4.1 线性微分方程的基本理论
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推论4.1：设 x1 (t )，x2 (t ),
, xn (t ) 是方程 (4.1.2)
Байду номын сангаас
在区间（a,b）上的n个解。如果存在 t0 (a, b), 使得它的Wronskian 行列式
W [ x1 (t0 ),……，xn (t0 )] 0
则该解组在（a,b）上线性相关.
c1 x1 (t ) c2 x2 (t )
cn xn (t ) 0
在(a,b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线 性相关，不然称这些函数线性无关. 例2: 函数1, t , t 2 ,, t n 在任何区间上都是线性
无关的，因为如果
c0 c1t c2t cnt 0
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c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, c x (t ) c x (t ) c x (t ) 0, 2 2 0 n n 0 1 1 0 c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) 0. 0 2 2 0 n n 0 1 1
, xn (t )]
在区间（a,b）上的n个线性无关的解,则它们的 Wronskian 行列式 W [ x1 (t )，x2 (t ),
在该区间上任何点都不为零.
证明: 用反证法
假设有 t0 (a, b), 使得 W (t0 ) 0.
考虑关于 c1 , c2 ,, cn的齐次线性代数方程组
则在（a,b）上线性无关的充要条件为
x1 (t ) x2 (t ) 在（a,b）上不恒为常数. 或 x2 (t ) x1 (t )
例3: sin t ,cos t在任何区间上都线性无关.
cos2 t ,1 sin 2 t 在任何区间上都线性相关.
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注3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取 的区间。 上是线性 例4: 函数 x1 (t ) t , x2 (t ) t在（ ， ）
称为这些函数的Wronskian行列式,
通常记做 W (t ).
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定理4.3 如果函数组 x1 (t )，x2 (t ), 行列式恒等于零, 即 W (t ) 0 .
, xn (t ) 在区间
(a, b) 上线性相关, 则在(a, b) 上它们的 Wronskian
证明: 由假设知存在一组不全为零的常数 c1 , c2 ,, cn ,
x1 (t ) x2 (t ) (t ) (t ) x1 x2 W [ x1 (t ), x2 (t ), xk (t )] ( k 1) x1( k 1) (t ) x2 (t ) xk (t ) (t ) xk ( k 1) xk (t )
, xk (t )
''
(cos t )'' cos t 0
'' (t ) (t ) c1[(sin t )'' sin t ] c2 [(cos t )'' cos t ] 0
所以为方程的解.
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基本解组: 如果方程（4.1.2）的任意一个解 (t )
( n 1) 即这个解满足初始条件 x(t0 ) x (t0 ) x (t0 ) 0.
又 x(t ) 0 也是方程(4.1.2)满足初始条件的解, 由解 的惟一性知, x(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, t (a, b) 由 c1 , c2 ,, cn 不全为零, 知矛盾, 从而定理得证.
x1 (t ) {
t 2 ,t 0 0,t 0 0,t 0 t 2 ,t 0
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x2 (t ) {
显然对所有的t, 恒有 W [ x1 (t ), x2 (t )] 0, 但 x1 (t ), x2 (t )
在 (,) 上线性无关. 事实上, 假设存在恒等式
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,
c1 x1
( n 1)
(t ) c2 x2
( n 1)
(t ) cn xn
( n 1)
(t ) 0,
上述n个恒等式所组成的方程组是关于 c1 , c2 ,, cn 的齐次方程组, 它的系数行列式就是Wronskian 行列式, 由线性代数的知识知, 要使方程组存在
使得 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, t (a, b) 依次将此恒等式对t微分, 得到n个恒等式
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, c1 x1
x(t0 ) c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, x(t ) c x (t ) c x (t ) c x (t ) 0, 1 1 0 2 2 0 n n 0 0 x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) 0. 0 1 1 0 2 2 0 n n 0
无关, 而在 (0,) 和 (,0) 上是线性相关的.
事实上
x1 (t ) 1, t 0, x2 (t ) 1, t 0. 在区间 (,) 上不是常数, 分别在区间 (,0)
和 (0,) 上是常数.
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Wronskian 行列式: 由定义在区间（a, b）上的 k个k-1次可微函数 x1 (t ), x2 (t ), 所作成的行列式
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) 0,
则当 t 0 时, 有 c2 0, 当 t 0 时, 有 c1 0, 故 x1 (t ), x2 (t ) 在 (,) 上线性无关.
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定理4.4 若函数组 x1 (t )，x2 (t ),
, xn (t ) 是方程（4.1.2）
称 L 为线性微分算子 . 例如:
n1
L[e ] [ a1(t ) a2 (t ) an1(t ) an (t )]e
n n 2
t
t
性质4.1 性质4.1
L(cx) cL( x)
c
为常数.
L( x1 x2 ) L( x1 ) L( x2 )
, cn 是常数.
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例1
验证 sin t ,cos t , (t ) c1 sin t c2 cos t 是方程
x x 0 的解.
''
解: 分别将 sin t ,cos t , (t ) c1 sin t c2 cos t 代入方程, 得
(sin t ) sin t 0
方程（4.1.1）存在惟一的解 x (t )
满足下列初始条件
d (t0 ) (1) (t0 ) x0 , x0 , dt
d (t0 ) ( n 1) , x0 n 1 dt
n 1
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线性微分算子: 引入
d nx d n1 x dx L[ x] n a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x dt dt dt
, xk (t ) 中有一个函数 , xk (t )
等于零, 则函数 x1 (t ), x2 (t ),
在（a,b）上线性相关。
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注2：考虑到两个函数构成的函数组 x1 (t ), x2 (t )
x1 (t ) x2 (t ) 在(a, b) 上有定义, 如果 或 x2 (t ) x1 (t )
非零解, 则必有 W (t ) 0.
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推论 4.1 如果函数组 x1 (t )，x2 (t ),
, xn (t )
的Wronskian行列式在区间（a, b）上某点 t 0 处不等于0, 即 W (t0 ) 0 ,则该函数组在区间 (a, b)
上线性无关。
注: 定理4.3的逆定理不一定成立.例
4.1
线性微分方程的基本理论 线性微分方程是常微分方程中
一类很重要的方程，它的理论发展 十分完善，本节将介绍它的基本理 论.
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一、基本概念
n阶线性微分方程: 我们将未知函数
dx d nx 导数 ,, n dt dt
x 及其各阶
均为一次的n阶微分方程，
称为n阶线性微分方程.
它的一般形式为:
则(4.1.1)变为
d x d x dx a1 (t ) n1 ……an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐线性方程,（4.1.1）称非齐线性方程。
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n
n 1
(4.1.2)
我们称以上方程为n阶线性齐次微分方程，简称
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2 d x dx 2 2 2 t t (t n ) x 0 2 dt dt d 2x 4 x sin t 2 dt
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二、齐次线性方程解的性质和结构
定理4.1 (叠加原理) 如果 x1 (t ), x2 (t ),
, xn (t )是方程（4.1.2）的n个解，
则它的线性组合 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
也是方程（4.1.2）的解，这里 c1 ,
推论4.3 方程（4.1.2）的n个解 x1 (t )，x2 (t ),
, xn (t )
在其定义区间（a,b）上线性无关的充要条件是在
该区间上 存在一点 t0 使得 W [ x1 (t0 ),……，xn (t0 )] 0
其系数行列式 W (t0 ) 0, 故它有非零解 c1 , c2 ,, cn ,
现以这组解构造函数
x(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ), t (a, b)
由定理4.1 知, x(t ) 是方程(4.1.2) 的解. 又因为
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都可以表示为
c x (t ) ,
i 1 i i
n
则称 x1 (t ), x2 (t ),
, xn (t )
是方程组（4.1.2） 的基本解组。
线性相关: 对定义在区间(a, b)上的函数组
x1 (t ), x2 (t ),
如果存在不全为0的常数
, xn (t )
c1 ,
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, cn ，使得
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上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。 关于高阶方程同一阶方程一样, 也有相类似的解的 存在惟一性定理.
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定理4.1：如果(4.1.1）的系数 及右端函数 f (t ) 在区间
ai (t )(i 1, 2,
, n)
a t b 上连续，
(1) ( n 1) 则对任一个 t0 (a, b) 及任意的 x0 , x0 , x0
2 n
(4.1.5)
只有当所有的 ci 0(i 0,1,, n) 时才成立.
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事实上, 如果至少有一个 ci 0, 则 (4.1.5)
式的左端是一个不高于n次的多项式，它最多可 有n个不同的根 . 因此, 它在所考虑的区间上不 能有多于n个零点, 更不可能恒为零. 注1：在函数 x1 (t ), x2 (t ),
dnx d n1 x dx a1 (t ) n1 ……an 1 (t ) an (t ) x f (t ) n dt dt dt
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(4.1.1)
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式中 ai (t )(i 1,2, n) 及 f (t ) 是区间 上的连续函数。
at b
n阶线性齐次微分方程: 如果 (4.1.1) 式中的 f (t ) 0
推论4.1：设 x1 (t )，x2 (t ),
, xn (t ) 是方程 (4.1.2)
Байду номын сангаас
在区间（a,b）上的n个解。如果存在 t0 (a, b), 使得它的Wronskian 行列式
W [ x1 (t0 ),……，xn (t0 )] 0
则该解组在（a,b）上线性相关.
c1 x1 (t ) c2 x2 (t )
cn xn (t ) 0
在(a,b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线 性相关，不然称这些函数线性无关. 例2: 函数1, t , t 2 ,, t n 在任何区间上都是线性
无关的，因为如果
c0 c1t c2t cnt 0
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c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, c x (t ) c x (t ) c x (t ) 0, 2 2 0 n n 0 1 1 0 c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) 0. 0 2 2 0 n n 0 1 1
, xn (t )]
在区间（a,b）上的n个线性无关的解,则它们的 Wronskian 行列式 W [ x1 (t )，x2 (t ),
在该区间上任何点都不为零.
证明: 用反证法
假设有 t0 (a, b), 使得 W (t0 ) 0.
考虑关于 c1 , c2 ,, cn的齐次线性代数方程组
则在（a,b）上线性无关的充要条件为
x1 (t ) x2 (t ) 在（a,b）上不恒为常数. 或 x2 (t ) x1 (t )
例3: sin t ,cos t在任何区间上都线性无关.
cos2 t ,1 sin 2 t 在任何区间上都线性相关.
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注3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取 的区间。 上是线性 例4: 函数 x1 (t ) t , x2 (t ) t在（ ， ）
称为这些函数的Wronskian行列式,
通常记做 W (t ).
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定理4.3 如果函数组 x1 (t )，x2 (t ), 行列式恒等于零, 即 W (t ) 0 .
, xn (t ) 在区间
(a, b) 上线性相关, 则在(a, b) 上它们的 Wronskian
证明: 由假设知存在一组不全为零的常数 c1 , c2 ,, cn ,
x1 (t ) x2 (t ) (t ) (t ) x1 x2 W [ x1 (t ), x2 (t ), xk (t )] ( k 1) x1( k 1) (t ) x2 (t ) xk (t ) (t ) xk ( k 1) xk (t )
, xk (t )
''
(cos t )'' cos t 0
'' (t ) (t ) c1[(sin t )'' sin t ] c2 [(cos t )'' cos t ] 0
所以为方程的解.
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基本解组: 如果方程（4.1.2）的任意一个解 (t )
( n 1) 即这个解满足初始条件 x(t0 ) x (t0 ) x (t0 ) 0.
又 x(t ) 0 也是方程(4.1.2)满足初始条件的解, 由解 的惟一性知, x(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, t (a, b) 由 c1 , c2 ,, cn 不全为零, 知矛盾, 从而定理得证.
x1 (t ) {
t 2 ,t 0 0,t 0 0,t 0 t 2 ,t 0
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x2 (t ) {
显然对所有的t, 恒有 W [ x1 (t ), x2 (t )] 0, 但 x1 (t ), x2 (t )
在 (,) 上线性无关. 事实上, 假设存在恒等式
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,
c1 x1
( n 1)
(t ) c2 x2
( n 1)
(t ) cn xn
( n 1)
(t ) 0,
上述n个恒等式所组成的方程组是关于 c1 , c2 ,, cn 的齐次方程组, 它的系数行列式就是Wronskian 行列式, 由线性代数的知识知, 要使方程组存在
使得 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, t (a, b) 依次将此恒等式对t微分, 得到n个恒等式
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, c1 x1
x(t0 ) c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, x(t ) c x (t ) c x (t ) c x (t ) 0, 1 1 0 2 2 0 n n 0 0 x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) 0. 0 1 1 0 2 2 0 n n 0
无关, 而在 (0,) 和 (,0) 上是线性相关的.
事实上
x1 (t ) 1, t 0, x2 (t ) 1, t 0. 在区间 (,) 上不是常数, 分别在区间 (,0)
和 (0,) 上是常数.
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Wronskian 行列式: 由定义在区间（a, b）上的 k个k-1次可微函数 x1 (t ), x2 (t ), 所作成的行列式
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) 0,
则当 t 0 时, 有 c2 0, 当 t 0 时, 有 c1 0, 故 x1 (t ), x2 (t ) 在 (,) 上线性无关.
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定理4.4 若函数组 x1 (t )，x2 (t ),
, xn (t ) 是方程（4.1.2）
称 L 为线性微分算子 . 例如:
n1
L[e ] [ a1(t ) a2 (t ) an1(t ) an (t )]e
n n 2
t
t
性质4.1 性质4.1
L(cx) cL( x)
c
为常数.
L( x1 x2 ) L( x1 ) L( x2 )
, cn 是常数.
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例1
验证 sin t ,cos t , (t ) c1 sin t c2 cos t 是方程
x x 0 的解.
''
解: 分别将 sin t ,cos t , (t ) c1 sin t c2 cos t 代入方程, 得
(sin t ) sin t 0
方程（4.1.1）存在惟一的解 x (t )
满足下列初始条件
d (t0 ) (1) (t0 ) x0 , x0 , dt
d (t0 ) ( n 1) , x0 n 1 dt
n 1
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线性微分算子: 引入
d nx d n1 x dx L[ x] n a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x dt dt dt
, xk (t ) 中有一个函数 , xk (t )
等于零, 则函数 x1 (t ), x2 (t ),
在（a,b）上线性相关。
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注2：考虑到两个函数构成的函数组 x1 (t ), x2 (t )
x1 (t ) x2 (t ) 在(a, b) 上有定义, 如果 或 x2 (t ) x1 (t )
非零解, 则必有 W (t ) 0.
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推论 4.1 如果函数组 x1 (t )，x2 (t ),
, xn (t )
的Wronskian行列式在区间（a, b）上某点 t 0 处不等于0, 即 W (t0 ) 0 ,则该函数组在区间 (a, b)
上线性无关。
注: 定理4.3的逆定理不一定成立.例
4.1
线性微分方程的基本理论 线性微分方程是常微分方程中
一类很重要的方程，它的理论发展 十分完善，本节将介绍它的基本理 论.
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一、基本概念
n阶线性微分方程: 我们将未知函数
dx d nx 导数 ,, n dt dt
x 及其各阶
均为一次的n阶微分方程，
称为n阶线性微分方程.
它的一般形式为:
则(4.1.1)变为
d x d x dx a1 (t ) n1 ……an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐线性方程,（4.1.1）称非齐线性方程。
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n
n 1
(4.1.2)
我们称以上方程为n阶线性齐次微分方程，简称
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2 d x dx 2 2 2 t t (t n ) x 0 2 dt dt d 2x 4 x sin t 2 dt
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二、齐次线性方程解的性质和结构
定理4.1 (叠加原理) 如果 x1 (t ), x2 (t ),
, xn (t )是方程（4.1.2）的n个解，
则它的线性组合 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
也是方程（4.1.2）的解，这里 c1 ,
推论4.3 方程（4.1.2）的n个解 x1 (t )，x2 (t ),
, xn (t )
在其定义区间（a,b）上线性无关的充要条件是在
该区间上 存在一点 t0 使得 W [ x1 (t0 ),……，xn (t0 )] 0
其系数行列式 W (t0 ) 0, 故它有非零解 c1 , c2 ,, cn ,
现以这组解构造函数
x(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ), t (a, b)
由定理4.1 知, x(t ) 是方程(4.1.2) 的解. 又因为
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都可以表示为
c x (t ) ,
i 1 i i
n
则称 x1 (t ), x2 (t ),
, xn (t )
是方程组（4.1.2） 的基本解组。
线性相关: 对定义在区间(a, b)上的函数组
x1 (t ), x2 (t ),
如果存在不全为0的常数
, xn (t )
c1 ,
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, cn ，使得
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上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。 关于高阶方程同一阶方程一样, 也有相类似的解的 存在惟一性定理.
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定理4.1：如果(4.1.1）的系数 及右端函数 f (t ) 在区间
ai (t )(i 1, 2,
, n)
a t b 上连续，
(1) ( n 1) 则对任一个 t0 (a, b) 及任意的 x0 , x0 , x0
2 n
(4.1.5)
只有当所有的 ci 0(i 0,1,, n) 时才成立.
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事实上, 如果至少有一个 ci 0, 则 (4.1.5)
式的左端是一个不高于n次的多项式，它最多可 有n个不同的根 . 因此, 它在所考虑的区间上不 能有多于n个零点, 更不可能恒为零. 注1：在函数 x1 (t ), x2 (t ),
dnx d n1 x dx a1 (t ) n1 ……an 1 (t ) an (t ) x f (t ) n dt dt dt
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式中 ai (t )(i 1,2, n) 及 f (t ) 是区间 上的连续函数。
at b
n阶线性齐次微分方程: 如果 (4.1.1) 式中的 f (t ) 0