运筹学 总结

原问题 其对偶问题为

例1

原问题 对偶问题

min S = x1 + 2x2 + 3x3 max z = 2 y1 + 3y2 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 ≥ 2 s.t. 2y1+3y2 ≤ 1 3x1+ x2 + 7x3 ≤ 3 3y1+ y2 ≤ 2 x1，x2 ， x3 ≥ 0 5y1+7y2 ≤ 3 y1≥ 0， y2 ≤0

min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 max z = y1-2y2 +3y3 +4y4

s.t. x1+ x2 - x3 ≥ 5 s.t. y1+ 2y3 + y4 ≤ 3 2x1 + x3 =4 2y1 +2y2 - 2y4 ≤ -2 x1，x2 ， x3 ≥ 0 -y2+ y3 +3y4 = 1

y2 ≤ 0 ，y3, y4 ≥ 0 ，y1 无非负约束

⎩⎨

⎧≥≤=0

..X b AX t s CX MaxZ ⎩⎨

⎧≥≥=0..Y C YA t s bY

MinW ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤≤≤++=0

,12416482..3221212121x x x x x x t s x x MaxZ ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥+++=0,,34224..121683

213121321y y y y y y y t s y y y

MinW ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧≥≥+≥+≥++=0,70020103006825065..3502502121212121x x x x x x x x t s x x MinZ ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤++≤++++=0,,30020662501085..7003002503

21321321321y y y y y y y y y t s y y y

MaxW ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥++=0,124253..10152

121212

1y y y y y y t s y y

MinW ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤++=0,10251543..22

1212121x x x x x x t s x x MaxZ

1、对称性定理：

对偶问题的对偶是原问题。 2 弱对偶定理（弱对偶性）：设 和 分别是问题（P ）和（D ）的可行解，则必有

推论: 若 和 分别是问题（P ）和（D ）的可行

解，则 是（D ）的目标函数最小值的一个下界； 是（P ）的目标函数最大值的一个上界。

例

试估计它们目标函数的界，并验证弱对偶性原理。

由观察可知： =（1.1.1.1）， =（1.1），分别是（P ）和（D ）的可行解。

Z =10 ，W =40，故有

＜ ，弱 对偶定理成立。由推论⑴可知，W 的最小值不能小于10，Z 的 最大值不能超过40。

3、（对偶原理）

原问题 P 与对偶问题D 存在如下对应关系：

①.若原问题和对偶问题都有可行解,则它们都有最优解。 P 有最优解的充要条件是D 有最优解。

②.在一对对偶问题（P ）和（D ）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可行；反之不成立。

③.若 X * 和 Y * 分别是 P 和 D 的可行解，则它们分别是P 和D 的最优解的充要条件是 CX * = Y * b 。

⎩⎨

⎧≥≥⎩⎨⎧≥≤==0

D 0 min max Y C YA X b AX P Yb W CX Z ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+++≤++++++=-020******** 432max 4

1432143214321x x x x x x x x x x x x x Z __

X __

Y

∑∑

==≤

≤n

j m

i i

i j j b y x c b Y X C 1

1

__

__

,即__

X __

Y

__X C b

Y __⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧≥≥≥+≥+≥+≥++=0

,04233322 212 2020min 2

12

121212121y y y

y y y y y y y y y W __X

__Y

__X C b Y __

⑵.在一对对偶问题（P ）和（D ）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可行；反之不成立。

关于无界性有如下结论

原问题 对偶问题 问题无界 无可行解 无可行解 问题无解

显然，这两个问题都无可行解 推论：在一对对偶问题（P ）和（D ）中，若一个可行（如P ），而另一个不可行，（如D ），则该可行的问题无界。

（3）若 X * 和 Y * 分别是 P 和 D 的可行解，则它们分别是P 和D 的最优解的充要条件是 CX * = Y * b 。

最优性判别定理：

若 X * 和 Y * 分别是 P 和 D 的可行解且 CX

* = Y * b ，则X *. Y *分别是问题 P 和D 的最优解。

综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一出现：

①.若 P 和 D 的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数的最优值相等，即有CX * =Y *b ；

②. 一个问题无界，则另一个问题无可行解； ③.两个都无可行解。

练习：试用对偶理论讨论下列原问题是否有最优解？

⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+--≤-+=0,11

max :2

1212121x x x x x x x x Z P ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+-≥---=0, 1

1 min :2

1212121y y y y y y y y W D ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+-≤++-+=0,,122..22max 32132132121x x x x x x x x x t s x x Z ⎪⎩⎪

⎨⎧≥=+-≥+-++-=0,,6242..2min 3

2121321321x x x x x x x x t s x x x f