不定积分求解方法-换元法
不定积分求解方法-换元法
例1. 求 (a x b )m d x(m 1 ).
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = um 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
1 (axb)m1C a(m1)
注: 当 m1时
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例2. （P222）求
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一、第一类换元法 （P221）
定理1. 设f (u)有原函,数u(x)可导 ,则有换元
公式
f[(x) ](x)dx f(u)du u(x) 即 f[(x) ](x)dxf((x)d )(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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3
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dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2
1 a2
dx 1(( aaxx )) 2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1a
du 1 u
2
1arctaunC a
1arctax)n(C aa
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
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例3. （P223） 求
解:
tanxdx
sin xdx cosx
dccoossxx
ln co x sC
类似
coxtdx? cosisnxxdx
dsinx sinx
lnsixnC
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例5. （P223）求
dx x2 a2
.
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a ) (x a )1( 1 1 ) ( x a )( x a ) 2a xa xa
不定积分的换元积分法
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
不定积分计算方法总结
不定积分计算方法总结不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。
在实际问题中，我们经常需要对函数进行不定积分来求解问题。
不定积分的计算方法有很多种，本文将对常见的不定积分计算方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握不定积分的计算技巧。
一、基本积分法。
基本积分法是指根据不定积分的基本性质和常用函数的积分公式进行计算的方法。
常见的基本积分公式包括幂函数的不定积分、三角函数的不定积分、指数函数的不定积分、对数函数的不定积分等。
在使用基本积分法时，需要熟练掌握各种函数的积分公式，并灵活运用。
二、换元法。
换元法是不定积分中常用的一种计算方法，它通过代换变量的方式将原函数转化为一个更容易积分的形式。
常见的换元法包括代数换元法、三角换元法、指数换元法等。
在使用换元法时，需要选择合适的代换变量，并进行变量的替换和微分运算，最终将原函数转化为容易积分的形式。
三、分部积分法。
分部积分法是求不定积分中常用的一种方法，它通过对积分式进行分解，然后利用分部积分公式进行计算。
分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v分别为原函数中的两个部分。
在使用分部积分法时，需要选择合适的u和dv，并进行适当的求导和积分运算。
四、特殊函数的积分计算方法。
在实际问题中，常常会遇到一些特殊函数的不定积分计算，如有理函数、反三角函数、反双曲函数等。
针对这些特殊函数，我们需要掌握相应的积分计算方法，如部分分式分解法、反三角函数的积分计算公式等。
通过熟练掌握特殊函数的积分计算方法，可以更好地解决实际问题中的不定积分计算。
五、综合运用不同方法。
在实际问题中，不定积分的计算往往需要综合运用多种方法。
我们需要根据具体的函数形式和积分式的特点，灵活选择合适的计算方法，有时甚至需要多种方法的组合运用。
通过综合运用不同的计算方法，可以更高效地解决复杂函数的不定积分计算问题。
总结：不定积分的计算方法有很多种，每种方法都有其适用的范围和特点。
不定积分求解方法换元法
不定积分求解方法换元法一、基本思想换元法的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数中的一部分可以化简为对新变量的导数形式。
这样可以将原函数转化为一个更简单的函数，然后再进行积分。
二、具体步骤1.选择合适的变量代换。
在进行变量代换时，可以根据问题的特点和被积函数的形式灵活选择。
常用的变量代换有：（1）令u=f(x)代替被积函数中的一部分。
（2）令u=g(x)代替被积函数的整体。
（3）令x=h(u)代替被积函数中的一部分。
2.求解变量代换的导数和逆变换。
求解变量代换的导数是为了将原函数的微元dx转化为新的变量的微元du。
而逆变换是为了将积分结果转化为原函数形式。
3.将被积函数转化为新变量的导数形式。
将原函数中的dx全部用du表示，然后将被积函数进行替换，得到新变量的导数形式。
4.进行积分。
将被积函数转化为新变量的导数形式之后，进行积分即可。
此时的积分可能会更加简单，容易求解。
5.最后进行逆变换。
将得到的积分结果重新转化为原函数形式，即完成了不定积分的求解。
三、实例应用下面通过几个实例来具体说明换元法的应用。
例1. 计算不定积分∫(x^2+1)√x dx。
解：首先令u = x^(3/2)，则du = (3/2)x^(1/2)dx。
将被积函数进行替换，得到∫(u-1)du。
再进行积分，得到u^2/2-u+C。
最后进行逆变换，得到(x^(3/2))^2/2-x^(3/2)+C=x^3/4/2-x^3/2+C。
例2. 计算不定积分∫(e^x/(1+e^x))dx。
解：将分母1+e^x视为u，即u=1+e^x，则du = e^xdx。
将被积函数进行替换，得到∫du/u。
再进行积分，得到ln，u， + C。
最后进行逆变换，得到ln，1+e^x， + C。
例3. 计算不定积分∫(sinx)/(1+cos^2x)dx。
解：将分母1+cos^2x视为u，即u=1+cos^2x，则du = -2cosxsinxdx。
不定积分求解方法
不定积分求解方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是定积分的反运算。
在实际问题中，我们常常需要对某些函数进行不定积分求解，以便得到函数的原函数表达式。
下面，我将介绍几种常见的不定积分求解方法，希望能够对大家有所帮助。
一、换元法。
换元法是不定积分中常用的一种方法。
当被积函数中含有复杂的函数形式时，可以通过引入新的变量来简化积分。
具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。
2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。
3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。
4. 进行变量代换，将原不定积分转化为新的不定积分。
5. 求解新的不定积分，得到结果后，将代换变量重新换回原来的变量。
二、分部积分法。
分部积分法是求解不定积分中常用的另一种方法。
当被积函数为两个函数的乘积形式时，可以通过分部积分法将原不定积分转化为另一个不定积分，从而简化求解过程。
具体步骤如下：1. 选择一个函数作为u，选择另一个函数的导数作为dv。
2. 对u进行求导，得到du；对dv进行不定积分，得到v。
3. 将原函数中的乘积形式表示为uv的形式。
4. 使用分部积分公式进行求解，得到结果。
三、有理函数的不定积分。
对于有理函数的不定积分求解，可以通过分解成部分分式的形式，将原函数表示为几个简单函数的和的形式，从而进行逐个求解。
具体步骤如下：1. 对有理函数进行因式分解，将其表示为几个一次或二次多项式的和的形式。
2. 对每一个简单函数进行不定积分求解，得到结果。
3. 将每个简单函数的不定积分结果相加，得到原有理函数的不定积分结果。
四、倒代换法。
倒代换法是一种特殊的不定积分求解方法，适用于一些特殊形式的不定积分。
具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。
2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。
3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。
不定积分方法总结
A(a cos x b sin x) B(a cos' x b sin' x) 来做。 a cos x b sin x
sin x cos x 或 cos x sin x
。再用待定系数
简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
1 5 2 3 t t t c 5 3 1 (8 4 x 2 3 x 4 ) 1 x 2 c 15
例4
求
1 dx x ( x 7 2)
解：令 x 1 dx 1 dt 2
t t
1 t 1 x( x7 2) dx 1 7 ( t 2 )dt ( ) 2 t
1 arctan( x 2 ) c 2
例5
求
1 1 e x dx
1 ex ex ex 1 e x dx (1 1 e x )dx 1 dx d (1 e x ) x ln(1 e x ) c x 1 e
解法一：
1 1 e x dx
2 a （ 1 sin 2 t） a costdt
a
2
cos2 tdt
1 cos 2t a2 a dt 2 2
a2 1dt 2
cos 2tdt
a2 a2 1 t ( sin 2t ) c 2 2 2
sin t cost
x a a2 x2 a x a2 x2 a2
f ( x)dx [ f [ g (t )]g ' (t )dt]
t g 1 ( x )
例1
不定积分换元法
不定积分换元法1. 引言在微积分中，不定积分是求函数的原函数，也就是求导函数的逆运算。
不定积分换元法是一种求解复杂函数的不定积分的方法，通过引入一个新的变量来替代原函数中的一个或多个变量，从而简化不定积分的求解过程。
2. 换元法的基本思想换元法是一种利用代换来简化不定积分的方法。
它的基本思想是通过引入一个新的变量来代替原不定积分中的一个或多个变量，使得不定积分式子变得更加简单，从而更容易求解。
3. 换元法的步骤换元法的求解步骤如下：步骤1：选择合适的换元变量首先需要选择一个合适的变量来替代原不定积分中的一个或多个变量。
选择合适的换元变量是换元法的关键。
步骤2：计算新的不定积分将原不定积分中的变量用选定的换元变量表示，并计算出新的不定积分。
步骤3：替换回原变量将新的不定积分表达式中的换元变量替换回原变量，得到最终的不定积分表达式。
步骤4：确定积分常数在求得最终的不定积分表达式后，需要确定积分常数。
4. 换元法的应用举例以下举例说明换元法在不定积分中的应用：例1：求解∫(2x + 1)³ dx步骤1：选择合适的换元变量，令u = 2x + 1。
步骤2：计算新的不定积分，将原不定积分中的变量用u 表示，得到∫u³ du。
步骤3：替换回原变量，将u³替换成(2x + 1)³，得到最终的不定积分表达式∫(2x + 1)³ dx。
步骤4：确定积分常数。
最终得到∫(2x + 1)³ dx = (2x + 1)⁴/4 + C，其中C为积分常数。
例2：求解∫(sin 2x) dx步骤1：选择合适的换元变量，令u = 2x。
步骤2：计算新的不定积分，将原不定积分中的变量用u表示，得到∫sin u du。
步骤3：替换回原变量，将sin u替换成sin 2x，得到最终的不定积分表达式∫(sin 2x) dx。
步骤4：确定积分常数。
最终得到∫(sin 2x) dx = -1/2 cos 2x + C，其中C为积分常数。
不定积分
dln x
dsin x
(6) f (cos x)sin xdx
dcos x
(7) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(8) f (e x )e x dx
de x
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d(arcsin
x)
f (arccos x)
x
1 1
t t
2 2
原式
1
2t 1t 2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
dx
1
2 t
2
dt
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
x) c
09数二三 计算不定积分
ln(1
1 x )dx x
(x 0)
令
1 x t
x
原式 ln(1 t) 2t dt ln(1 t) 1 d (t2 1)
(t 2 1)2
(t2 1)2
ln(1
t)d
( t
1) 2 1
ln(1 t) 1 1 dt
例4. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
不定积分的换元法
一般的说，若积分 f (x)dx不易计算可以作适当的
变量代换 x (t) ，把原积分化为 f ((t))'(t) dt 的形
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t 1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
应用第二类换元法求不定积分的步骤为
f
( x) d
x
x
换元
(t)
f
(t)
'(t ) d
t
g(t)d t
F(t)
C
还原
(t)
x
F
1(t) C
第二类积分换元法 分为两种基本类型根 三式 角代 代换 换
例6 求
x dx. 1 x
解 令 1 x t，得x 1t2，得dx 2tdt，所以有
x 1
x
dx
1t
t
2
2tdt
2 (1 t2)dt
ln
x a
x
2 a
a
2
C
.
x2 a2
x
t a
练习：P109 1（12）
小结：二类换元积分法的思想与步骤
作业：P109 1（1）、（4）、（10）
C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
x2
4dx
1 2
udu
练习：P109 1（2）、（5）、（15）
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量替换 u ( x)
将积分
f [( x)]( x)dx化为积分 f (u)du
下面介绍的第二类换元法是通过变量替
换 x (t) 将积分
f ( x)dx化为积分 f [(t)](t)dt
求不定积分的几种基本方法
由此可见，一般地，如果积分
利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式 g x dx 能表示为 g x dx f x x dx f x d x 的形式，且
g x dx
f ( u ) d u 较易计算，那么可令 u x ,
目录 上一页 下一页 退 出
一般地，如果 F ( u ) 是 f ( u )的一个原函数，则
1 3 sin x sin x C. 3
而如果
f ( u ) d u F ( u ) C,
u 又是另一个变量
x 的函数 u x , 且
x 可微，那么根据复合函数的微分法，有
例4 求
解
x
则
x 1dx.
2
2 u x 1, 令
，
1 2 2 x x 1d x x 1( x 1)dx 2 1 x 2 1d( x 2 1) 2 1 1 3 u du u 2 C 2 3
2
3 1 2 ( x 1) 2 C. 3
故
1 x a
2 2
dx
a sec t tan tdt sec tdt a tan t
ln sec t tan t C1
x x2 a2 ln C1 ln x x 2 a 2 C , a a
其中 C C1 ln a ,当 x (, a) 时,可令 x a sec t ,
a
因而
1 cos 2t a x dx a cos t a cos tdt a cos tdt a dt 2 2 2 2 a 1 a a (t sin 2t ) C t sin t cos t C 2 2 2 2
不定积分求解方法
不定积分求解方法不定积分是高等数学中的重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分的求解方法有很多种，下面将介绍其中的几种常见方法。
一、换元法换元法是不定积分中最常用的方法之一。
它的基本思想是将被积函数中的自变量用一个新的变量来代替，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
具体来说，设被积函数为f(x)，将x用一个新的变量u来代替，即x=g(u)，则有：∫f(x)dx=∫f(g(u))g'(u)du其中g'(u)表示g(u)的导数。
换元法的关键在于选择合适的代换变量，使得被积函数能够被简化或者消去。
二、分部积分法分部积分法是另一种常用的不定积分求解方法。
它的基本思想是将被积函数分解成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
具体来说，设被积函数为f(x)g(x)，则有：∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫f'(x)∫g(x)dx dx其中f'(x)表示f(x)的导数。
分部积分法的关键在于选择合适的f(x)和g(x)，使得被积函数能够被简化或者消去。
三、三角代换法三角代换法是一种特殊的换元法，它适用于被积函数中含有三角函数的情况。
具体来说，设被积函数为f(x)，将x用一个新的变量t来代替，即x=a tan t，则有：∫f(x)dx=∫f(a tan t) a sec^2 t dt其中sec t=1/cos t。
三角代换法的关键在于选择合适的三角函数，使得被积函数能够被简化或者消去。
四、分式分解法分式分解法适用于被积函数为有理函数的情况。
具体来说，将被积函数表示为若干个分式的和的形式，然后利用部分分式分解公式将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
分式分解法的关键在于选择合适的分式分解方式，使得被积函数能够被简化或者消去。
以上是不定积分求解的几种常见方法，当然还有其他的方法，如换元积分法、对数代换法等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法，以便更快地求解不定积分。
求不定积分的几种基本方法
求不定积分的几种基本方法不定积分是微积分中的基本概念之一，是求一个函数的原函数。
在求解不定积分时，常用的方法包括换元法、分部积分法、三角换元法、特殊函数换元法、配凑等多种方法。
以下将对这几种方法进行详细介绍。
一、换元法（又称代换法）：换元法是求解不定积分中最基本的方法，其思想是通过对变量的替换，将被积函数化为一个易于求解的积分。
具体步骤如下：1.选择合适的变量代换，通常是根据被积函数的形式来选择。
2.计算并代换各项的微分。
3.用新的变量积分，并将积分结果代回原来的变量。
二、分部积分法：分部积分法是求解不定积分时，将被积函数进行分解的一种方法，通常适用于乘积形式的积分。
具体步骤如下：1.首先选择两个函数u和v，并使用乘积法则对被积函数进行分解。
2.对分解后的两个函数分别进行求导和求积分。
3.将求导后的函数与求积分后的函数相乘，并进行积分。
三、三角换元法：三角换元法适用于被积函数中含有三角函数，并通过选择适当的三角函数进行替换，将被积函数转化为更容易求解的形式。
具体步骤如下：1.根据被积函数中的三角函数形式，选择适当的三角函数代换。
2.将选取的三角函数形式与被积函数进行代换，并计算各项的微分。
3.用新的变量积分，并将积分结果代回原来的变量。
四、特殊函数换元法：特殊函数包括指数函数、对数函数等，在一些特殊的情况下，选择特殊函数进行代换可以简化不定积分的求解。
具体步骤如下：1.根据被积函数的形式，选择合适的特殊函数代换。
2.将选取的特殊函数与被积函数进行代换，并计算各项的微分。
3.用新的变量积分，并将积分结果代回原来的变量。
五、配凑法：配凑法适用于被积函数中含有多项式，并通过加减两个不同的式子，消除被积函数中项的系数或幂。
具体步骤如下：1.将被积函数根据其形式和分子分母进行分解。
2.根据消项的需要选择合适的多项式进行配凑，并将两个式子相加或相减。
3.对配凑后的式子进行不定积分。
综上所述，不定积分的基本方法包括换元法、分部积分法、三角换元法、特殊函数换元法和配凑法。
求不定积分的若干方法
求不定积分的若干方法一、换元法换元法是求不定积分常用的一种方法之一、通过引入一个新的变量，使得原积分的形式更加简单化，从而更易求解。
1. 微分换元法：设 u=g(x)，则 du=g'(x)dx，通过替换变量 x 和dx，将原积分转化为对新变量 u 的积分。
例子：求∫(2x+1)²dx。
取 u=2x+1，则 du=2dx，将积分转化为∫u²/2du=u³/6+C=(2x+1)³/6+C。
2.三角换元法：根据三角函数的性质，通过适当的三角函数换元，将积分转化为更简单的形式。
例子：求∫sin²xdx。
利用三角公式sin²x=(1-cos2x)/2，将积分转化为∫(1-cos2x)/2dx=x/2-sin2x/4+C。
3.指数换元法：常用于含有指数、对数函数的积分求解。
通过引入指数函数或对数函数，将积分转化为更易处理的形式。
例子：求∫eˣsinxdx。
利用指数换元 eˣ=sinhx+coshx，将积分转化为∫(sinhxcoshx+cos²hx)dx=(1/2)sinh²x+(1/2)x+C。
二、分部积分法分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。
对于积分中的乘积形式，可以通过分部积分来简化积分的形式。
公式：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx，其中 u(x) 和 v(x) 是可导的函数。
例子：求∫xlnxdx。
取 u=lnx，v'=xdx，则 u'=1/x。
利用分部积分公式，可得∫xlnxdx=(1/2)x²lnx-(1/2)∫xdx=(1/2)x²lnx-(1/4)x²+C。
三、特殊函数的不定积分1.幂函数的不定积分：- 当n≠-1 时，∫xⁿdx=(xⁿ⁺¹)/(n+1)+C；- 当 n=-1 时，∫(1/x)dx=ln，x，+C。
不定积分换元法公式
不定积分换元法公式不定积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量替换原积分中的变量，从而将原积分转化为新的不定积分，进而更容易求解。
不定积分换元法公式主要包括两种形式：第一类换元法和第二类换元法。
接下来，我将详细介绍这两种形式的公式及其应用。
一、第一类换元法：第一类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的变量，一般选择不定积分的变量作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则原不定积分可表示为∫f(x)dx = ∫h(u)du，其中h(u)为f(x)与g(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫h(u)du = ∫h(g(x))g'(x)dx二、第二类换元法：第二类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的一部分表达式，一般选择积分中的一部分表达式作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则将表达式f(x)dx进行替换，可得∫f(x)dx =∫g'(x)h(u)du，其中g'(x)为新变量u关于x的导数，h(u)为f(x)dx与g'(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫g'(x)h(u)du通过以上两种换元法，可以将原不定积分转化为新的不定积分，然后利用新的不定积分公式及基本积分公式进行求解。
下面举例说明这两种换元法的应用。
（1）第一类换元法的应用：求解∫(2x + 1)²dx。
设u = 2x + 1，则du/dx = 2将du/dx代入原式，并将原积分中的x用u表示∫(2x + 1)²dx = ∫u² * (1/2)du = (1/2) * ∫u²du = (1/2) * u³/3 + C = (1/6)(2x + 1)³ + C。
求不定积分的基本方法
求不定积分的基本方法不定积分是微积分中的一个重要概念，也是求解函数原函数的方法。
本文将介绍一些求不定积分的基本方法和技巧。
1.换元法换元法是求不定积分中常用的方法之一，其基本思想是通过变量代换，将原函数转化为另一个函数的积分形式。
换元法的步骤如下：Step 1: 选择合适的变量代换，使得被积函数简化或变得更容易积分。
Step 2: 计算新函数的导数，得到对应的微分形式。
Step 3: 将原函数转化为新函数的积分形式。
Step 4: 对新函数进行积分计算。
Step 5: 将得到的积分结果重新换回原来的变量。
例如，考虑求解不定积分∫(x^2 + 1) dx，可以选择变量代换u =x^2 + 1，然后计算出du = 2x dx。
将原函数转化为∫du，对u进行积分得到u + C。
最后将u重新换回x^2 + 1，则不定积分的结果为∫(x^2 +1) dx = (x^2 + 1) + C。
2.分部积分法分部积分法是求不定积分中另一个常用的方法，其基本思想是将被积函数的乘积分解为两个函数的积分和。
分部积分法的步骤如下：Step 1: 选取一个分解方式，将被积函数分解为两个函数的乘积形式。
Step 2: 对其中一个函数进行求导，得到对应的微分形式。
Step 3: 将原函数转化为两个函数的积分形式。
Step 4: 对两个函数进行积分计算。
Step 5: 根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，计算得到最终的积分结果。
例如，考虑求解不定积分∫x e^x dx，可以选取分解方式为u = x，dv = e^x dx，然后计算出du = dx，v = ∫e^x dx = e^x。
根据分部积分公式，可得∫x e^x dx = x e^x - ∫e^x dx = x e^x - e^x + C。
3.三角代换法三角代换法是求解含有三角函数的不定积分的一种常用方法，其基本思想是通过三角函数的性质将含有根号下多项式的积分转化为三角函数的积分形式。
不定积分 换元法
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 a
du
1
a m 1
1
u
m 1
C
注: 当
时
例2. 求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
想到公式
1 a
2
解:
1 ( x)2
a
dx
1 u2
arctan u C
dx
du
令u
2
2
2
dx
2
(x 2
2
a )
2
2
1 2
d( x a )
2
3 2
a
2
(x
2
a )
d( x a )
2
2
例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 (1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1
x a
, 则 du 1 a
1 a
a 1 u2
du
arctan u C
例3. 求
解:
a
dx
x 2 1 (a)
x d (a) x 1 (a) 2
想到
du 1 u
2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
3
例9. 求 解法1
1 ex .
dx
(1 e ) e 1 e
换元法不定积分的求解技巧
换元法不定积分的求解技巧换元法是解决不定积分问题中常用的一种技巧，通过引入新的变量来替换原函数中的部分表达式，从而简化积分难度。
下面将介绍换元法的求解技巧。
1. 基本思想换元法的基本思想是，将被积函数中的某一部分进行代换，使得代换后的函数形式更容易积分。
通过适当的选择代换变量和代换式，可以将原积分转化为一个更简单的形式进行求解。
2. 代换变量的选择在选择代换变量时，一般需要考虑两个因素：一是代换后的函数形式是否更容易求导，二是代换后的函数表达式是否更简单。
常用的代换变量包括：(1) 幂函数的代换：如果被积函数中包含类似于x^n 的幂函数，则可以尝试选择 u = x^n 或 u = x^m (其中 m 是n 的互补数)作为代换变量，从而将幂函数转化为指数函数，或者将多项式转化为有理函数。
(2) 三角函数的代换：如果被积函数中包含三角函数，则可以尝试使用三角函数的和差公式或倍角公式进行代换，从而将三角函数转化为代换变量的代数式。
(3) 指数函数的代换：如果被积函数中包含指数函数，则可以尝试选择u = f(x) 作为代换变量，其中f(x) 是指数函数，从而将指数函数转化为代换变量的幂函数。
(4) 对数函数的代换：如果被积函数中包含对数函数，则可以尝试选择u = f(x) 作为代换变量，其中f(x) 是对数函数，从而将对数函数转化为代换变量的指数函数。
3. 代换式的确定在选择代换式时，一般需要根据代换变量的选择来确定。
一般情况下，代换式可以通过对代换变量进行求导得到。
例如，如果选择u = x^n 作为代换变量，则代换式可以通过求导得到 du = n*x^(n-1)dx。
4. 变限积分的处理在进行换元法求解不定积分时，需要注意变限积分的处理。
换元代换后，不仅积分变量发生了变化，变限也需要根据换元式进行相应的变换。
例如，如果原积分是∫f(x)dx，通过代换 u = g(x) 后，积分变为∫F(u)du。
此时，因为积分变量由x 变为u，变限也需要由 x 的范围转化为 u 的范围，即将原来的 a 到 b 的范围转化为 g(a) 到 g(b) 的范围。
不定积分求解方法换元法PPT学习教案
t
(
2
,
2
)
,
则
a2 x2 a2 a2 sin2 t a cos t
dx a cos t d t
ax
∴ 原式 a cost a cost d t a2 cos 2 t d t
a2 t sin 2t C
t
a2 x2
24 sin 2t 2sin t cost 2 x
1
1) 2
d(a2t 2
1)
(a
2
t2 3a
2
1)
3 2
C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
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小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1) f (x , n ax b ) dx , 令 t n ax b 第
四
(2)
f
(x
,n
a xb c xd
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x
d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
ln tan x C (P226-P227 )
2
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∴原式 =
1 4
dx
1 64
cos 8x d(8x)
1 2
sin2 2x d(sin 2x)
1 32
cos 4x d(4x)
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例14. 求
解: 原式= e x
ex
(
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(5) f (cos x)sin xdx f (cos x) dcos x
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(6) f (tan x)sec2 xdx f (tan x) dtan x
(7) f (ex )exdx f (ex ) dex
(8)
f
(ln
x)1dx x
f (ln x) dln x
1
d
u u
2
arctan u C
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例3. （P223） 求
dx (a 0). a2 x2
解:
dx
dx
d
(
x a
)
a2 x2
a
1
(
x a
)
2
1
(
x a
)
2
arcsin x C a
想到
d u arcsin u C 1u2
f [ (x)](x)dx f ( (x))d (x) (直接配元)
3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx (tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
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例9. 求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求 (ax b)mdx (m 1).
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1 1 (ax b)m1 C a(m 1)
注: 当 m 1时
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F(u) f (u), u (x) 可导, 则有
dF[(x)] f [(x)](x)dx
f [ (x)](x)dx F[ (x)] C F (u) C u(x)
f (u)du u (x)
例6.
求
x
dx (1 2 ln
x)
.
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x) 1 2 ln x
1 ln 1 2 ln x C 2
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例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
解法 2
sec xdx
sec x(sec sec x
x tan
tan x
x)
dx
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x
d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
ln sec x tan x C
csc xdx ln csc x cot x C 或 csc xdx ln tan x C (P226-P227 )
dx ax
b
1 a
ln
ax
b
C
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例2. （P222）求
dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2
1 a2
dx
1
(
x a
)2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1
a
du 1 u2
1 arctan u C a
1 arctan( x ) C
a
a
想到公式
例10.（P227） 求 sec xdx .
解法1
sec xdx
cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1
1 sin
x
1 1 sin
x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
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例4. （P225）求 tan xdx.
解:
tan
xdx
sin xdx cos x
dcos x cos x
ln cos x C
类似
cot
xdx
?
cos x dx sin x
d sin x sin x
ln sin x C
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x2 a2
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例12 . 求 cos4 x dx.
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2 2
第一类换元法
f [(x)](x) dx
f (u) du
第二类换元法
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一、第一类换元法 （P221）
定理1. 设 f (u) 有原函数 , u (x)可导, 则有换元
公式
f [(x)](x)dx f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
(1)
f (ax b)dx
1
a
f (ax b)
d(ax b)
(2) f (xn )xn1 dx 1 f (xn ) dxn n
万 能
凑
(3)
f (xn )1 dx 1 xn
f (xn)
1 xn
dxn
幂 法
(4) f (sin x)cos xdx f (sin x) dsin x
2
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例11. 求
(x2
x3
a
2
)
3 2
dx
.
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(
x2
a2
3
)2
1 2
(
x2 (x
a2 2 a
)
2
3
)
a
2
2
dx
2
1 2
(x2
a2
1
)2
d( x 2
a2
)
a2 (x2 a2 )32 d(x2 a2 ) 2
x2 a2
a2 C
例5.
（P223）求
dx x2 a2
.
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴ 原式 =
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
(1 ex ) ex 1 ex
dx
dx
d(dx
1 ex
ex 1 ex
dx
d(1 ex ) 1 ex
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
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