材料力学中的超静定问题{含答案}
结构力学--超静定问题典型习题解析
3
代入变形协调方程 wB = wC + ∆BC ，得
3 F a3 F a q(2a )4 FN (2a ) − = N + N 8EI 3EI 3EI EA
解得 FN =
2 qa 2 qa 3 A = 2 1 3a A + I 3+ 2 Aa
4
图示梁的右端为弹性转动约束，设弹簧常量为 k。AB 段可视为刚性，并与梁刚性连接。
()
3 结构如图示，设梁 AB 和 CD 的弯曲刚度 EI 相同。拉杆 BC 的拉压刚度 EA 已知，求拉杆 BC 的轴力。
C
a q A 2a B FN FN B FN C a FN a D a D
解题分析：将杆 CB 移除，则 AB、CD 均为静 定结构。杆 CB 的未知轴力 FN 作用在 AB，CD 梁上。为一度静不定问题。 解： 1、写出变形协调方程
2⎡
2
=
FR 3 EI
⎛ 3π 2 − 8 π − 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8π ⎝ ⎠
6 结构如图 a 所示， AC = AD = BC = BD = a ，已知各杆弯曲刚度 EI 相同。A、B 点为刚 性连接，C、D 点为铰连接。将 C、D 点用一弹簧相连，弹簧常数为 2k。但由于弹簧短了 ∆ ， 强行相连后，在 A、B 点加力 F。试问：当 F 为多大时，弹簧回复到其原长？
C
D
A
B
A
B
(c-1) 题 1 图(c)
1
(c-2)
大家论坛
(d) 解：图示结构为一封闭的圆圈，在任意截面截开后，有三个未知内力分量，故为三 度静不定。沿对称轴将圆环截开，由于对称性，轴力等于
F ，剪力等于零，只剩 2
材料力学第13超静定结构_OK
示，求圆环内弯矩M。
解封闭圆环为3次超静定。在A处截开，则有3个多余未知力，弯矩 X1，轴力
X2，剪力 X3（图13.18（b））。直径AB为一对称轴，对称截面A
26
的平衡可得 X2=P/2。故只有弯矩X1未知（见图13.18（c））。 选半圆环为静定基，作用于半圆环的力如图13.18(c)所示，则协调条件应是A 或B截面在 P及弯矩X1作用下转角 θ 应为零（由对称性可知），所以有 静定基上施加外力P（见图13.18(d)）及单位力偶（见图13.18（e）），用莫尔 法求δ11与Δ1P。 外力引起弯矩
（c）），而 是弯矩图面积ωn对ln左侧的静矩，如以an表示跨度ln内弯矩
图面积的形心到左端的距离，则 。同理bn+1表示外载荷单独作用下，跨
度ln+1内弯矩图面积ωn+1的形心到右端的距离，则
。于是有
31
（2）δn(n－1)，δnn，δn(n+1)的计算 当n支座铰链处作用有Mn=1时，其弯矩图如图 13.20（e）所示，用莫尔积分有
21
图13.13 对称结构的对称变形与反对称变形图13.14对称结构的对称变形现以如图13.14 （a）所示的对称变形为例证明载荷对称的性质。此结构为3次外力超静定结 构，切开结构对称截面，其上应有3个多余未知力，即轴力X1，弯矩X2与剪 力X3，如图13.14（b）所示。变形协调条件是，上述切开截面两侧水
3
图13.2
4
一次内力超静定结构。如图13.2（e）所示为静定刚架加EF杆后形成一封闭刚 架结构，这样就有6个内力（见图13.2（f）），其中有3个内力不能由静力学 平衡方程解出，因而为3次内力超静定结构。 对于内力超静定结构，超静定形式及超静定次数有以下常见形式：一个平面 封闭框架为3次内力超静定；平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数 减去两倍的节点数。例如，如图13.4中所示桁架结构为内力二次超静定。
关于超静定问题
题八图
五、刚架受力及尺寸如图所示，各段EI均为常数。试用力法正则方程求A、B处支座反力并画刚架的弯矩图。（20分）（2009北科大）
六、（20分）如下图所示刚架，AB、BC杆在同一平面内，且均为直径为d的实心圆截面杆，材料为Q235钢，已知G＝0.4E。试求C点的支反力。（2007西南交大）
题六图
三、平面直角曲拐ABC和CD杆均为圆截面，材料相同，已知： ， 。试求CD杆的内力。（20分）（2009吉大）
Hale Waihona Puke 题三图8、（20分）平面刚架的约束及尺寸如图所示，AB、BC、CD各杆的弯曲刚度EI相等，长度均为a。在D处有一水平载荷F的作用。求D点的水平位移 。（2009燕山大学）
题4图
1、图示结构，杆1与杆2的抗拉刚度均为EA，梁AB为刚性杆。在载荷F的作用下，求两杆的轴力。（20分）（湖南大学2008）
二、（15分）钢杆CD、EF的长度及横截面面积分别相同。结构未受力时，钢性杆AB处于水平位置。已知，钢杆横截面面积为A且P、A、E、l、a为已知。求B点的铅垂位移。（2005西南交大）
1、一不变形的刚性梁AB搁于三个相同的弹簧上，在梁上的D处作用一个力F，如图所示。设已知弹簧刚度k（ ）。试求三个弹簧各受力多少？（20分）（湖南大学2009）
三、（20分）结构受力如图所示，ABC梁和CD杆的材料相同，且EI＝EAL2，材料的线膨胀系数为α，均布载荷集度为q，若CD杆温度升高ΔT度时，试求CD杆的内力。（2008吉大）
图18
2、ABC为刚性杆，杆①、②长为a，且EI相同，线膨胀系数为 。现①杆升温Δt，求两杆内力。（15分）（2008北工大）
超静定结构习题答案
超静定结构习题答案一、力法计算超静定结构1. 图示结构的超静定次数n = 。
答案：图示结构的超静定次数n = 8 。
2．用力法计算图示超静定刚架（利用对称性），绘出M 图。
答案：kN13.296]341621[145]4333323321[1011111111=-=⨯⨯⨯-=∆=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==∆+X EIEI EI EI X P P δδ 3. 图(b )为 图(a ) 结构的力法基本体系，试求典型方程中的系 数 δ11和 自 由 项 ∆1P 。
X lq(b)q答案：q⎪⎭ ⎝-===ϕδl l EIl l X C 4341111作M 图 1X M M =二、位移法1.求图示结构位移法典型方程的系数 r11 和 自 由 项 R P1 ，（ 括号内 数表示相对 线刚度）。
m答案r11 = 17RP1 = 322.图示结构位移法典型方程的系数r22 和自由项 R P1 分 别 是 ⎽⎽⎽⎽ ，⎽⎽⎽⎽⎽ 。
（ 括 号 内 数 表 示 相 对 线 刚 度 ）22答案r22= 4.5RP1= -83. 计算图示结构位移法典型方程中的系 数 r r1122, 。
答案 :r EI 110375=.r EI 2235=.4.计算图示结构的位移法典型方程的全部自由项。
答案 ：R P 10=R P 280=-k N三、力矩分配法1.用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图（分配两轮）。
答案：2.用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图（分配两轮）。
答案：。
材料力学超静定全版
F3 b 3 EA
4. 变形几何协调条件
F1 A
F2
③
2 2 1
3 31
B
C
D F
位移法 1. 假设θ已知 2. 变形几何协调条件
θ
A
①
②
③ D F
1 l
2 2l
3 3l
3. 三杆轴力 EA EA F1 1 l b b
EA EA F2 2 2l b b EA EA F3 3 3l b b
3
A 0
ql 2 MA 8
§2 拉压超静定问题 例1. EA已知，求B处约束力。
A a C B F b
(1)
(2)求B处位移
AC
F FB a
EA EA
BC
FB b EA
A C B FB
B
F FB a FB b
EA
F
(3)变形协调
B 0
B
C
q
A B
C
C FCD
A
B
C
q
FCD C A B FCDl A B C
FCD
A
B
C
ql2/2
A B C q B C A FCDl
ql2/2 A
B
C
q A B C q B C A FCDl B
ql2/2 -FCDl
A
B
C
ql2/2 A
FCD C
q2l 3 ql 2 / 2 FCD l 2l ql 4 FCD l 3 C l 24 EI 3 EI 8 EI 3 EI
C
B1 B 2
材料力学
5 Pa RD a RD a 6 EI 3EI 3EI
如何得到？
A D
P
B
自行完成
C D
RD
例题 6
图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为EA，
已知P、L、a。求CD杆所受的拉力。
D
a
A
C
L
2
L
B
2
P
解：变形协调条件为 wC lCD
D
a
C
FC
A
( P FC ) L wC 48EI FC L lCD EA
温度应力：
FB E t A
6 1 12 . 5 10 碳素钢线胀系数为 C0
温度应力：超静定结构中，由于温度变化，使构
件膨胀或收缩而产生的附加应力。
不容忽视！！！
路、桥、建筑物中的伸缩缝 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节
例题 11
图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离=1mm， 材料的弹性模量E=210GPa，上下两段杆的横截 面面积分别为600平方毫米和300平方毫米。试 作杆的轴力图。
C
A
FA
B
L2
FC
FA FB FC qL 0
L2
M
A
0
FB
变形协调方程
L qL2 FC FB L 0 2 2
3 FB qL 16
FA 3 qL 16
C q C FC 0
7.5kNm
5qL4 FC L3 5 0 FC qL 8 384 EI Z 48EI Z
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在 工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
●超静定问题的解法：
材料力学超静定问题汇总
超静定问题的解法1. 画受力图,列平衡方程,判断静不定次数;2.根据结构的约束条件画变形图,找变形协调关系,列几何方程;3.由力与变形(或温度与变形)的物理关系, 列物理方程;4.联立几何方程与物理方程建立补充方程;5.补充方程与平衡方程联立解全部未知力.例2 求图示两端固定等直杆的约束反力AB 0A B P R R --=解：几何方程:(),B B P R R a b P al l E AE A+∆=∆=物理方程:代入平衡方程解得:A Pa R a b=+平衡方程:解除约束,以已知方向约束反力代替BP R l l ∆=∆为得到变形协调方程,解除多余约束，分别考虑外力和多余约束反力产生的位移叠加设B 为多余约束，此处的实际位移必须为0PRR B解得:B Pb R a b=+例8．例9．温度应力和装配应力练习题N EA l23=-δN EA l16=δ超静定问题求解原理：(1) 解除超静定结构的多余约束，以约束反力代替，使超静定结构变成静定结构。
多余约束反力的数目即为超静定次数，也是要寻找的补充方程数目；(2) 研究在外力和多余约束反力作用下的力的平衡条件。
(3) 研究在外力和多余约束反力作用下的结构的几何变形关系，列变形协调方程；(4) 由变形几何关系与物理方程联立得到 n 个补充方程，与平衡方程联立求解可得所有约束反力。
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材料力学第5版(孙训方编)第六章
（压应力）
30
第六章 简单的超静定问题
§6-3 扭转超静定问题
例题6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受 扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试 求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。
(a)
31
第六章 简单的超静定问题
MA (a)
FN l EAt
6. 杆的横截面上的温度应力为 FN l Et A
29
第六章 简单的超静定问题
FN l Et A
若该杆为钢杆而l =1.2×10-5/(˚C)，E=210GPa，则当
温度升高t =40˚时有
l Et 1.2 105 / C 210109 GPa40 C
4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：
FN1 FN 2
eEA 1 ， l 1 2 EA E3 A3
FN 3
eE3 A3 1 EA l 1 3 3 2 EA
所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉
力和杆3的装配内力为压力是正确的。 5. 各杆横截面上的装配应力如下：
FN1 1 2 74.53 MP a A FN3 3 19.51 MP a A3
（拉应力） （压应力）
25
第六章 简单的超静定问题
(2) 温度应力 也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温 度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。 铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，
的弹性模量E=210 GPa，铜的弹
性模量E3=100 GPa。
22
第六章 简单的超静定问题
材料力学简单的超静定问题
§6-4 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
1Δ2l3cos
②
(3)代入物理关系，建立补充方程
1
N1 1 E1 A1
N1
E1 A1 cos
③
3
N3 E3 A3
13
2
A
2
1
3
A
§6-2 拉压超静定问题
(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结， 画A节点位移图,列出变形相容条件。要 1 注意所设的变形性质必须与受力分析所 中设定的力的性质一致。由对称性知
C
(b)
F
B
F C
B
C
(c)
FBy
(c)
FBy FF
BB B
(d) (d) B
F CC C
C
(d) FBy
F(2a)2
1F 43a
(w B)F
(9a2a)
6EI
3EI
(wB)FBy
8FBya3 3EI
所以
14Fa3 8FBya3 0 3EI 3EI
FBy
7 4
F
4）由整体平衡条件求其他约束反力
M AF 2(a), F Ay 4 3F ( )
FCFFB 408.75
4.875kN
M C0 , M C2 F 4 F B 0
MC 4FB 2F
48.75240115kN.m
材料力学土木类第六章简单的超静定问题
B
D
C 解：一次超静定问题
1 32
(1)力：由节点A的平衡条件列 出平衡方程
y
F
N1
F
N3
F
N2
A
F
A F
Fx 0, FN1sinFN2 sin 0
F y 0 ,F N 3 F N 1 co F N 3 s co F s 0
x
l 3
B
D
1 32
A A'
C (2)变形：变由变形协调条件建立补充方程来求
解。
例 梁AC在B、C处分别为固定铰支座和可动铰支座，
梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接。在梁受荷载作
用以前，杆 AD 内没有内力。已知梁和拉杆用同样的
钢材制成，材料的弹性模量为E，梁横截面的惯性矩
为I，拉杆横截面的面积为A，其余尺寸见图。试求钢
例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模
量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁， 试求在荷载F 作用下各杆的轴力
l
解: (1)受力分析--平衡方程
1
2
3
a
a
a
D2 C
A BF
FN1 A
FN2
FN3
B
C
D F
Y 0 , F N 1 F N 2 F N 3 F 0 M D 0 , 1 . 5 F N 1 0 . 5 F N 2 0 . 5 F N 3 0
土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利 用装配应力来提高构件承载能力的例子。
(2) 温度应力
静定问题：由于杆能自由变形，由温度所引起的变 形不会在杆中产生内力。
超静定问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所 引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这 种内力称为温度内力。
材料力学：第四章超静定问题
1
2
F1l EA
l EA
F F3
2 cos
3
F3 l cos
EA
l EA
F3
cos
(3)变形协调
3 cos 1
F3
1
F 2 cos3
α
1 3
③ ①α α ②
A F
① F3 ② A F
3 cos 1
α
1 3
① F3 ②
A F
扭转超静定
例一、已知GIP，求MA、MB
1. 解除B处约束，代之以 约束力偶MB
A l
A
B
FA A
LF
B
B'FB
平衡方程：FA=FB LT 变形关系：ΔLT=|ΔLF|
B' 补充方程：α L ΔT = FBL/(EA)
FB EA T ET
2.什么是装配应力？
图示杆系,若3杆尺寸有微小误差B, 则在杆系装配好后,各杆将处于图 1
D
C
3
2
中位置,因而产生轴力.3杆的轴力
为拉力,1.2杆的轴力为压力.这种
超静定问题
拉压超静定问题
例1. EA已知，求B处约束力。
(1)
(2)求B处位移
AC
F
FB a
EA
BC
FBb EA
B
F
FB a
EA
FBb EA
(3)变形协调
B 0
FB
Hale Waihona Puke aa bF
A a
C Fb B
A
CF B
FB
三杆EA相同，①、②杆长l，求三杆 轴力。
(1) (2)求三杆伸长量
F1 F2
材料力学作业参考解答
2-3答：以B点为研究对象，由平面汇交力系的平衡条件
2-2求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm2；
解：（1）分析整体，作示力图
：
（2）取部分分析，示力图见（b）
：
（3）分析铰E，示力图见（c）
：
2-3求下列各杆内的最大正应力。
（3）图(c)为变截面拉杆，上段AB的横截面积为40mm2，下段BC的横截面积为30mm2，杆材料的ρg=78kN/m3。
解：（1）求①、②杆轴力
由平衡方程可以求出:
（2）求杆的变形
（压缩）
（拉伸）
（压缩）
（3）由几何关系： （下降）
2-9答：任一截面上轴力为F，由
得面积为
伸长量为
2-11图示一挡水墙示意图，其中AB杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若AB杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa，试求AB杆所需的直径。
：
（2）由强度条件求
2-14图示AB为刚性杆，长为3a。A端铰接于墙壁上，在C、B两处分别用同材料、同面积的①、②两杆拉住，使AB杆保持水平。在D点作用荷载F后，求两杆内产生的应力。设弹性模量为E，横截面面积为A。
解：
1．本题为超静定问题，
见图(a),设AB杆产生角位移 ，则
，
2．由Hooke定律：
由平衡条件可知：
所以B,C截面相对位移为
3-1试作下列各杆的扭矩图。
3-2一直径d=60mm的圆杆，其两端受外力偶矩T=2kN·m的作用而发生扭转。试求横截面上1，2，3点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。(G=80GPa)。
解：横截面上切应力大小沿半径线性分布，方向垂直半径
材料力学中的超静定问题{含答案}
超静定练习题3-1 等截面钢杆AB，在其C截面处加力，F = 100kN，截面面积A = 20cm2，求A、B两端约束反力及杆内应力。
参考答案：R A=33.3kN，R A=66.6kN3-2 已知1、2、3三杆的截面积A及长度l均相等，F= 120kN，试求三杆内力。
参考答案：N1 = 48kN，N2 = N3 = 41.5kN3-3 图示一刚性梁AB，其左端铰支于A点，杆1、2的横截面面积A、长度l和材料（为钢）均相同。
如钢的许用应力[] = 100MPa，在梁的右端受F = 50kN，梁自重不计。
（1）求1、2两杆的内力。
（2）求两杆所需的截面面积。
（3）问能否同时使二杆中的应力都等于许用应力[]？（4）当钢杆布满于AB梁上，如何求各杆内力（思考）？参考答案：N1 = 30kN，N2 = 60kN3-4 如图示横梁AB 变形略去不计。
杆1、2的材料、截面积、长度均相同，其[] = 100MPa ，A = 2cm 2。
试求许可载荷F 值。
参考答案：[F ] = 50kN题3-4图题3-5图3-5 已知杆1、2的E 、A 相同，横梁AB 的变形不计，试求各杆内力。
参考答案： ==21N N 0.830F3-6 图示结构由钢杆组成，各杆之截面面积相等，[] = 160MPa ，问当F = 100kN 时各杆截面面积为多少？参考答案：A ＝4.68cm 2(a)3-7 钢制薄壁筒1套在铜制薄壁筒2上。
[1]= 146MPa ，[2] = 26.7MPa ，E 1 =200GPa ，E 2 = 100GPa 。
试求作用于铜套筒内壁的许可内压力p 为多少？ 参考答案：p=0.875MPa3-8 两刚性铸件，用钢螺栓1、2联结如图示。
现欲移开两铸件，以便将长度为20.02cm 、截面积A = 6cm 2的铜杆3自由地安装在图示位置。
若已知E 1 = E 2 =200GPa ，E 3 = 100GPa ，求（1）所需的拉力F 。
材料力学第五版课件 主编 刘鸿文 第六章 简单的超静定问题
例题： 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定， 则为几次超静定？
B
DE
A
C
FP
(a)静定。 未知内力数：3 平衡方程数：3
B
D
A
C
F
P
(b)超静定。 未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2
(c)静不定。
未知内力数：3
平衡方程数：2
FP
静不定次数=1
静不定问题的解法： （1）建立静力平衡方程； （2）由变形协调条件建立变形协调方程； （3）应用物理关系，代入变形协调方程，得到补充方程；
基本静定基的选取：
(1)解除B支座的约束,以约束反力
代替，即选择一端固定一端自由
的悬臂梁作为基本静定基。
(2)解除A端阻止转动的约束，以 约束反力代替，即选择两端简支 的梁作为基本静定基。
基本静定基选取可遵循的原则：
(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统； (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条
E3 A3
F FN3 = 1+ 2E1 A1 cos3 a
E3 A3
(拉力) (拉力)
温度应力和装配应力
一、温度应力
在超静定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束的限制， 因此在杆内将产生内力和应力，称为温度应力和热应力。
杆件的变形 ——
由温度变化引起的变形 温度内力引起的弹性变形
例：阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固 定,上下两段的面积为
=-
[13EI
32(1+
24
I Al
2
)
]
M
M
A
C
B D
l
材料力学--简单的超静定问题
Mx 0， M A Me MB 0
2. 变形几何方程为：
AB 0
24
MA
MB
(a)
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
AB
M Bb GI p
(M B Me )a GI p
0
MB
Mea l
另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
MA
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB
F RB a
2EA
RB 2a
EA
0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB
F 5
,
RA
4F 5
14
B
D
C (2) 几何方程
1
3
aa
2
AA1 0
A
A0
l1 ( l3 ) cosa
(3) 物理方程及补充方程：
FN1l1 ( FN3l3 ) cosa
E1 A1
E3 A3
l3 A1
(4) 解平衡方程和补充方程，得:
FN1
FN2
l3
1
E1A1 cos2 a 2 cos3 a E1A1 /
(a)
26
Tb Ta
(b)
解: 1. 设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别
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超静定练习题
3-1 等截面钢杆AB ，在其C 截面处加力，F = 100kN ，截面面积A = 20cm 2，求A 、B 两端约束反力及杆内应力。
参考答案：R A =33.3kN ， R A =66.6kN
3-2 已知1、2、3三杆的截面积A 及长度l 均相等，F = 120kN ，试求三杆内力。
参考答案：N 1 = 48kN ，N 2 = N 3 = 41.5kN
3-3 图示一刚性梁AB ，其左端铰支于A 点，杆1、2的横截面面积A 、长度l 和材料（为钢）均相同。
如钢的许用应力[σ] = 100MPa ，在梁的右端受F = 50kN ，梁自重不计。
（1）求1、2两杆的内力。
（2）求两杆所需的截面面积。
（3）问能否同时使二杆中的应力都等于许用应力[σ]？（4）当钢杆布满于AB 梁上，如何求各杆内力（思考）？参考答案：N 1 = 30kN ， N 2 = 60kN
3-4 如图示横梁AB 变形略去不计。
杆1、2的材料、截面积、长度均相同，其[σ] = 100MPa ，A = 2cm 2。
试求许可载荷F 值。
参考答案： [F ] = 50kN
题3-4图 题3-5图
3-5 已知杆1、2的E 、A 相同，横梁AB 的变形不计，试求各杆内力。
参考答案： ==21N N 0.830F
3-6 图示结构由钢杆组成，各杆之截面面
积相等，[σ] = 160MPa ，问当F = 100kN 时各杆
截面面积为多少？
参考答案：A ＝4.68cm 2
(a)
3-7 钢制薄壁筒1套在铜制薄壁筒2上。
[σ1] = 146MPa ，[σ2] = 26.7MPa ，E 1 = 200GPa ，
E 2 = 100GPa 。
试求作用于铜套筒内壁的许可
内压力p 为多少？
参考答案：p=0.875MPa
3-8 两刚性铸件，用钢螺栓1、2联结如
图示。
现欲移开两铸件，以便将长度为
20.02cm 、截面积A = 6cm 2的铜杆3自由地安
装在图示位置。
若已知E 1 = E 2 =200GPa ，E 3 =
100GPa ，求（1）所需的拉力F 。
（2）当F 去
掉后，各杆的应力及长度。
题3-8图
参考答案：L=20.013cm （压）（拉）MPa 3.34MPa 2.13131==σσ
3-9 钢杆1、2、3的面积A = 2cm 2，长度l = 1m ，
弹性模量E = 200GPa ，若在制造时杆3短δ = 0.08cm ，
试计算安装后杆1、2、3中的内力。
参考答案：==31N N 5.33kN ，N 2 = 10.67kN
3-10 一阶梯形杆，其上端固定，下端与墙面留
有空隙∆ = 0.08mm ，上段是铜的，A 1 = 40cm 2，E 1 =
100GPa 。
下段是钢的，A 2 = 20cm 2，E 2 = 200GPa 。
在
两段交界处有向下的轴向载荷F ，问（1）F 力等于多
少时，下端空隙恰好消失。
（2）F = 500kN 时，各段
内的应力值。
参考答案：kN 156 kN 344==B A N N
3-11 阶梯形钢杆，于温度T
0 = 15℃
时，两端固定在绝对刚硬的墙壁上。
当温
度升高40℃时，求杆内的最大应力，已知
E = 200GPa ，α = 125×10-7 1/℃，A 1 =
2cm 2，A 2 = 1cm 2。
参考答案：150MPa max =σ
3-12 梁AB 悬于钢杆1、2上，并受载荷F =
20kN 作用，杆1与杆2的截面积各为A 1 = 2cm 2，
A 2 = 1cm 2。
若A
B 梁的重量及变形均略去不计，求
当温度升高100℃时，两钢杆内的应力。
已知a =
50cm ，E = 200GPa ，α = 125×10-7 1/℃。
参考答案：14.7kN 1=N N 2 = 23.5kN
3-13 铜环加热到60℃恰可套在T 0 = 20℃
的钢轴上。
钢轴受铜环的压力引起的变形可略去
不计。
问（1）铜环冷却到20℃时环内应力为若干？（2）环和轴一起冷却到0℃时环内应力为若干？（3）环和轴一起加热到什么温度时，环内没有应力？已知钢的E 1 = 200GPa ，α1= 125×10-7 1/℃。
铜的E 2 = 100GPa ，α2 = 160×10-7 1/℃。
参考答案：（1）（拉伸）64MPa 2==σ（2）71MPa 2=σ（拉伸）
（3）T = 203℃
3-14 图示为一个套有铜套的
钢螺栓。
已知螺栓的截面积A 1 =
6cm 2，弹性模量E 1 = 200GPa 。
铜套
的截面积A 2 = 12cm 2，弹性模量E 2 =
100GPa 。
螺栓的螺距S = 3mm ，长度
l = 75cm 。
试就下述三种情况求螺栓
及铜套的轴力N 1和N 2。
（1）螺母拧紧41转；（2）螺母拧紧4
1转后再加拉力F = 80kN ；（3）仍为一钢螺栓外套
一铜套，温度未变化前二者刚刚接触不受力，当温度上升∆T = 50℃时。
已知钢和铜的线胀系数分别为α1=125×10-7 1/℃，α2=160×10-7 1/℃。
参考答案：（1）N 1 = N 2 = 60kN
（2）N "1 = 100kN （拉） N "2 = 20kN （压）
（3）N 1 = N 2 =10.5kN。