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竞赛中的数学归纳法

（一）数学归纳法的基本形式 （ 1）第一数学归纳法

设 P(n) 是一个与正整数有关的命题，如果 :

①当 n n 0 （ n 0 N ）时， P(n) 成立；

②假设 n

k( k n 0 , k N ) 成立，由此推得 n k 1时， P( n) 也成立，那么，根据①②对一切正整

数 n n 0 时， P(n) 成立．

例 1 （ 07 江西理 22）设正整数数列

a n

满足： a 2 4 ，且对于任何 n N * ，有

1

1

2 1

a n a

n 1

2

1 ．

a n 1

1 1

a n

n

n

1

（ 1）求 a 1 ， a 3 ；

（2）求数列

a n 的通项 a n ．

解：（ 1）据条件得 2

1 n(n 1)

1 1

2 1

①

当 n

1 时，

a

n 1

a n

a

n 1

a n

由 2

1 2 1 1

2

1

，即有 2

1 2 2 2 1 ，解得 2

a

8

．因为 a 1 为正整数，故

a 2 a 1 a 2

a 1

4 a 1

4 a 1 3

1 7

a 1 1．当 n

2 时，由 2

1 6

1

1

2

1

，解得 8 a 3 10 ，所以 a 3

9 ．

a 3

4

a 3

4

（ 2）由 a 1

1 ， a

2 4 ， a

3 9 ，猜想： a n

n 2 ．下面用数学归纳法证明

:

1 o 当 n 1 ，

2 时，由（ 1）知 a n n 2 均成立；

2 o 假设 n

k( k ≥ 2) 成立， a k

k 2 ，则 n k 1 时由①得 2

1

k(k 1) 1

1

2 1 ,

a

1

k

2

a

k 2

k

k 1

k 2 (k 1)

k (k 2

k 1)

2

(k 1)2

2

1 , 因为

k ≥ 2 时，

k 2 k 1

a k 1

k 1

( k 1)

k 2

1

a k 1

(k 1)

k 1

(k 2

1) (k

2

k(k

1)(k 2) ≥

(k 1)2 ， ． k 1≥1 ，所以

1 ， ．

1)

0 ，所以 k 2 1 0 1

k 1

0 1

又 a k 1 N * ，所以 ( k 1)2 ≤ a k 1 ≤ ( k 1)2 , 故 a k

1

(k 1)2 ，即 n k 1 时， a n n 2 成立．

由 1 o ， 2 o 知，对任意 n N * ， a n n 2 ．

此题在证明时应注意，归纳奠基需验证的初始值又两个，即

n 1 和 n 2 。

（ 2）第二数学归纳法

设 P(n) 是一个与正整数有关的命题，如果

① 当 n n 0 （ n 0

N ）时， P(n) 成立；

② 假设 n k (k n 0 , k

N ) 成立，由此推得

n k 1时， P(n) 也成立，那么，根据①②对一切正

整数 n

n 0 时， P(n) 成立．

n

a 3j n

a j ) 2 ，求证： a n

例 2

已知对任意的 n N ,n 1,a n

0 且

(

n .

j 1

j 1

证：（ 1）当 n 1 时，因为 a 13 a 12 且 a 1 0 ，所以， a 1 1，命题成立；

（ 2）假设 n

k 时命题成立，即 a j

j ( j

1,2,L , k) , 当 n k 1 时，因为

k 1

k

k

k 1

k 1

k

k

k

a 3j

a 3j a k 3

1

(

a j ) 2

a k 3 1

，

a 3j ( a j ) 2 (

a j

a k 1 )2

(

a j ) 2 2a k 1

a j

a k 2 1

j 1

j 1

j 1

j 1

j 1

j 1

j 1

j 1

所以 a k 3

k

a k 2

，于是 a k 2

k

j ( j 1,2,L , k ) ， 1

2a k

1 a j

1 ，且 a k 10

1

2

a j

a k 1 ，因为 a j

j

1

j 1

k

k(k

1)

, 从而 a k

2

∴

a j

1

a k 1

k(k

1) 0 ，解得 a k

1

k 1， a k

k （舍），即 n k 1 时

j 1

2

命题成立 .

由（ 1）、（ 2）知，对一切自然数 n(n 1) 都有 a n n 成立 . 证毕 .

这两种数学归纳法，是运用次数较多的方法，大家也比较熟悉，在这里就不赘述了。下面介绍一下数

学归纳法的其它形式。