留数及其应用

f ( z ) a m ( z z 0 ) m a m 1 ( z z 0 ) m 1 ,
其ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，a m 0 .
§5.1 孤立奇点 §5.1.4 零点
定理 设函数 f ( z ) 在 z0 处解析，则下列条件是等价的： （零点阶数的判别方法） (1) z0 为 f ( z ) 的 m 阶零点。 (2) f ( k ) ( z0 ) 0 , k 0 , 1 , 2 , , m 1; f ( m ) ( z0 ) 0 .
e

e
( z 1)
2
e
z 1

e
2!

e
3!
( z 1) , ( 0 | z | ) .
(含有限个负幂次项，且最高负幂次为 2 ) 可见， z 1 为 f ( z ) 的二阶极点。
cos z 解 z 0 是 f ( z ) 的奇点， 由 lim f ( z ) lim 3 , z 0 z 0 z 可知，z 0 是 f ( z ) 的极点。
§5.1 孤立奇点 §5.1.4 零点
方法一
f (0) 0 ,
f (0) 1 cos z z 0 0 , f (0) cos z z 0 1 0 ,
f (0) sin z z 0 0 ,
z 0 是 f ( z ) 的三阶零点。
方法二
f (z) z (z
定义 设 z0 为 f ( z ) 的孤立奇点， 将 f ( z ) 在 0 | z z0 | 内
展开为洛朗级数： f ( z )
n


an ( z z0 ) n ,
a N a 1 a0 a1 ( z z0 ) , 小结 f ( z ) N z z0 ( z z ) 0 本性奇点 可去奇点
则称 z0 为 f ( z ) 的 N 阶极点； 特别地，当 N 1 时，称 z0 为 f ( z ) 的简单极点。
§5.1 孤立奇点 §5.1.2 孤立奇点的分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类
定义 设 z0 为 f ( z ) 的孤立奇点， 将 f ( z ) 在 0 | z z0 | 内
注 将 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域内的洛朗级数，有 1 1 1 1 z , ( 0 | z | ) . f (z) e 1 2 n z 2! z n! z
(含无穷多个负幂次项)
f ( z ) lim 解 z 1 是 f ( z ) 的奇点， 由 lim z 0 z 0
z=0 为本性奇点（包含无限个负幂次项）。
§5.1 孤立奇点 §5.1.3 孤立奇点的类型判别方法
f (z)
本性奇点
a N a 1 a0 a1 ( z z0 ) , N z z0 ( z z0 ) 可去奇点
N 阶极点
(1) 可去奇点 (2) N 阶极点 N 阶极点
1 1 sin z
o x
z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点。 因为z=0的任何邻域中， 总有形如z=1/n 的奇点。 所以z=0不是孤立奇点。
§5.1 孤立奇点 §5.1.2 孤立奇点的分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类
定义 设 z0 为 f ( z ) 的孤立奇点， 将 f ( z ) 在 0 | z z0 | 内
( z z0 ) m ( z ) .
收敛且解析
§5.1 孤立奇点 §5.1.4 零点
例
f (z) z 3 1. f ( z ) ( z 1) ( z 2 z 1) ,
故 z 1 为 f ( z ) 的一阶零点。
例
( 2 z 3) 3 f (z) . z 1 e 3 3 8 f ( z ) [ z ( )] . z 2 1 e
z=0 为可去奇点（不含负幂次项）。
e z 1 z n z n1 1 z z n 1 ( 2) 1 z z n 0 n! n0 n! z 2! n!
z=0 为简单极点（只含1个负幂次项）。
( 3)e 1 z
1 z
1
1 2 1 n z z 2! n!
1 2 1 4 1 z z , ( 0 | z | ) . (不含负幂次项) 3! 5!
如果约定 f ( z ) 在 z 0 点的值为 1，则 f ( z ) 在 z 0 点
就解析了， 因此称 z 0 为 f ( z ) 的可去奇点。
解 z 0 是 f ( z ) 的奇点， 考察极限 lim f ( z ) .
可见， z 0 为 f ( z ) 的三阶极点。 思考 除了上述方法，是否还有其它办法来判断极点的阶数？
§5.1 孤立奇点 §5.1.4 零点
所谓函数 f ( z ) 的零点就是方程 f ( z ) 0 的根。 定义 设函数 f ( z ) 在 z0 处解析， 5.2 (1) 若 f ( z0 ) 0 , 则称 z z0 为 f ( z ) 的零点；
注 将 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域内的洛朗级数，有
cos z 1 1 2 1 4 f ( z) 3 3 ( 1 z z ) 2! 4! z z 1 1 1 含有限个负幂次项 z , ( 0 | z | ) . z 3 2! z 4! 且最高负幂次为 3
(3) f ( z ) 在 | z z0 | 内的泰勒展开式为
f ( z ) a m ( z z 0 ) m a m 1 ( z z 0 ) m 1 ,
( z z0 )m [am am 1 ( z z0 ) am 2 ( z z0 )2 ]
展开为洛朗级数： f ( z )
n


an ( z z0 ) n ,
(1) 若 n 0 , 有 a n 0 , ( 即不含负幂次项 ) 则称 z0 为 f ( z ) 的可去奇点。
§5.1 孤立奇点 §5.1.2 孤立奇点的分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类
z 0
由 lim f ( z ) lim e ;
x 0 y0 x 0 y0
1 x
x 0 y0
lim f ( z ) lim e 0 ,
x 0 y0
1 x
可知，lim f ( z ) 不存在且不为 .
z 0
因此，z 0 是 f ( z ) 的本性奇点。
且 ( z0 ) 0 , 则 z0 为 f ( z ) 的 N 阶极点。
事实上， z0为 f ( z ) 的 N 阶极点的充要条件(即定义)为：
§5.1 孤立奇点 §5.1.5 极点阶数判别方法
a N a 1 f (z) a0 a1 ( z z0 ) N z z0 ( z z0 )
可知，z 1 是 f ( z ) 的极点。
ez
( z 1)
2
,
注 将 f ( z ) 在 z 1 的去心邻域内的洛朗级数，有
f (z)
e e z 1
( z 1)2
1 2 ( 1 ( z 1 ) ( z 1 ) ) 2 2! ( z 1)
例
sin z f (z) , z 0 为孤立奇点。 z
1 f (z) ，z=1为孤立奇点。 z 1
f (z) e
1 z
，z=0为孤立奇点。
§5.1 孤立奇点 §5.1.1 孤立奇点的概念
例
f ( z ) ln z , 原点及负实轴上的点均为奇点，
但不是孤立奇点。
y
f (z)
z z0
lim f ( z ) c (常数)；
lim f ( z ) ; (该条件只能判断是极点) zz
0
1 f (z) [ a N a N 1 ( z z0 ) ]; N ( z z0 )
z z0
(3) 本性奇点
lim f ( z ) 不存在且不为 .
复变函数与积分变换
第五章 留数及其应用
§5.1 孤立奇点 §5.2 留数 §5.3 留数在定积分计算中应用
§5.1 孤立奇点 §5.1.1 孤立奇点的概念
定义 5.1
f ( z ) 在 z0 处不解析， 但在 z0 的某一个去心邻域
0 | z z0 | 内处处解析， 则称 z0 为 f ( z ) 孤立奇点。
3
1 3 1 5 z z ) 3! 5!
1 1 2 z ( z ) 3! 5!
z 0 是 f ( z ) 的三阶零点。
§5.1 孤立奇点 §5.1.4 零点
1 2 1 2 1 4 2 z ) f ( z ) 1 (1 z z ) z ( 1 4! 2! 4!
定义 设 z0 为 f ( z ) 的孤立奇点， 将 f ( z ) 在 0 | z z0 | 内
展开为洛朗级数： f ( z )
n


an ( z z0 ) n ,
(2) 若 N 0 , 有 a N 0 ,
且 n N , 有 a n 0 , ( 即含有限个负幂次项 )
m (2) 若 f ( z ) ( z z0 ) ( z ) , ( z ) 在 z0 处解析且 ( z0 ) 0 ,
则称 z z0为 f ( z ) 的 m 阶零点。
对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。
即在零点的一个小邻域内，函数无其它零点。
§5.1 孤立奇点 §5.1.4 零点
1 1 (z) , [a N a N 1 ( z z0 ) ] N N ( z z0 ) ( z z0 )
展开为洛朗级数： f ( z )
n


an ( z z0 ) n ,
(3) 若 N 0 , n N , 有 a n 0 , ( 即含无限个负幂次项 ) 则称 z0 为 f ( z ) 的本性奇点。
§5.1 孤立奇点 §5.1.2 孤立奇点的分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类
定理 设函数 f ( z ) 在 z0 处解析，则下列条件是等价的： （零点阶数的判别方法） (1) z0 为 f ( z ) 的 m 阶零点。 (2) f ( k ) ( z0 ) 0 , k 0 , 1 , 2 , , m 1; f ( m ) ( z0 ) 0 .
(3) f ( z ) 在 | z z0 | 内的泰勒展开式为
N 阶极点
(1) 可去奇点 不含负幂次项； (2) N 阶极点 含有限多的负幂次项, 且最高负幂次为 N； (3) 本性奇点 含有无穷多的负幂次项。
§5.1 孤立奇点 §5.1.2 孤立奇点的分类
2n sinz z2 z4 z (1) 1 ( 1)n z 3! 5! ( 2n 1)!
sin z 1, 解 z 0 是 f ( z ) 的奇点， 由 lim f ( z ) lim z 0 z 0 z 可知，z 0 是 f ( z ) 的可去奇点。
注 将 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域内的洛朗级数，有
sin z 1 1 3 1 5 f (z) ( z z z ) z z 3! 5!
z 0 是 f ( z ) 的二阶零点。
1 2 f ( z ) (1 z z 2! 1 2 1 z ( z 2! 3!
1 3 z ) z 1 3! 1 2 z ) 4!
z 0 是 f ( z ) 的二阶零点。
1 ( z ) , 其中 ( z ) 在 z0 点的邻域内解析， 1. 若 f ( z ) N ( z z0 )