隔震结构基于功率谱密度函数法的楼层反应谱分析

第２８卷第２期振动与冲击ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＢＲＡＴＩＯＮＡＮＤＳＨＯＣＫ隔震结构基于功率谱密度函数法的楼层反应谱分析曾奔１’２，周福霖２，徐忠根２（１．西安建筑科技大学，西安７１００５５，２．广州大学工程抗震研究中心，广州５１０４０５）摘要：采用锥体模型求得地基基础阻抗函数，推导出非结构构件（ＮＳＣ）的绝对加速度传递函数，利用随机振动理论。

通过功率谱密度函数法（ＰＳＤＦ）建立楼层反应谱（ＦＲＳ），并和人工合成地震波分析所得结果进行了对比。

研究结果表明，ＰＳＤＦ法用较少计算量就可以得到相当准确的ＦＲＳ，同时能与现行抗震规范很好的相结合。

基础隔震结构ＮＳＣ的峰值反应主要出现在隔震频率附近的低频段，增加隔震装置后土一结构相互作用（ＳＳＩ）出现不同程度的削弱，在隔震频率段最为显著。

关键词：非结构构件；基础隔震；功率谱密度函数；楼层反应谱；土－结构相互作用中图分类号：ＴＵ３５２．１＋２文献标识码：Ａ在一些重要建筑（如医院，核电站等）中，非结构构件（ＮＳＣ）（如家具，各种设备，管道等）在地震时对维持正常运作和生命安全都起着非常重要的作用。

当结构受到地震激励时，结构可能会起到放大地震的作用，使得楼层加速度大于地面峰值加速度（ＰＧＡ）。

如果ＮＳＣ的自然频率与结构物的自然频率接近，那么ＮＳＣ的峰值加速度（ＰＣＡ）就会远大于楼层峰值加速度（ＰＦＡ），从而遭受到严重破坏。

目前主要是通过建立楼层反应谱（ＦＲＳ）来考虑ＮＳＣ的安全和运作。

１。

２ｏ。

同时，基础隔震通过调整结构的振动周期，避开地震的卓越周期来减小结构的加速度反应，并通过隔震系统的阻尼来吸收地震输入的能量，从而控制结构的反应－３‘；而考虑ＳＳＩ后会对隔震体系的隔震机理产生直接的影响一。

因此有必要在考虑ＳＳＩ的影响后来对隔震结构中ＮＳＣ作ＦＲＳ分析。

建立ＦＲＳ大致有两种方法：１）确定性方法，即通过合成与期望反应谱相一致的人工地震波对结构作时程分析，从而求得特定时程下的ＦＲＳ；２）概率方法ｐ。

ｏ，即根据随机振动理论求出与目标反应谱相一致的功率谱密度函数（ｒ丐ＯＦ），再由ＮＳＣ与基底激励的传递函数得到其响应的ＰＳＤＦ，进而计算其均方根值（ｒ．ｍ．ｓ）与相应的峰值因子从而得到统计意义上的ＦＲＳ。

１运动方程如图ｌ所示，考虑一多层剪切结构体系，隔震层设在结构底部位置，基础为一矩形明置板。

假设基础的输入运动为地基土自由场运动互，（ｆ）并且基础底板表现为刚性，则可以忽略自由场输入的摆分量动性相互作基金项目：国家自然科学基金项目（５０６０８０２１）；科技部重大基础研究前期研究专项（２００４ＣＣＡ０３３００）收稿日期：２００８—０７—１２修改稿收虱Ｊ日期：２００８—０４一ｕ第一作者曾奔男，博士生，１９７９年生用。

此时，基础底板的绝对平移和摆动分量为菇。

（ｔ）和移。

（ｔ），隔震层的平移分量为菇。

（ｔ）。

利用子结构法，上部结构所受的作用有：１）基底激励茹。

（ｔ）＋互。

（ｔ）和日６（ｔ）；２）基础和地基土的相互作用（即基底剪力Ｖ（ｔ）和弯矩Ｍ（ｔ）。

于是上部结构的运动方程可写成：Ｍｘ（ｔ）＋西（ｔ）＋Ｋｘ（ｔ）＝一Ｍ１ｚｏ（ｔ）～Ｍ１名６（ｔ）一Ｍｈ０６（ｔ）＋｛以ｔ）｝（１）＿＿＿－一％／／＿－～‰啊４ｐ■－～７坍．，？砩产－、０。

Ｍ，Ｃ和Ｋ分别代表上部结构的质量、阻尼和刚度矩阵，ｘ（ｔ）为结构相对于隔震层的位移向量，１代表单位向量，ｈ（＝｛ｈ。

，ｈ：，…，ｈ。

｝）代表结构各楼层至基础底板的高度，｛，（ｔ）｝为ＮＳＣ作用于相应楼层的力向量。

利用振型正交特性，结构运动方程可表示如下：ｑ，（￡）＋２孝，ｃ￡Ｊ，ｑ，（ｔ）＋∞；ｇ，（￡）＝一Ｏ／，［戈ｏ＋戈６（ｔ）］一ｙ，０６（ｔ）＋币：¨口（ｔ）ｒ＝１，２，…，ｎ（２）ｑ，（ｔ）是正交化后振型幅值向量，ａ，（＝｛西¨’｝１ＭＩ）为平移振型参与系数，ｙ，（＝｛咖¨’｝ｒＭｈ）摆动振型参与系数，秽（ｔ）是第Ｐ层ＮＳＣ的作用力，∞，和ｆ，分别是自然频率和阻尼比。

把方程（２）中ｑ，（ｔ）和各正交振型相乘后再叠加可得结构第Ｐ层的结构位移为：譬第２期曾奔等：隔震结构基于功率谱密度函数法的楼层反应谱分析３７％（ｔ）＝主掣［一《。

一曲小）一ｙ兢㈤＋科一帕）］＿ｒ＝１∞．ｒ童ｆｆｉｌ警晡（ｆ）蟛础㈤］Ｐ＝１，２，…，／７，（３）毹”为ｒ振型的第Ｐ个分量。

注意到方程右边的第一部分代表着准静态部分省。

（ｔ）。

把方程（１）左边的前两个部分去掉可得到同样的结果；第二部分则可以用前龛（＜凡）个振型近似得到‘７１。

对方程（３）两边作傅里叶变换后，则Ｐ层结构位移在频域内可表示为：茗，（∞）＝一【∑，Ｐ。

Ｍｉ】（菇。

（甜）＋茹ａ（∞））一耋％鸠¨移。

（∞）＋％”（∞）ｒ主ｆｆｉｌ警（ｎ，２—２蘑，山∞，）ｇ，（∞）Ｐ＝１，２，…，ｎ（４）Ｅ为结构柔度矩阵［Ｆ］（＝［Ｋ］一）第Ｐ行ｉ列的值，％（ｃ￡，），‰（∞），算６（∞），０５（∞），ｔ）（０７）和ｇ，（∞）分别为龙。

（ｔ），‰（ｔ），钆（ｔ），吼（￡），秽（ｔ）和ｇ，（ｔ）的傅里叶变换。

对方程（２）同样作傅里叶变换后可得：ｇｒ（∞）＝珥（∞）［一０【，（互。

（∞）＋互６（ｃｔ，））一竹移６（∞）＋越一ｔＪ（０２）］ｒ＝１，２，…，ｎ（５）珥∞）。

万孑蒜∞，一∞十ｚ玷，ｃｃ，，叫ｒ＝１，２，…，ｎ（６）且（∞）为振型传递函数。

利用方程（５）把方程（４）表示成：％（∞）＝一Ｂｐ（∞）［茹。

（∞）＋菇。

（∞）］一匕（∞）舀。

（ｃＩ，）＋％（∞）秽（ｎ，）］（７）Ｂｐ（∞）＝∑‘。

Ｍｉ＋∑等ｘ，ｉ（∞２—２蟮倒，）ｑ皿（ｃｃ，）ｌ；ｌｒ＝１Ⅲ，（８）ｙＰ（甜）＝耋‘。

Ｍ＾＋ｒ主＝ｌ警（∞２—２蟮，∞婶）ｙ，珥（∞）（９）％（∞）＝‰＋耋警（∞２—２鼬¨秽帆∞）（１０）Ｂ。

（（ｃ，）和ｙｐ（∞）分别代表着当不考虑次结构与主结构的相互作用时，第Ｐ层楼层位移相对于平移和摆动加速度的传递函数。

Ｄｐ。

（∞）表示当力作用于上部结构的第个ｋ自由度时（不考虑地面激励和ＮＳＣ），相同的响应（七部结构固定）。

为了得到相互作用中，基础的绝对平移，摆动加速度和隔震层的平移加速度互。

（ｔ），玩（ｔ）和互。

（ｔ）我们在频域内建立整个隔震结构系统的相互作用方程如下：Ｊ７』ｌｆ叠（∞）＋（ｍｒ＋，ｎ６）茹６（０２）＋ｍｒ茹ｏ（∞）＋ｄｒ移６（∞）＋ｙ（∞）一∑Ｚ（∞）＝０（１１）ｈＴＭｘ（∞）＋ｄｒ茹６（山）＋ｄｒ菇ｏ（∞）＋，ｒ汐６（∞）＋肘（∞）一∑＾Ｚ（∞）＝０（１２）ｍ６菇６（ｃ【＇）一ＣＯ茹ｏ（∞）一七。

菇ｏ（∞）＋ｙ（∞）＝０（１３）这里后。

和Ｃ。

是隔震层的刚度和阻尼系数，ｉｎ，＝三ｍ，是结构和基础隔震层的总质量；而，ｒ＝ｔ＋厶＋乏ｍ，危；是结构，隔震层和基础底板相对底板中心的总惯性矩，ｄｒ＝磊％以。

｛黝）＝［黜Ｋ蚓∥圳。

－－∞Ｘ，ｇＫＯｂ㈨’）【肘（∞）Ｊ【翰，（（￡’）Ｍ（∞）Ｊ【（∞）Ｊ（１４）这里Ｖ（ｎ，），膨（甜），钆（∞），髫。

（∞）分别是Ｖ（ｔ），Ｍ（ｔ），菇６（ｔ），‰（ｔ）的傅里叶变换。

ｋ（∞），Ｋｗ（∞），ＫＭ，（∞），Ｋ删（０５）是地基基础的阻抗函数，它们和激振频率、土的类别和基础形状有关旧Ｊ。

联立方程（７），（１１），（１２），（１３）和（１４）可得：菇。

（∞）＝ｚ”（ｎＪ）茹。

（∞）＋∥（∞）疋：２’（∞）（１５）舀６（ｃＩＪ）＝疋；”（∞）茹，（∞）＋移（∞）疋；２’（∞）（１６）互ｏ（∞）＝“”（∞）茹。

（（ｃ，）＋秽（∞球２’（∞）（１７）疋：”（∞）并∥（∞）和毹”（∞）分别是基础底板相对于自由场运动的平移和摆动的传递函数和隔震层相对于自由场运动的传递函数，而疋：２’（∞），ｘ；２’（∞）和“２’（∞）则分别为它们相对于主次结构相互作用力的传递函数。

把它们都代入方程（７）后得：石，（∞）＝一Ｂ７Ｐ（∞）戈，（埘）（ｉ∞ｃ，＋墨）・Ｄ’。

（∞）ｕ（∞）（１８）Ｂ７，（∞）＝Ｂｐ（Ｏ．／）［蠢”（∞）＋疋：１’（Ｏ．／）］＋ｙｐ（∞）爿；¨（∞）（１９）Ｄ’即（似）＝Ｄ即（Ｏ．／）一ＢＰ（（Ｅ，）（毹”（∞）＋疋：２’（ｎＪ））一匕（∞）疋；２’（埘）（２０）方程（１８）描述了上部主结构对地基土自由场输入（第一项）和ＮＳＣ的位移（第二项）的响应。

下面列出解耦后ＮＳＣ的运动微分方程如下：五（ｔ）＋２ｆ；ｔＯ，矗（￡）＋∞；“（ｔ）＝一菇，（ｆ）一互ｏ（ｆ）一互６（￡）一ｈｐ舀６（￡）？（２１）这里ｑ和￡分别是非结构构件的自然频率和阻３８振动与冲击２００９年第２８卷尼比。

对式（２１）进行傅里叶变换，并用式（１５），（１６），（１７）和（１８）代入，可把上式整理成：ｕ（甜）＝Ａ，（∞）算，（ｃｃＪ）＋Ｅｐ（∞）艽，（ｍ）（２２）Ａ。

（ｃｃＪ）＝∞２ｈ，（∞）１＋＾。

（∞）［“２’（∞）＋疋：２’（∞）＋＾爿；２’（∞）］（ｉｔｏＣ；＋Ｋ）（２３）Ｅｐ（（ｃＪ）＝一ｈ，（∞）［ｘｊ”（∞）＋疋：＂（∞）＋疋；＂（山）］１＋ｈ，（（ｃ，）［疋；２’（∞）＋ｔ２’（∞）＋尼戈；２’（∞）］（ｉｔｏＣ，＋Ｋ）（２４）Ａ。

（ｃｃＪ）表示当无地面激励时，ＮＳＣ的位移相对于主结构第Ｐ个自由度的位移的传递函数；而Ｅ。

（（￡，）则表示当ＮＳＣ放置在基础固定的隔震结构中ＮＳＣ的位移相对于地面加速度的传递函数。

ｈ，（∞）＝（（【，；一∞２＋２泐。

∞）一为ＮＳＣ的位移相对于基底激励的传递函数。

把方程（２２）代入方程（１８）中，我们可得：戈ｐ（山）＝Ｈ７Ｐ（∞）省ｇ（∞）（２５）吣，＝等笺岩搿冶群≯（２６）、由式（２６）我们可看到当忽略上部结构与ＮＳＣ的相互作用时，Ｈ’。

（∞）＝一Ｂ’。

（∞）。

最后可把ＮＳＣ的位移表示成：“（∞）＝ｈ’（ｎ＇）戈。

（缈）（２７）ｈ’（∞）＝Ａ，（（【，）Ｈ’，（叫）＋Ｅ，（∞）为ＮＳＣ的相对基底激励加速度的传递函数。

注意到（一∞２ｕ（（ｃＪ）一∞２戈。

（甜）＋ｘｏ（∞）＋ｘ６（∞）＋ｈｐ移６（∞））代表了ＮＳＣ的绝对加速度响应，因此其传递函数可表示成：，妒（∞）＝“¨（０９）＋ｔ¨（（１Ｊ）＋＾ｚ；¨（（￡Ｊ）＋［惑２’（∞）＋■２’（（ｃ，）＋＾爿；２’（∞）］（ｉｗＣ，＋Ｋ）ｈ’（山）一∞２［ｈ’（（￡，）＋日７。

（∞）］（２８）由式（２８）利用随机振动理论一Ｊ我们可以得到其响应的ＰＳＤＦ，计算其均方根值（ｒ．ｍ．ｓ）与相应的峰值因子就可以得到统计意义上的ＦＲＳ。

２算例分析如表１所示，以５层剪切型结构为例。

考虑三种不同剪切波速的地基土秽。

＝３００，１００，５０ｍ／ｓ。

地基的动力阻抗由文献［１０］中的方法计算。

结构、隔震层、刚性基础和地基各参数列表中。

隔震层刚度的选取是由不考虑ＳＳＩ影响时，假设隔震后上部结构以刚体形式运动，则其振动周期为％＝２∥￣／ｋ／ｍ，，隔震后使％远离地震波的卓越周期，表１中取％＝２．５ｓ来选取‰。