明． 高 等 几何 ｆ Ｍ１ ． 北京 ： 高 等 教育 出 版社 ． ２ ０ ０ ０ ．
２ ０ １ ５ 年第 ７ 期（ 下）
中学数学研究 ｃ在 以 ０为 圆心 的圆弧 上变动 ， 若 ＝
出了判断三个点 Ａ ， Ｂ ， ｃ共线的一个 方法 ．
Ａ Ｏ ＝ ＝ 寻 Ａ ＋ ．
来进行解题 ， 则更显简洁明快 ．
Ａ
Ｂ
ＮＮ ， ￣ｏ ， Ｅ ， Ｆ三点 共线 ， ＆ ３ａ＋ ＝１ 即 Ａ＋ ＝ ．
，
对本 例的结论 作一 总结 ， 我们有一 般性 的结 论 ： 已知 点
的前 ｎ项和为 Ｓ ， 若 ＝ 。 ＋ ｏ ： 。 。 ， 且 ， 曰 ， Ｃ三点共线
Ｂ Ｅ＝ Ｂ Ｃ ，若 － ｉ ｆ ｇ＝ Ａ １ ＋ Ａ ２ Ａ 一 Ｃ Ｂ （ Ａ 。 ， Ａ 为实数 ） ， 则Ａ 。 ＋ Ａ ２ 的值 为 （ 参 考 答 案 ： ．
其中 Ａ ， ∈ Ｒ， 则Ａ ＝
—
．
—
解析： 本题涉及 向量的系数和问 题， 能否转化为三点共线处理？ 如 图 ，设 Ｅ ＦＮＡ Ｃ＝０ ，则
—
Ｄ
Ｅ
Ｃ
且 Ａ与 Ｂ不重 合 ， Ｐ是 平 面内任 意
一
点， 若点 Ｃ在 直线 Ａ Ｂ上 ， 则 存在
ｃ
实数 Ａ， 使得 ＝ Ａ Ｐ — Ａ＋ （ １ 一 Ａ ） 刀 ． 教材在旁 白处有 一说明 ： 例３ 给
Ｃ
（ 该直线不过点 ０） ， 则ｓ 。 。 等于（
（ Ａ） １ ０ ０ （ Ｂ ） １ ０ １ （ ｃ） ２ ０ ０
）
（ Ｄ） ２ ０ １
Ｄ 一 Ｅ＝２ Ａ １ Ｄ 一 Ｂ＋ Ａ ２ （ Ａ 一 Ｄ＋一 Ｄ Ｃ ） 线 ， 故
＝ （ ２ Ａ ｌ ＋ Ａ ２ ） Ｄ Ｂ＋ Ａ ２ ＤＣ， 而 Ｂ ， Ｅ ， Ｃ 三 点 共 ２ Ａ ｌ ＋ Ａ ２ ＋ Ａ ２ ＝１， 即Ａ ｌ ＋ Ａ ２ ＝ １． ）
，
４ ３ 百度文库 其 中
７ ０
圭 予 砀＋ 量 丽， 而Ｍ ， Ｏ ， Ｎ三点 共线，
１ ｍ ＋ 去 ｎ ＝ １ ， 即ｍ ＋ ｎ ＝ ２ ． ）
２ 化“ 向量 的系数 和为 １ ” 为“ 三点 共 线”
线 Ａ Ｂ、 Ａ Ｃ 于 不 同 的 两 点 、 Ⅳ，
Ａ
由 等 差 数 列 的 前
— ～
２ ０ ０ （ ａ ， ＋ ａ ２ ｏ ｏ ） ３２ ０ ０－ －— ：１ ０ ０， 故正确选项 为（ Ａ） ．
例２ ： （ ２ ０ ０ ９ 年 高 考安徽 卷 ・ 文１ ４ ） 在 平行 四边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
解 析 ：因为 Ａ ， Ｂ ， Ｃ三点共线 ， 且 ＝ ａ Ｉ ＋ ａ ２ ｏ ｏ Ｏ — Ｃ， 故 向量的系数 和为 ａ ＋ ａ ２ ０ ０ ＝１ ．
高 效演 练 ２ ： （ ２ ０ ０ ７年高 考 江西 ｎ 项 和 公 式 ， 得
卷・ 理ｌ ５ ） 如图， 在 ＆４ Ｂ Ｃ中 ， 点 ０是 Ｂ Ｃ的 中点 ， 过点 ０的直线 分别交直
ｊ ｒ ｔ ｓ ｉ ｎ ａ ） ＝ ２ ｐ ｔ ｃ ｏ ｓ ｃ ￣ ￣Ｉ Ｏ Ａ Ｉ ＝ ２ ／ ９ Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ￣ 同理 Ｉ ∞Ｉ ＝
Ｓ ｌ ｎ Ｃ０Ｓ
・
ＯＢ ＝０ ￡ ｌ ｔ ２＝－１
Ｓ ＆ ４ ０ Ｂ ＝
＝
Ｉ ＝ 圭
瓣
所 以
厢
＝
厢
５ ＝ ￣ Ｉ Ａ Ｏ Ｉ Ｂ Ｏ Ｉ ＝
１ Ｌ 【
…
＝ ２ ｐ 。 ／ ３ ＋ ＿ ≥ ４ ｐ 当 且 仅 当ｓ ｉ ｎ ＝ １ 即０ ｃ ＝ ＇ ｒ ｆ 时 取 等 号 ． ｓ ｉ ｎ 。
啦箍
．
解 法６ ： 设Ａ （ ｚ ｐ 。 ， ２ ． ｔ 。 ） ， （ ： ， ２ ｐ ｔ ： ） ， 由
Ｐ是平面上一点 ， 且点 Ｐ不在直线 Ａ Ｂ上 ， 则Ｃ ， Ａ ， 曰三点共线
点评： 本题 的求解 思路 不唯 一 ， 但利 用 Ｏ ， Ｅ ， Ｆ三点 共线
高效 演 练 １ ： （ ２ ０ １ ３ 年 高考 江 苏 卷 ・ １ ０ ） 设 Ｄ ， Ｅ分 别 是 Ａ Ａ Ｂ Ｃ的边 Ａ Ｂ ， Ｂ Ｃ 上 的 点 ，Ａ Ｄ＝ｌ Ａ Ｂ
４ ２
中学 数 学 研 究
２ ０ １ ５ 年第７ 期（ 下）
巧用平面 向量 中三点 共线 的充要条件解题
安徽省枞 阳县会 宫中学 （ ２ ４ ６ ７ ４ ０ ）朱 贤良
北师大版必修 ４ 教材第 ８ ４ 页 中有如下例 ３ ： 如图， Ａ ， Ｂ ， Ｃ是平 面 内三个 点 ，Ａ
若 ＝ ｍ砑
的值为
，
．
＝ｎ Ａ — Ｎ， 则 ｍ＋ｎ
Ｍ
中， Ｅ和 ，分别是边 ∞ 和 Ｂ Ｃ的 中点 ， 若 ＝ Ａ 十
，
（ 参考答案 ：
故
Ａ ＾ ∞＝ ２ ｐ
Ｓｌ ｎ ｏ ／
ｓ ｉ ｎ ａ ＝ ２ ｐ — － ｊ ｌ ＋ ３ ｓ ｉ ｎ ２ ａ
，
的充要 条 件 是存 在 实 数 Ａ与 ， 使得 ＝Ａ 雨＋ 两 ， 且 Ａ＋ ／ ｚ ＝１ ．利 用这一充 要条件 ， 可 以解决诸 多与三 点共线有
关的问题 ．
１ 化“ 三点共 线 ” 为“ 向量 的系数 和为 １ ” 例１ ： （ ２ ０ ０ ６ 年高考江西卷・ 理７ 文１ Ｏ ） 已知等差数列 ｝
参考文献
＝ ≥ 和 。
√ １ ＋ ｌ ＋ ｆ ２ ＋ １ ≥ ／ ２ ＋ ２ Ｉ ｔ ｌ ｔ ２ Ｉ ＝ 和 ， 当且 仅 当 等 号当 且 仅当 署时 成 立 ・ 即Ａ Ｂ ． Ｌ 轴 时 等 号 成 立 ．
Ｉ ： Ｉ ， 即Ａ Ｂ ＿ Ｉ ＿ ｘ 轴时 等号成立．
解 法 ７ ： 直 线 ｌ ｏ ａ 参 数 方 程 为 ： ｛ ｖ ｘ ＝ ： ｔ ￡ Ｃ ｓ Ｏ ｉ ８ ０ ／
『 １ １ 梅 向明． 高 等 几何 ｆ Ｍ１ ． 北京 ： 高 等 教育 出 版社 ． ２ ０ ０ ０ ．
２ ０ １ ５ 年第 ７ 期（ 下）
中学数学研究 ｃ在 以 ０为 圆心 的圆弧 上变动 ， 若 ＝
出了判断三个点 Ａ ， Ｂ ， ｃ共线的一个 方法 ．
Ａ Ｏ ＝ ＝ 寻 Ａ ＋ ．
来进行解题 ， 则更显简洁明快 ．
Ａ
Ｂ
ＮＮ ， ￣ｏ ， Ｅ ， Ｆ三点 共线 ， ＆ ３ａ＋ ＝１ 即 Ａ＋ ＝ ．
，
对本 例的结论 作一 总结 ， 我们有一 般性 的结 论 ： 已知 点
的前 ｎ项和为 Ｓ ， 若 ＝ 。 ＋ ｏ ： 。 。 ， 且 ， 曰 ， Ｃ三点共线
Ｂ Ｅ＝ Ｂ Ｃ ，若 － ｉ ｆ ｇ＝ Ａ １ ＋ Ａ ２ Ａ 一 Ｃ Ｂ （ Ａ 。 ， Ａ 为实数 ） ， 则Ａ 。 ＋ Ａ ２ 的值 为 （ 参 考 答 案 ： ．
其中 Ａ ， ∈ Ｒ， 则Ａ ＝
—
．
—
解析： 本题涉及 向量的系数和问 题， 能否转化为三点共线处理？ 如 图 ，设 Ｅ ＦＮＡ Ｃ＝０ ，则
—
Ｄ
Ｅ
Ｃ
且 Ａ与 Ｂ不重 合 ， Ｐ是 平 面内任 意
一
点， 若点 Ｃ在 直线 Ａ Ｂ上 ， 则 存在
ｃ
实数 Ａ， 使得 ＝ Ａ Ｐ — Ａ＋ （ １ 一 Ａ ） 刀 ． 教材在旁 白处有 一说明 ： 例３ 给
Ｃ
（ 该直线不过点 ０） ， 则ｓ 。 。 等于（
（ Ａ） １ ０ ０ （ Ｂ ） １ ０ １ （ ｃ） ２ ０ ０
）
（ Ｄ） ２ ０ １
Ｄ 一 Ｅ＝２ Ａ １ Ｄ 一 Ｂ＋ Ａ ２ （ Ａ 一 Ｄ＋一 Ｄ Ｃ ） 线 ， 故
＝ （ ２ Ａ ｌ ＋ Ａ ２ ） Ｄ Ｂ＋ Ａ ２ ＤＣ， 而 Ｂ ， Ｅ ， Ｃ 三 点 共 ２ Ａ ｌ ＋ Ａ ２ ＋ Ａ ２ ＝１， 即Ａ ｌ ＋ Ａ ２ ＝ １． ）
，
４ ３ 百度文库 其 中
７ ０
圭 予 砀＋ 量 丽， 而Ｍ ， Ｏ ， Ｎ三点 共线，
１ ｍ ＋ 去 ｎ ＝ １ ， 即ｍ ＋ ｎ ＝ ２ ． ）
２ 化“ 向量 的系数 和为 １ ” 为“ 三点 共 线”
线 Ａ Ｂ、 Ａ Ｃ 于 不 同 的 两 点 、 Ⅳ，
Ａ
由 等 差 数 列 的 前
— ～
２ ０ ０ （ ａ ， ＋ ａ ２ ｏ ｏ ） ３２ ０ ０－ －— ：１ ０ ０， 故正确选项 为（ Ａ） ．
例２ ： （ ２ ０ ０ ９ 年 高 考安徽 卷 ・ 文１ ４ ） 在 平行 四边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
解 析 ：因为 Ａ ， Ｂ ， Ｃ三点共线 ， 且 ＝ ａ Ｉ ＋ ａ ２ ｏ ｏ Ｏ — Ｃ， 故 向量的系数 和为 ａ ＋ ａ ２ ０ ０ ＝１ ．
高 效演 练 ２ ： （ ２ ０ ０ ７年高 考 江西 ｎ 项 和 公 式 ， 得
卷・ 理ｌ ５ ） 如图， 在 ＆４ Ｂ Ｃ中 ， 点 ０是 Ｂ Ｃ的 中点 ， 过点 ０的直线 分别交直