广西大学一阶倒立摆含观测器实验
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姓名：黄宇指导老师：胡立坤成绩：
学院：电气工程学院专业：自动化班级：自133
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实验内容：一阶倒立摆含观测器的状态反馈控制系统综合与设计
其他组员：黄育尚
【实验时间】 2016年1月18日星期五
【实验目的】
1.理解并掌握线性状态反馈控制的原理和方法；
2.理解并掌握线性观测器的设计方法；
3.练习控制性能的比较与评估的方法。
【实验设备与软件】
倒立摆实验平台
MATLAB/Simulink
【实验原理】
1.被控对象模型极其线性化。
图一直线一阶倒立摆系统图
参数大小
摆杆质量m 0.109kg
小车质量M 1.096kg 摆杆转动轴心到摆杆质心的长度l 0.25m
摆杆绕其重心的转动惯量J 0.0034kg.m2
摆杆与小车间的摩擦系数b1 0.001N.m.s.rad−1
小车水平运动的摩擦系数b2 0.1N.m.s.m−1
摆杆与垂直向上的夹角φθ—π
2.分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
-
=
N
M-
x b
F
x
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
)sin (22
θl x dt
d m N +=
即：
θθθθsin cos 2 ml ml x
m N -+= 把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程：
F ml ml x b x
m M =-+++θθθθsin cos )(2 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下
面方程：
)cos (22
θl dt
d m mg P =-
θθθθ
cos sin 2 ml ml mg P --=- 力矩平衡方程如下：
θ
θθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：
θθθcos sin )(2x
ml mgl ml I -=++ 设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1<<φ，则可以进行近似处理：0)(,sin ,1cos 2
=-=-=dt
d θφθθ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：
2(+)()I ml mgl mlx M m x bx ml u ϕϕϕ⎧-=⎨
++-=⎩
对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到
⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ+)
()()()()()()()()(2
222
2s U s s m l s s bX s s X m M s s m lX s m gl
s s m l I 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：
)(])([)(22s s
g
ml ml I s X Φ-+=
或mgl
s ml I mls s X s -+=
Φ222)()()( 如果令x v
=，则有： mgl
s ml I ml
s V s -+=Φ22)()()( 把上式代入方程组的第二个方程，得到：
)()()()()()(2222s U s s ml s s s g ml ml I b s g ml
ml I m M =Φ-Φ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++
整理后得到传递函数：
s
q
bm gl s q m gl m M s q m l I b s s
q
m l s U s -+-++=Φ232
42
)()()
()( 其中[
]
2
2)())((ml ml I m M q -++= 设系统状态空间方程为：
Du
CX y Bu AX X
+=+=
方程组对φ ,x
解代数方程，得到解如下： ⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧+++++++++-==++++++++++-==u Mm l m M I m l Mm l m M I m M m gl x Mm l m M I m lb u Mm l m M I m l I Mm l m M I gl m x Mm l m M I b m l I x x x 2222
222222)()()()()()()()()(φφφφφ
整理后得到系统状态空间方程：
u Mm l m M I m l Mm l m M I m l
I x x Mm l m M I m M m gl Mm l m M I m lb
Mm l m M I gl m Mm l m M I b m l I x x ⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2
222
22
2
2
2
2)(0)(00)()()(0
10
000)()()(0001
0φφφφ