离散与非线性系统理论-1
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
《信号与系统引论》郑君里版第一章课后答案
第一章1-1 分别判断图1-1所示各波形就是连续时间信号还就是离散时间信号,若就是离散时间信号就是否为数字信号？图1-1图1-2解 信号分类如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎩⎨⎧--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 (a)连续信号(模拟信号); (b)连续(量化)信号; (c)离散信号,数字信号; (d)离散信号;(e)离散信号,数字信号; (f)离散信号,数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？(重复1-1题所示问) (1); (2); (3); (4); (5)。
解由1-1题得分析可知: (1)连续信号; (2)离散信号;(3)离散信号,数字信号; (4)离散信号; (5)离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号得周期T : (1); (2); (3); (4)。
解 判断一个包含有多个不同频率分量得复合信号就是否为一个周期信号,需要考察各分量信号得周期就是否存在公倍数,若存在,则该复合信号得周期极为此公倍数;若不存在,则该复合信号为非周期信号。
(1)对于分量cos (10t )其周期;对于分量cos (30t ),其周期。
由于为得最小公倍数,所以此信号得周期。
(2)由欧拉公式 即得周期。
(3)因为 所以周期。
(4)由于原函数 n 为正整数其图形如图1-3所示,所以周期为2T 。
图1-31-4对于教材例1-1所示信号,由f (t )求f (-3t-2),但改变运算顺序,先求f (3t )或先求f (-t ), 讨论所得结果就是否与原例之结果一致。
解 原信号参见例1-1,下面分别用两种不同于例中所示得运算顺序,由f (t )得波形求得f (-3t-2)得波形。
两种方法分别示于图1-4与图1-5中。
方法一：倍乘32左移方法二：反褶32左移图1-4图1-51-5 已知f (t ),为求应按下列那种运算求得正确结果(式中都为正值)？ (1)左移; (2)右移;(3)左移;(4)右移。
第1章 离散时间信号和系统
第1章 思考题参考解答1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。
以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。
函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。
自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。
离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。
2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。
而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。
3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。
4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。
若∞<=∑∞-∞=P n h n |)(|，则系统是稳定的。
5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。
ω=ΩT (T 表示采样周期)。
6．不一定。
只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。
7．常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。
否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。
8．该说法错误。
需要增加采样和量化两道工序。
9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。
因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。
11、时域采样在频域产生周期延拓效应。
12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。
线性系统理论和设计
线性系统理论和设计是控制工程中的重要内容，涉及到对线性系统的建模、分析和控制设计。
以下是关于线性系统理论和设计的基本内容：
1. 线性系统模型
-线性系统描述：线性系统是指具有线性性质的动态系统，其输出与输入之间满足线性关系。
-线性系统模型：通常用微分方程、差分方程或状态空间方程描述线性系统的动态特性。
2. 线性系统分析
-系统稳定性分析：通过研究系统的零点、极点等性质来判断系统的稳定性。
-频域分析：通过频率响应、波特图等方法分析系统在频域下的性能。
-时域分析：通过阶跃响应、脉冲响应等方法研究系统在时域下的响应特性。
3. 线性系统设计
-控制器设计：设计合适的控制器来实现系统的性能要求，常见的控制器包括比例积分微分（PID）控制器、根轨迹设计等。
-系统鲁棒性设计：设计具有鲁棒性的控制器，能够抵抗参数变化和外部干扰的影响。
-最优控制设计：利用最优控制理论设计最优的控制器，使系统性能
达到最佳。
4. 线性系统应用
-自动控制系统：将线性系统理论和设计方法应用于自动控制系统，实现对各种工程系统的自动控制和调节。
-信号处理系统：利用线性系统理论设计数字滤波器、信号处理算法等，对信号进行处理和提取。
-机电系统：应用线性系统理论设计机电系统的控制器，实现机电系统的精密控制和运动规划。
线性系统理论和设计在控制工程领域具有广泛的应用，能够帮助工程师分析和设计各种复杂系统的控制策略，提高系统的性能和稳定性。
线性系统理论-郑大钟(第二版)(2013)
从作用时间 1.连续时间系统 类型的角度 2.离散时间系统
连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
线性系统 线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。 若表征系统的数学描述为L 系统模型 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器
状态和状态空间的定义 状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 能完全表征其时间域行为的一个最小 内部变量组
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1 (t ), x2 t ,, xn (t )
所组成的一个列向量
x1 ( x n (t )
(1)整体性
1.结构上的整体性
(2)抽象性
(3)相对性 在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 2.系统行为和功能由整体 所决定 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化 的一类系统——动力学系统。 动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。 系统变量可区分为三类形式
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任 务的学科。
线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性 和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。 主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 发展过程: 主要学派: 状态空间法 几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 综合理论
连续系统与离散系统的概念
连续系统与离散系统的概念连续系统和离散系统是系统控制理论中两种基本的模型类型。
连续系统是指系统的输入和输出信号是连续变化的，并且系统的状态可以在任意时间点进行测量和控制。
而离散系统则是指系统的输入和输出信号是离散的，即只在离散的时刻进行测量和控制，而在两个离散时刻之间的信号变化是未知的。
首先，我们来详细介绍连续系统。
连续系统可以用微分方程来描述，通常采用微分方程的求解方法来求得系统的时域响应。
连续系统可以是线性的，也可以是非线性的。
线性连续系统的特点是具有叠加性质，即输入的线性组合对应于输出的线性组合。
而非线性连续系统则是具有非线性性质，输入的线性组合对应于输出的非线性组合。
连续系统的状态可以通过求解微分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。
在连续系统中，我们可以利用传递函数来描述系统的频域特性，传递函数是输入和输出的拉普拉斯变换的比值。
传递函数可以用来分析系统的稳定性、频率响应、阻尼特性等。
接下来，我们来介绍离散系统。
离散系统可以用差分方程来描述，通过求解差分方程可以得到系统的时域响应。
离散系统也可以是线性的或非线性的，线性离散系统满足叠加性质，非线性离散系统则不满足叠加性质。
离散系统的状态可以通过迭代差分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。
离散系统的频域特性可以用离散时间傅里叶变换（DTFT）或离散傅里叶变换（DFT）来描述，这些变换可以将系统的输入和输出信号从时域转换到频域。
离散系统的稳定性、频率响应等也可以通过这些变换来进行分析。
在实际应用中，连续系统和离散系统都有各自的优缺点。
连续系统具有高精度和高灵敏度的特点，适用于需要高精度控制和测量的应用，如机器人控制、飞行器导航等。
而离散系统则具有较低的复杂度和较好的实时性，适合于计算机控制、数字信号处理等应用。
此外，由于实际系统中往往存在传感器采样和控制执行的离散性，所以很多情况下需要将连续系统进行离散化，从而使用离散系统进行建模和控制。
自动控制理论知识点总结
1.自控系统的基本要求：稳定性、快速性、准确性（P13）稳定性是由系统结构和参数决定的，与外界因素无关，这是因为控制系统一般含有储能元件或者惯性元件，其储能元件的能量不能突变。
因此系统收到扰动或者输入量时，控制过程不会立即完成，有一定的延缓，这就使被控量恢复期望值或有输入量有一个时间过程，称为过渡过程。
快速性对过渡过程的形式和快慢提出要求，一般称为动态性能。
准确性过渡过程结束后，被控量达到的稳态值（即平衡状态）应与期望值一致。
但由于系统结构，外作用形式及摩擦，间隙等非线性因素的影响，被控量的稳态值与期望值之间会有误差的存在，称为稳态误差。
+2.选作典型外作用的函数应具备的条件：1）这种函数在现场或试验室中容易得到2）控制系统在这种函数作用下的性能应代表在实际工作条件下的性能。
3）这种函数的数学表达式简单，便于理论计算。
常用典型函数：阶跃函数，幅值为1的阶跃称为单位阶跃函数斜坡函数脉冲函数，其强度通常用其面积表示，面积为1的称为单位脉冲函数或δ函数正弦函数，f(t)=Asin(ωt-φ)，A角频率，ω角频率，φ初相角3.控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。
（P21）静态数学模型：在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程建立数学模型的方法：分析法根据系统运动机理、物理规律列写运动方程实验法人为给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用合适的数学模型去逼近，也称为系统辨识。
时域中的数学模型有：微分方程、差分方程、状态方程复域中的数学模型有：传递函数、结构图频域中的数学模型有：频率特性4.非线性微分方程的线性化：切线法或称为小偏差法（P27）小偏差法其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。
连续变化的非线性函数y=f（x），取平衡状态A为工作点，在A点处用泰勒级数展开，当增量很小时略去高次幂可得函数y=f（x）在A点附近的增量线性化方程y=Kx，其中K是函数f（x）在A 点的切线斜率。
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
线性系统理论第一章(习题)
若 li 是 A 的特征值，试证 [1 li li 2 li n -1 ]T 是属于 li 的特征向量。 1—2 若 li 是 A 的一个特征值，试证 f (li ) 是矩阵函数 f (A) 的一个特征值。 1—3 试求下列矩阵的特征多项式和最小多项式
é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 1 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 1 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û
y =
t
ò0 g(t - t )u(t )d t
若脉冲响应 g 由图 1—12(a)给定。试问，由图 1—12(b)所示的输入而激励的输出为何？ g(t) 1 1 (a) 图 1—12 脉冲响应和输入作用 1—12 试求图 1—13 所示系统的动态方程式(略)
29
u(t) 1 2 t 1 2 (b) t
n >m
试证，给定初始状态 x(m ) = x0 下，时刻 n 的状态为 x(n )=F(n, m )x(0) 。若 A 与 n 无关，则
F(n, m ) 为何？
1—27 证明 x(n + 1) = A(n )x(n ) + B(n )u(n ) 的解为
n -1
x(n ) = F(n, m )x(m ) +
1 ù ú s+3ú 5s + 1 úú s + 2 úû
的实现，并画出其模拟图。 1—25 设{ A , B , C , D }和{ A , B , C , D }是两个线性时不变系统，其维数不一定相同。证明当 且仅当
现代控制理论课件(第三版)-刘豹主编-机械工业出版社
1970——1980 大系统理论 控制管理综合 1980——1990 智能控制理论 智能自动化 1990——21c 集成控制理论 网络控制自动化 专家系统，模糊控制，人工智能 神经网络，人脑模型，遗传算法
Soft computing
控制理论与计算机技术相结合→计算机控制技术
Modern Control Theory
Modern Control Theory
L01
绪论
绪论
控制理论的发展历程
经典控制理论
形成和发展
在20世纪30-40年代，初步形成。 在20世纪40年代形成体系。 频率理论 根轨迹法
以SISO线性定常系统为研究对象。 以拉氏变换为工具，以传递函数为基础在频率域中分析 与设计。 经典控制理论的局限性
Modern Control Theory
L01
绪论
绪论
关于自动化的介绍 Brief Introduction to Automation
自动化的理论基础
自动化技术是一门新兴的科学技术，它以控制论、信息 论和系统论为理论基础，以哲学的方法论为研究方法。 Cybernetics Information Theory Systemism
Modern Control Theory
L01
绪论
绪论
控制理论的发展历程 Progress of Control Theory
经典控制理论 (Classical Control Theory) 现代控制理论 (Modern Control Theory) 智能控制理论 (Intelligent Control Theory) 控制理论发展趋势 (Trend of Development of Control Theory)
S3-非线性自治系统
3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔
2 1 x1 ( x12 x2 x ) x2 2 2 x2 ( x12 x2 x ) x1
例：考虑系统
（3）分岔特征
1 r r 3 , r
u u C v v
f h
u u 1 B JB v v
1 0 C 0 2
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型
a c
2
b 0 d
aij
( p1 , p2 )
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型
练习：确定下列方程的平衡点及其类型、稳定性。
3 ⑴ u 2au u u 0
⑵
3 u 2au u u 0
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点 非线性系统典型特征之一：多重孤立的平衡点
x1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
A
1
1.5
B
2
A
B
3.4 典型分岔类型 3.4.3 叉形分岔 例：考虑系统
1 x1 x13 x 2 x2 x 1 x1 x13 x 2 x2 x
① 0 (0, 0)
(0, 0) ② 0 ( , 0) ( , 0)
0
1
1
0
0.5
0.5
0
0
-0.5
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点
1 0.5[h( x1 ) x2 ] x 2 0.2[ x1 1.5 x2 1.2] x
现代控制理论发展史
现代控制理论综述一、前言现代控制理论是以状态变量概念为基础，利用现代数学方法和计算机来分析、综合复杂控制系统的新理论，适用于多输入、多输出，时变的或非线性系统。
较之经典控制理论，现代控制理论的研究对象要广泛得多，原则上讲，它既可以是单变量的、线性的、定常的、连续的，也可以是多变量的、非线性的、时变的、离散的。
现代控制理论本质上是时域法，是建立在状态空间基础上，它不用传递函数，而是以状态向量方程作为基本工具，从而大大简化了数学表达方法。
现代控制理论从理论上解决了系统的能控性、能观测性、稳定性以及许多复杂系统的控制问题。
二、发展历史现代控制论的形成主要标志是贝尔曼的动态规划法、庞特里亚金的极大值原理和卡尔曼的滤波理论。
现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下基于经典控制理论的基础上发展起来的。
由于航空航天技术的推动和计算机技术飞速发展，特别是空间技术的发展，迫切要求解决更复杂的多变量系统、非线性系统的最优控制问题(例如火箭和宇航器的导航、跟踪和着陆过程中的高精度、低消耗控制，到达目标的控制时间最小，把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题等)。
这类控制问题十分复杂，而采用经典控制理论难以解决。
科学技术的发展不仅需要迅速地发展控制理论，而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要的条件—现代数学和数字计算机。
现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台，促使控制理论由经典控制理论向现代控制理论转变。
因此，控制理论在1960年前后有了重大的突破和创新。
1892年，俄国数学家李雅普诺夫创立的稳定性理论被引入到控制中。
1954年，美国学者贝尔曼创立了动态规划,并在1956年应用于控制过程，广泛用于各类最优控制问题。
1956年，前苏联科学家庞特里亚金提出极大值原理，解决了空间技术中出现的复杂控制问题，并开拓了控制理论中最优控制理论这一新的领域。
信号与系统概念总结
信号与系统概念总结信号与系统是电子与通信工程学科中的一门重要课程，它涉及了很多与我们日常生活息息相关的概念和原理。
本文将对信号与系统的一些重要概念进行总结和探讨。
一、信号信号是信息的一种表现形式，它可以是各种形式的波形，如声音、图像、视频等。
在信号与系统中，信号可以分为连续信号和离散信号两类。
连续信号是在时间和幅度上都是连续变化的信号，比如我们常见的声音信号。
连续信号的数学描述是使用连续函数。
而离散信号是在时间上离散，但在幅度上可以是连续的或离散的。
比如数字音乐中的音频采样值就是离散信号。
离散信号的数学描述常使用序列。
二、系统系统是对信号进行处理或传输的装置或设备。
信号与系统之间的关系可以用输入和输出来描述。
一个系统接收输入信号后，通过系统内部的处理，产生输出信号。
系统可以是物理的，也可以是抽象的，比如数字滤波器、音频放大器等。
系统可以分为时不变系统和时变系统。
时不变系统是指系统的特性不随时间的改变而改变。
而时变系统是指系统的特性会随时间的改变而改变。
时不变系统在信号处理中应用广泛，因为它具有稳定性和预测性。
三、线性系统和非线性系统线性系统是指满足叠加性原理和倍增性原理的系统。
叠加性原理是指系统对于输入信号的加和会等于输出信号的加和。
倍增性原理是指系统对于输入信号的倍增会等于输出信号的倍增。
线性系统在信号处理中有广泛的应用，因为它可以进行简单的数学分析和处理。
非线性系统是不满足线性性质的系统。
非线性系统的输出信号与输入信号之间存在复杂的关系，无法用线性方程来描述。
非线性系统在实际生活中有很多应用，比如混响效果器、失真音效等。
四、卷积卷积是信号与系统中非常重要的操作。
它是一种数学运算，用于描述两个信号之间的联系。
卷积的概念可以用于描述信道传输、信号滤波等。
在离散时间卷积中，两个离散时间序列之间的卷积可以通过求和的方式计算。
而在连续时间卷积中，卷积可以通过积分的方式计算。
卷积将一个信号通过系统处理之后，产生了一个新的信号。
【doc】非线性离散动力系统稳定性的等价定理
非线性离散动力系统稳定性的等价定理第4期2004年12月华东师范大学(自然科学版)JournalofEastChinaNormalUniversity(NaturalScience)No.4Dec.2004文章编号:1000—5641(2004)04—0010—06非线性离散动力系统稳定性的等价定理汪志鸣,郑毓蕃,戴浩晖(1.华东师范大学数学系,上海200062;2.华东师范大学计算机系,上海200062)摘要:证明了用K类函数表示的离散动力系统一致稳定和一致渐近稳定的等价定理.进而给出用KL函数刻划的一致渐近稳定判定定理及其逆定理.从而对于离散时间动力系统的扰动分析和相应控制问题研究奠定了严格的理论基础.关键词:非线性系统;自动控制;离散动力系统中图分类号:0175.13文献标识码:A0引言随着自动控制理论研究领域的扩大和计算机技术的普及,离散时间系统已日趋成为系统与控制理论中的一类主要研究对象L1].不少文献(例如文献[2])在没有严格证明的基础上认为连续时间系统表示的离散动力系统行之有效的K函数理论在离散情形自然成立而直接使用.本文给出用K类函数刻划一致稳定和一致渐近稳定等价定理的严格证明,进而给出了用KL函数刻划的一致渐近稳定判定理及其逆定理.从而为离散动力系统的扰动分析和相应控制问题的研究奠定了严格的理论基础.1稳定性概念的K函数表示从数学上看,离散动力系统由如下差分方程表示:x(k+1)一f(k,(忌))(1.1)其中z∈R,fEC[N×,R],N为非负整数集合.设f(k,O)一0,V忌∈N,并且假设原点是唯一的平衡点,x(k,k.,X.)表示系统(1.1)过初始点(忌.,X.)的解.又设V(k,)∈C[N×R,R],则V(k,)沿系统(1_1)的差分定义为def△V(忌,(忌))一V(忌+1,x(k+1))一V(忌,(忌))=V(忌+1,f(k,z(忌)))一(忌,(忌)).(1.2)函数a(?):R≥.×一R≥.称为K函数,如果它是严格单调增加的连续函数,且a(0)一0;函数a(?)称为K函数,如果它是K函数,并且a(5)一..;函数卢(?,?):R≥.×R≥.一R≥.称为KL函数,如果对每一个固定的￡≥0,卢(?,￡)是K函数,以及对每一个固定的≥0,卢(5,?)是单调下降的连续函数,并且卢(5,￡)一0定理1.1系统(1.1)的平衡点一0一致稳定的充分必要条件是存在K函数a(?)和与k.无关的常数d>0使得ll(忌)ll≤a(1lx(k.)l1),V忌≥忌.≥O,Vllx(k.)ll<d.(1.3)收稿日期:2003—03基金项目:国家自然科学基金(10371040)和上海市重点学科建设项目作者简介:汪志鸣(1953一),男,副教授.第4期汪志呜,等:非线性离散动力系统稳定性的等价定理11证明充分性:若存在K函数a(?)和与忌.无关的常数a>O使得II(忌)II≤a(1lx(k.)II),V忌≥忌.≥O,Vllx(ko)ll<,则V e>O,令(e)一min{,a(e)),对任何llx(k.)II<(e),都有ll(忌)ll≤≤口(1lx(k.)l1)<:口((e))≤口(口一(e))一e,因此系统(1.1)的平衡点一0一致稳定.必要性:若系统(1.1)的平衡点一0一致稳定,即V e>O,了一(e)>O使得llx(k.)II<(e)II(忌)II<e,V忌≥忌..固定e,记(e)一sup{所有适用的(e)),则llx(k.)II<(e)II(忌)Il<e,V忌≥忌..这样取定的(e)为正,并且关于e不减,但未必连续.选一个K函数(r)使得(r)≤c(r),O<c<1.设a(r)一(r),则a(r)为K函数,记—lim(r),则与忌.无关.于是对任意满足llx(k.)II<的(忌.),取e—a(II(忌.)l1)>O,则有llx(k.)ll—a(e)一(e)<(e)以及II(忌)II≤e—a(1lx(k.)l1),V忌≥忌..证毕.定理1.2系统(1.1)的平衡点一0一致渐近稳定的充分必要条件是存在KL函数卢(?,?)和与忌.无关的常数>O使得llx(k)II≤卢(1lx(k.)ll,忌--k.),V忌≥忌.≥O,Vllx(k.)II<.(1.4)系统(1.1)的平衡点一0全局一致渐近稳定的充要条件是存在KL函数卢(?,?)使得上述不等式(1.4)对任意初始状态x(k.)都成立.证明充分性:倘若存在的KL函数卢(?,?)和与忌.无关的常数>O使得ll(忌)ll≤卢(1lx(k.)ll,忌一忌.),V忌≥忌.≥O,Vllx(k.)ll(.由于对每一个固定的s≥0,卢(s,?)是单调下降函数,所以成立II(忌)II≤卢(1lx(k.)ll,O),V忌≥忌.≥O,因此由定理1.1可知,系统(1.1)的平衡点一0一致稳定.其次又由于llx(k)ll≤卢(,忌一忌o),所以(忌)当忌一..时关于忌.一致地趋于0.故系统(1.1)的平衡点一0一致渐近稳定. 必要性:设系统(1.1)的平衡点一0一致渐近稳定,即平衡点一0一致稳定以及一致吸引.因为一致稳定,所以存在与忌.无关的常数>O以及K函数a(r),rE(O,),使得系统(1.1)的解x(k)满足:II(忌)lI≤a(1lx(k.)l1)<a(r),V忌≥忌.,Vllx(k.)II<r.(1.5)又由于一致吸引,对于V e>O,存在T—T(e,r)(依赖于e和r,但与忌.无关)使得llx(k)ll<e,V忌o+T(e,r).记Tr(e)一inf{J(e,r)),于是有llx(k)ll<e,V忌≥忌.+T(e).并且supllx(k)ll≥e,忌≤忌<忌o+T(e).如此得到的序列{Tr(e))满足(1)对每一个固定r>0,T(e)关于e不增;(2)对每一个固定e>0,T,(e)关于r不减;(3)当a(r)≤e时,由于II(忌)II<a(r)≤e,V忌≥忌.,故得Tr(e)一0.所以Tr(e)≥O.12华东师范大学(自然科学版)令(￡)=÷I丁r(s)ds.由于丁r(￡)单调,所得到的序列{(￡))可积,关于￡连续,且'/2 局部绝对连续,因此它有定义,并且满足(￡)≥÷T(￡)Idx=Tr(8).'/2进一步,因为局部绝对连续,所以下式几乎处处成立'一一)ds+kETr(e)._1e)]一1ETa(￡)一(￡]+÷『-丁r(￡)一Tr(--~)I(No.因此关于￡不增.于是(￡),满足:(1)对每一个固定r>O,(￡)关于￡不增,且连续;(2)对每一个固定￡>o,(￡)关于r不减;(3)T—r(￡)≥O.记则W,(￡)满足:w(￡)一T—r(￡)+.(1)对每一个固定r>0,W,(￡)=￡)关于￡严格递减,连续且limw(￡)一0和￡一o.limW,(￡)一;e-?0(2)对每一个固定￡>O,W(￡)关于r严格递增,且liraW,(￡)一o.;(3)W(￡)>0以及W,(￡)>T,(￡).对每一个固定r)0,令V,(￡)一w(￡),即V(￡)为W(￡)的反函数.于是V,(￡)仍具有w,(￡)所满足的前两条性质,并且((s))<w,(,(s))=s.当k—k.≥(￡),llz(k.)ll<r时,都有IIz(忌)II≤￡,从忌一忌.≥(￡)中解出￡:￡≤T(忌一忌.)≤V(忌一忌.),所以I1z(忌)I1≤V(忌一忌.),V忌≥忌.,VI1x(k.)l1<r,(1.6)于是由式(1.5)和(1.6)可得llz(忌)lI≤~/口(『1x(k.)『1)(忌--k.),V忌≥忌.,Vllx(k.)ll<c.记fl(r,s)一呵,则容易验证fl(r,s)是KL函数.全局一致渐近稳定的证明类似.由于篇幅关系,故省略.证毕.在定理 1.1和定理 1.2的基础上,一致渐近稳定性概念可以用满足不等式(1.4)的KL函数来刻划,文献[3]曾经用满足不等式(1.4)的KL函数定义渐近稳定性来讨论问题,但由于没有严格的证明,在文献[3]中称这种稳定为稳定.实质上就是通常的李雅普诺夫意义下的渐近稳定.本节的两个定理证明了用满足不等式(1.4)的KL函数刻划渐近稳定的等价性.在此基础上发展离散李雅普诺夫直接方法,建立离散李雅普诺夫稳定性理论现代处理的框架对以后问题的进一步研究大有帮助.2一致渐近稳定的判别的定理及其逆定量众所周知,各种李雅普诺夫稳定性的判定定理是整个稳定性理论的核心,其逆定理的研第4期汪志鸣,等:非线性离散动力系统稳定性的等价定理13究从理论上说明判定定理的有效性及有效程度.因此对离散动力系统相应问题的研究是十分必要和有意义的,本节讨论用KL函数刻划的离散动力系统一致渐近稳定的李雅普诺夫判定定理及其逆定理.当离散动力系统求解困难时,离散时间比较原理的方法十分有用.引理2.1设g:N志×R一R对每一个固定的七,g(k,)关于Y非减,其中R为非负实数集,N一{忌∈Nl忌≥忌.1).如果对任意忌≥忌.,下列不等式x(k+1)≤g(k,(忌)),且y(k+1)≥g(k,(忌))(2.1)同时成立,则x(k.)≤y(k.)成立,可以推出对任意的忌≥忌.,都有(忌)≤(忌).类似于连续情形文献E33中的引理3.4,我们有如下重要引理,引理2.2设:N一R满足下列不等式x(k+1)一(忌)≤一口((忌)),忌∈N(2.2)其中a∈K,则存在∈KL使得(忌)≤((忌.),忌--k.),忌∈N(2.3)证明作辅助函数:()一(忌)+[(忌+1)--x(k)-I(￡一是)tE[忌,忌+1],忌≥忌.,则(￡)在tE[忌.,..]上连续,且(忌)≥一[(忌+1)--x(k)](￡一是)≥口((忌))(￡一是)>1o.所以(￡)≥O,关于t逐段线性,因此局部绝对连续,于是对t下式几乎处处成立士(￡)一(忌+1)--x(k)≤一口((忌)),tE[忌,忌+1],忌≥忌..由于不等式(2.2),故得(￡)≤(矗),tE[忌,忌+1],忌≥忌.,因此可得士(￡)≤一口((忌))≤一口((￡)),于是由文献E63中节4的结论可知,存在∈KL,使得(￡)≤((忌0),￡一是0),tE[忌0,∞).取￡一是,忌≥是.,贝U(忌)≤((忌.),忌--k.),tEN.证毕.定理2.3若存在连续函数V(k,):N×D,一R,以及口,口2,∈K使得,对V,c∈N和V∈D,成立l1)≤V(忌,)≤az(l1)f24)1z~V(k,)≤一(1ll1),'则离散动力系统(1.1)的平衡点x=0在上一致渐近稳定,其中a—a(a(r)).如果a∈K,以及性质(2.1)在Dr—R"上成立,则离散动力系统(1.1)的平衡点一0全局一致渐近稳定.证明选取x(k.)使得llx(k.)ll<口(口(r)),记—(口(r))≤r,所以有(是.)∈D,,并且口(1l(,c)l1)≤V(k,x(忌))≤V(k.,x(k.))≤口2(1lx(k.)l1)<口(r),进而可得(忌)∈D,忌∈N,所以过x(k.)∈D的轨道(忌)在区域D,内存在唯一.同时有△V(忌,(忌))≤一(口(V(忌,(忌)))).引进辅助函数y(k+1)一(忌)=tool3(口((忌))),y(k.)一V(忌.,x(k.)),忌≥忌..14华东师范大学(自然科学版)则由引理2.2可知,存在∈KL,使得(忌)≤J9((忌.),k—k.),V忌≥忌..因为y(k.)一(忌.,x(k.)),所以V(k,(忌))≤(忌),忌≥忌..于是有V(k,(忌))≤(忌)≤J9((忌),忌一k.)~fl(V(k.,x(k.)),k—k.),所以(忌)II≤a((忌,(忌)))≤aO(V(k.,x(k.),忌一是.)))aF(a2(x(kl.)),忌一是.))det((忌.),k--k.),Vx(k.)∈DD,.(2.5)其中fl(x(k.),k—a(J9(az)((忌.)),忌))仍然是KL函数.因此离散时间系统(1.1)式在D上一致渐近稳定.如果a∈K..,则显然a.∈K..,并且性质(2.4)在D,一R上成立,则上述所构造的KL函数J9(?,?)使得不等式(2.5)对所有的(忌.)∈R成立.因此离散时间系统(1.1)式的平衡点一0全局一致渐近稳定.证毕.对于平衡点一0一致渐近稳定的离散动力系统(1.1)式是否存在函数V(k,)满足式(2.4),这就是着名的李雅普诺夫反问题.专着[4]中第五章的定理5.12.5是相应问题的传统处理.定理2.4如果离散动力系统(1.1)式是在N×D,上解存在,并且系统(1.1)式的平衡点一0一致渐近稳定,则在N×D,上存在满足性质(2.4)的函数V(k,).如果系统(1.1)的平衡点一0全局一致渐近稳定,则存在在N×R"上满足性质(2.1)的函数V(k,主).如果系统(1.1)是自治系统,则V(k,)可以选择为与k无关的函数.证明V(忌,)∈N×D,,设(r,k,)为离散动力系统(1.1)通过初始点(忌,)的轨道.由题设条件可知,存在J9∈KL使得ll(r,k,)ll≤p(1lll,r一是).利用文献[5]的命题7可知,存在a,y∈K..使得.(』9(lI,r一是))≤y(l1)exp{一),(2.6)其中9>0为待定的常数.定义函数V(k,)如下:V(k,)一defsupa(1l(r,k,)l1)exp{盟),(2.7)其中是使得exp{一鲁)≤告成立的常数,而取为>.的任何常数.取rl=k可得V(k,z)≥a(1l(忌,k,)l1)一a(1ll1)一defa(1ll1).同时有V(k,)≤sup(J9llll,r一是)exp{)≤y(Ill1)supexp{一.(~--2).(r--k)}≤y(1lXl1)一a.(1lXl1).而对于沿着轨道的差分,由于V(k+l,(忌+1,k,x=supa(I(r,k+l,~(k--kI,忌,))I)exp{)=supa(1,k,)exp{)exp{一第4期汪志鸣,等:非线性离散动力系统稳定性的等价定理15≤sup(I(r,k,z)I)exp()exp(一害).r≥^厶厶一(忌,z))exp(一A).因此可得A V(k,)一V(k+1,(忌+1,忌,z)--V(k,(是,k,z))~--V(k,(忌,k,z))(1一exp{一))≤一V(k,z)≤一1a(1lzl1)一def—a.(1lzl1),其中Ol.(1lXl1)为K函数.所以存在满足性质(2.4)的函数V(k,z).如果D一R,则r 可以选择为无穷大,所以函数V(k,z)在上满足性质(2.4),此时显然Ot∈K..,因而Ot∈K... 当系统(1.1)是自治系统时,如果(r)一(r,k,z)是系统(1.1)的解,则(r)一(r一忌,0,z)也是系统(1.1)的解,进一步,因为(忌)一z一(忌),所以(r)=(r),Vr≥忌.因此我们总可以取k一0.于是V(k,z)可以选择如下:(z)=defsupa(z(r,o,)l1)exp(),vzED.它与变量k无关.证毕.注:对于全局一致渐近稳定的情形,性质(2.4)中的K函数a.可以选为K...函数嘲. [参考文献][1]KokotovicP,ArcakM.Constriuctivenonlinearcontrol:Ahistoricalperspective[J~.Auto maticl,2001,37:637～662.[2]NesicD,TeelAR,KokotovicPV.Sufficientconditionsforstabilizationofsampled—datanonlinearsystemsviadis—crete-timeapproximatios[-J~.SystemsControlLetter,1999,38:259～270.[3]KhaililHK.NonlinearSysems[M].NewJersey,PrenticeHall:1996.[4]AgarwalRP.DifferenceEquationsandInequalities,Theory,Methods.andApplications[ M].NewY ork:MarcelDekker,Inc,2000.Is]mentsonintegralvariantsofISS[J].SystemsControlLetters,1998,34:93～100.[6]SontagEnSmoothstabilizationimpliescoprmefactorization[J].IEEETransAutomatCo ntrl,1989,34:435～443.EquivalentTheoremsforV ariousUniformStabilitiesofDiscrete-timeNonlinearSystemsW ANGZhi—ming,ZHENGYu—fan,DAIHao—hui(1.DepartmentofMathematics,EastChinaNormalUniversity,Shanghai,200062,China;puterSciencesDepartment,EastChinaNormalUniversity,Shanghai.200062.China )Abstract:EquivalenttheoremsintermsofclassKfunctionsarepresentedforuniformstability anduni—formasymptoticstabilityofdiscrete-timenonlinearsystems.Onthebaseoftheequivalentthe orems.thetheoremofuniformasymptoticstabilityforthediscrete-timenonlinearsystemsanditscomve rsetheoremarealsoobtained.Keywor~:nonlinearsystems;automaticcontrol:discrete-timedynamics。
S2-非线性离散系统
3.55
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2.1 解的形态及稳定性 问题1：如何观察和确定迭代解？ Poincare截面
3.8
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1
N 100
N 500
1 0.9 0.8 0.7
循环：扫描参数区间
循环：数值迭代 消除过渡过程并画图
2.1 解的形态及稳定性 问题4：分岔图的程序实现
2.1 解的形态及稳定性
2.1 解的形态及稳定性 【分岔】 随着参数的变化，动力系统的解的性态发生质的变化。
发生分岔的前提：失稳
分岔：把定常解、周期解的稳定性和混沌联系在一起。 运动稳定性：经典的课题 混沌：现代的课题
临界慢化现象：在解的性态发生改变的临界点处，过 渡过程变得很长，收敛速度变得非常慢。
2.1 解的形态及稳定性
一元一次离散映射系统数值迭代的问题： 观察和确定迭代解 临界点处的迭代：临界慢化现象 初值点对迭代解性态的影响 分岔图的绘制
2.1 解的形态及稳定性 问题3：初值对解的性态的影响
8 7 6 5 4 3 x 10
29
60
80
100
120
y = 4.7332e-031
f ( x) 2 x
2 1 0
2.1 解的形态及稳定性
f ( x) x(1 x)
x=0.1; u=0.5; for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y; end y
运行结果： y = 7.8544e-008
非线性系统的线性化处理方法
非线性系统的线性化处理方法,√j}/Z非线性系大连晨光科技开发邮王士和Tp~?/,2.在各种电气设备,自动控制装置,检查与测线段联结,用于分f与”0,则得到分段线性量用仪器仪表中经常碰到线性或近似线性系统.但是,在很多情况下,也会碰到非线性系统问题关于线性系统的理论分析与计算方法在许多文献中已有讨论但是,非线性系统的理论分析与计算方法在近二十年来一直引起人们的关注还有许多线性系统问题尚待讨论.本文试图就非线性系统中一些分支问题,探讨若干处理方法这里讨论的是稳态情况下若干种非线性问题的处理方法:1.线性化法(或分段线性化法);2.函数化法(或分段函数化法),或称经验公式法;3.数字化法等等.‘一,线性化法(或分段线性化法)假设有一含非线性铁心的电路.其磁化曲线具有图1a所示形状.由图可以看出,这是非线性的但是,如果通过原点至急剧弯曲部分画一条斜线oa代替oa弯曲线时,在理论分析与计算上可以得到符合工程实际需要的分析结论与计算结果.这一类处理工程计算的方法.称谓线性化法.H图1如果将磁化曲线画分成若干段.如图1b所……示.将O1,12,23,34,蛎,56各弯曲段甩近似直线n《■气开曩》(199鼍蹄Io-●)化法显然.它比线性化法更逼真一步.在工程分析与计算上将给出更满意的结果.二,函数化法(或分段函数化法)函数化法是将非线性特性曲线近似地用一个经验公式表达,用来分析各种工程技术问题. 显然,它能够给出的计算精确度决定于经验公式与实际曲线逼近程度例如.图l给出的磁化曲线可以用下式表示,即B:,(H)(1)或H一()(2)详见参考文献1中表1—1所示由各作者给出的磁化曲线经验公式.分段函数法是将非线性曲线分割成若干段,然后对各小段分别用某一函数表示.用这些表达式分析与处理各种技术问题.显然,比前一种方法更逼真一步.但是,应用上会带来许多麻烦.计算机的出现,给解决这类工程问题带来了方便.可以看出,分段线性化方法可视作分段函数法的一个特倒.三,数字化方法数字化方法实际上是将一连续变化的非线性特性曲线实施离散化,将其储存在计算机内, 根据计算程序需要随时调用(详见文献2)以上讨论了非线性系统的直接处理方法.主要用于:非线性元件,非线性线路非线性控制,测量与检查等系统的分析与计算.下面讨论若干间接处理方法四,非线性系统的线性变换法图2中的A环节是一个非线性元件或网路,B环节是另一个非线性元件或网络.此方法的基本思想是A环节在系统中无法直接应用其非线性输入一输出特性用B环节具有另一种非线性输入输出特性来补偿.如果B环节设一25—._,●计合理.可使总的输入一输出特性线性化,如图3所示.因此B环节称作对-A环节的整直环节(或元件).设A环节具有非缉眭函数关系X2= f.(x),B环节具有另_非线性爵数关系Xa—f(x).经过综合后.得到总的输入一输出特性为X.一c.X+线性关系.这就是通过整直环节(或元件)B将非线性环节(或元件)A的菲线性系统实现线性化的线性变换法.如果得到图3的直线,再进行技术处理就很方便.例如.如欲得到X一O时.xf一0{在x正向增加时x也正向增加.只需要在B环节后再增设一级移位倒向环节C就可H实现如图4,5趼示,网?I警l3—26I4瞄5五,非线性系统的补偿网路法非线性元件(或装置)采用线性R,L,C或非线性半导体器件等组成元件或网路可以对其非线性逐段地进行朴偿,以l达到更精确的变换, 例如,目前工业上应用的热电偶上采用的各种温度一电压线性变换网路等.六,非线性系统的数字化处理方法此方法与第四章相似,只是将非线性元件(或装置)输出的模拟量用集成电路(模片)交换成数字量,即进行A/D转换.但此数字量尚须经过专用单片机(例如EPROM或EEPR0M)处理之后,才能整直,送给数字显示器或其他控制部件.这时显示器的指示量与非线性元件(或装置)的输入量呈线性关系,关于其它特殊类型的非线性元件(或装胃=)的非线性特性需要根据要求进行线性化,例如, 开关控制元件对发电机进行电压自动调整等需要特殊处理,而不一定要求对其作线性化处理, 关于这些问题,可参考文献3,4.综上所述.在遇到非线性系统问题时.可以参考上面提出的方法进行处理当然.还可根据不同的具体问题提出新的处理方法,对于这方面的具体理论和技术工作,不仅需要对控制系统及其控制的对象有深刻的了解.而且还要有丰富的元器件的理论与实际知识.参考文献[1]王士和缩自动电礁装置,大连铁道学院, 1985[2:张冠生主编电器学,规被】:业m版社】980_l3]扬自厚主编自动控制原理,精金1:业出暖社,198O[4]蔡尚峰主编.自动控制理沧,机被业m版社,198l[5]尤德裴主编数字化酬量技术眨但器.机械】= 业出版社1980[6]常健生缩.捡j羹I与转换技术.机被丁=业m版社,1981[7]王士和郭永波带热电阻捡渊播的解舟折法电杂志】99o3[8]王士和孝章武王常有智艟化湿度控制倥●气开善》(1995N0_4)。
电网络 - 第一章网络理论基础(1)
例1-1：对图示三极管任选一端为参考 点则为二端口元件
b
c
e
3 容（允）许信号偶和赋定关系：
容（允）许信号流容（允）许信号偶，简称容许偶。记做：
u(t ) , i(t )
, 对n端口为: u(t ) , i(t )
容（允）信号偶相当于我们熟知的自变量的定义域和函数 值域的组合（构成的集合）。 赋定关系： 容（允）信号偶的全体称为赋定关系。
u 1
i1
多端口网络：按端口定义，二端网络一定是一端口（单口）网 络，四端网络不一定是二端口（一般不是）。如 果四端网络两对端子都满足端口条件，称为双口 （二端口）网络，是最简单的多口网络。如：理 变，运放，回转器等都是典型的双口网络。
（n＋1）端元件→共地n端口元件 2
i2 i1
1
in n in 1
3.本课程的主要内容：
教材的第一章~第七章的大部分内容，计划 40学时，21周考，详见后面的教学安排。
4.要求：
掌握基本概念和基本分析计算方法。使对电网络的 分析在“观念”和“方法”上有所提高。
5.参考书：
肖达川：线性与非线性电路
电路分析 邱关源：网络理论分析（新书，罗先觉）
第一章 网络理论基础
dL (t ) di1 (t ) d 1 i1 (t ) L(t ) u1 (t ) dt dt dt d 2 dL (t ) di2 (t )dL (t ) di1 (t T ) u 2 (t ) i2 (t ) L(t ) i1 (t T ) L(t ) dt dt dt dt dt
4 网络及其元件的性质(一)（分类依据）： 1） 集中性与分布性： 如果在任何时刻 t ，流入任一端子的电流恒等于其它端子流 出的电流的代数和，则该元件称为集中参数元件（简称集 中元件），否则称为分布参数元件（简称分布元件）。
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e * (t )
离散信号
F
E * ( s ) e
*
n
E ( s jn )
s
§1.2
信号采样与保持（7）
香农(Shannon)采样定理 — 信号完全复现的必要条件
2 s 2 h T
2 s < 2 h T
§1.2
1 * E ( s) T
信号采样与保持（4）
n
E ( s jn )
s
例3 e( t ) 1( t ) ，求 E * ( s)
解
1 * E ( s) T 1 s jn n s
e Ts Ts e 1
例4 e(t ) e at ，求 E * ( s)
数字系统 — 时间离散，数值离散
§1.1 信号采样与保持
A/D: 字长足够
D/A: 用 ZOH 实现 Shannon定理 t << T
等效为理想采样开关
e (t ) e(t ) T (t )
*
2 s 2 h T
或
T<
h
T (t )
n
s 2 T
1 * E ( s) T
n
E ( s jn )
s
1 0 1 1 T jn s t 2 cn T T ( t ) e dt 0 ( t ) 1 dt T T T 2 1 jn s t T (t ) e dt T n 1 1 jn t e * ( t ) e( t ) T ( t ) e( t ) e jn s t e( t ) e s T n T n 1 1 jn s t * L e ( t ) L e( t ) e T E ( s jn s ) n T n
1 * E ( s) T
n
E ( s jn
s
)
① 给出E*(s)与E(s)之间的联系； ② 一般写不成封闭形式； ③ 用于e*(t)的频谱分析。
§1.2
信号采样与保持（6）
频谱 — 信号按频率分解后的表达式
频谱
连续信号e(t)与离散信号e*(t) 的频谱分析
e(t )
连续信号
n 0
例1 e( t ) 1( t ) ，求 E * ( s)
解
E * ( s ) 1 e nTs
n 0
1 e Ts 1 e Ts e 2Ts Ts Ts 1 e e 1 例2 e(t ) e at ，求 E * ( s)
解
E * ( s ) e anT e nTs e ( s a ) nT
n 0
1 1 e ( s a )T
e Ts e e aT
n 0 Ts
§1.2
信号采样与保持（3）
cne jn s t dt
(3)傅氏变换 — T(t)是周期函数，可展开为傅氏级数
(1)控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律； (2)抗干扰性强； (3)一机多用，利用率高； (4)便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。 (1)采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能 会有所下降； (2)需附加A/D, D/A转换装置。
数字系统 — 时间离散，数值量化
2 s 2 h T
T< h
s 2h
采样开关 理想滤波器
§1.2
信号采样与保持（8）
§1.2.2 零阶保持器
k (t ) 1(t ) 1(t T )
1 e Ts Gh ( s ) L[ k ( t ) ] s
sin( t 2) j t Gh ( j ) T e t 2 2 s T
（3）D/A 过程
零阶保持器 (ZOH)
§1.1
离散系统 （5）
计算机控制系统的描述方法
§1.2
信号采样与保持（1）
§1.2 信号采样与保持
§1.2.1 信号采样 (1)理想采样序列
T ( t ) ( t nT )
n 0
e* (t ) e(t ) T (t ) e(t ) (t nT ) e( nT ) ( t nT )
离散与非线性系统理论
大连工业大学自信息科学与工程学院
离散系统
§1 线性离散系统的分析与校正
§1.1 离散系统 §1.2 信号采样与保持
§1
离散系统：
线性离散系统的分析与校正
系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码
§1.1 离散系统
离散系统类型： 采样系统 — 时间离散，数值连续
计算机控制系统的优缺点
解
1 * E ( s) T 1 e Ts s a jn eTs e aT n s
§1.2
信号采样与保持（5）
n 0
E * ( s ) e( nT ) e-nTs
① 给出E*(s)与e(t)在采样点上取值之间的关系；
② 一般可写成封闭形式；
③ 用于求e*(t)的z变换或系统的时间响应。
§1.1
离散系统 （2）
计算机控制系统
计算机控制系统
analog digital
§1.1
离散系统 （3）
（1）A/D 过程
•采样 — 时间上离散 •量化 — 数值上离散
理想采样过程
① t <<T 认为采样瞬时完成 ② 字长足够 认为 e*(kt)=e(kt)
§1.1
离散系统 （4）
（2）计算过程描述
( 2) L : E * ( s ) L e * ( t )
n 0
n 0
L e( nT ) ( t nT ) n0
e( nT ) e nTs
n 0
§1.2
信号采样与保持（2）
E * ( s ) e( nT ) e nTs
2
2 sin ( s ) j ( s ) Gh ( j ) e s ( s )
§1.2
信号采样与保持（9）
零阶保持器对系统的影响
1 e Ts Gh ( s ) s
e
Ts 2
课程小结
§1.1 离散系统
离散系统：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码 系统类型： 采样系统 — 时间离散，数值连续