不定积分求解方法-换元法

例5.
（P223）求
dx x2 a2
.
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴ 原式 =
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
x2 a2
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例12 . 求 cos4 x dx.
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2 2
例10.（P227） 求 sec xdx .
解法1
sec xdx
cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1
1 sin
x
1 1 sin
x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
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2
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例11. 求
(x2
x3
a
2
)
3 2
dx
.
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(
x2
a2
3
)2
1 2
(
x2 (x
a2 2 a
)
2
3
)
a
2
2
dx
2
1 2
(x2
a2
1
)2
d( x 2
a2
)
a2 (x2 a2 )32 d(x2 a2 ) 2
x2 a2
a2 C
3
例8. 求 sec6xdx.
来自百度文库
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx (tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
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例9. 求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1 ex ) ex 1 ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
x ln(1 ex ) C
解法2
dx
1 ex
ex 1 ex
dx
d(1 ex ) 1 ex
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
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例6.
求
x
dx (1 2 ln
x)
.
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x) 1 2 ln x
1 ln 1 2 ln x C 2
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例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
解法 2
sec xdx
sec x(sec sec x
x tan
tan x
x)
dx
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x
d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
ln sec x tan x C
csc xdx ln csc x cot x C 或 csc xdx ln tan x C (P226-P227 )
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F(u) f (u), u (x) 可导, 则有
dF[(x)] f [(x)](x)dx
f [ (x)](x)dx F[ (x)] C F (u) C u(x)
f (u)du u (x)
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例4. （P225）求 tan xdx.
解:
tan
xdx
sin xdx cos x
dcos x cos x
ln cos x C
类似
cot
xdx
?
cos x dx sin x
d sin x sin x
ln sin x C
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第一类换元法
f [(x)](x) dx
f (u) du
第二类换元法
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一、第一类换元法 （P221）
定理1. 设 f (u) 有原函数 , u (x)可导, 则有换元
公式
f [(x)](x)dx f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求 (ax b)mdx (m 1).
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1 1 (ax b)m1 C a(m 1)
注: 当 m 1时
1
d
u u
2
arctan u C
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例3. （P223） 求
dx (a 0). a2 x2
解:
dx
dx
d
(
x a
)
a2 x2
a
1
(
x a
)
2
1
(
x a
)
2
arcsin x C a
想到
d u arcsin u C 1u2
f [ (x)](x)dx f ( (x))d (x) (直接配元)
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
(1)
f (ax b)dx
1
a
f (ax b)
d(ax b)
(2) f (xn )xn1 dx 1 f (xn ) dxn n
万 能
凑
(3)
f (xn )1 dx 1 xn
f (xn)
1 xn
dxn
幂 法
(4) f (sin x)cos xdx f (sin x) dsin x
(5) f (cos x)sin xdx f (cos x) dcos x
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(6) f (tan x)sec2 xdx f (tan x) dtan x
(7) f (ex )exdx f (ex ) dex
(8)
f
(ln
x)1dx x
f (ln x) dln x
dx ax
b
1 a
ln
ax
b
C
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例2. （P222）求
dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2
1 a2
dx
1
(
x a
)2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1
a
du 1 u2
1 arctan u C a
1 arctan( x ) C
a
a
想到公式