3.2.1(一)对数及其运算教案学生版

§3.2对数与对数函数
3.2.1对数及其运算(一)
【学习要求】
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念;
2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化;
3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值.
【学法指导】
通过实例了解对数的概念,通过指数式与对数式的相互转化感受数学变换的思想方法,感知事物都是相互联系的辩证唯物主义的思想.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.对数的概念
在指数函数f(x)＝a x(a＞0,且a≠1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一确定的值x和它对应. 幂指数x ,又叫做以a 为底y的对数.一般地,对于指数式a b＝N,我们把“以a为底N的对数b”记作 log a N ,即b＝log a N(a>0,a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N
2.对数log a N(a>0,且a≠1)的性质
(1) 0和负数没有对数,即N>0;
(2)1的对数为0,即log a1＝0 ;
(3)底的对数等于即log a a＝1 .
3.常用对数
以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log10N简记作lg N .
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境]对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.
探究点一对数的概念
问题1若24＝M,则M等于多少？若2－2＝N,则N等于多少？
问题2若2x＝16,则x等于多少？若2x＝1
4,则x等于多少？
问题3满足2x＝3的x的值,我们用log23表示,即x＝log23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x＝16,2x＝1
4,4
x＝8
的x的值如何表示？
探究点二对数与指数的关系
问题1当a>0,且a≠1时,若a x＝N,则x＝log a N,反之成立吗？为什么？
问题2在指数式a x＝N和对数式x＝log a N中,a,x,N各自的地位有什么不同？
问题3若a b＝N,则b＝log a N,二者组合可得什么等式？
问题4当a>0,且a≠1时,log a(－2),log a0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？.
问题5根据对数定义,log a1和log a a (a>0,a≠1)的值分别是多少？
例1 求log 22, log 21, log 216, log 212
.
跟踪训练1 将下列指数式写成对数式:
(1)54＝625; (2)2－6＝164
; (3)3a ＝27; (4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73.
例2 计算:(1)log 927; (2)log 4381; (3)log 354625.
跟踪训练2 求下列各式中的x 的值:
(1)log 64x ＝－23
; (2)log x 8＝6; (3)lg 100＝x.
探究点三 常用对数
问题 阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数？常用对数如何表示？
例3 求lg 10,lg 100,lg 0.01.
跟踪训练3 求下列各式中的x 的值:
(1)log 2(log 5x)＝0;
(2)log 3(lg x)＝1; (3)log (2－1)13＋22
＝x.
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.若log (x ＋1)(x ＋1)＝1,则x 的取值范围是 ( )
A.x>－1
B.x>－1且x≠0
C.x≠0
D.x ∈R
2.已知log 12x ＝3,则x 13
＝________. 3.已知a 12＝49(a>0),则log 23
a ＝_________. 4.将下列对数式写成指数式:
(1)log 16＝－4;(2)log 2128＝7;(3)lg 0.01＝－2.
课堂小结：
1.掌握指数式与对数式的互化a b ＝N ⇔log a N ＝b.
2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,log a 1＝0,log a a ＝1.
3.对数恒等式有:a log a N ＝N,log a a n ＝n.
4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lg N.。