初中数学北师大版七年级上学期 第五章 5.6 应用一元一次方程——追赶小明 同步练习(解析版)

初中数学北师大版七年级上学期第五章 5.6 应用一元一次方程——追赶小明
一、单选题
1.如图，钟面上的时间是8：30，再经过t分钟，时针、分针第一次重合，则t为（）
A. B. C. D.
2.一列火车匀速驶入长2000米的隧道，从它开始驶入到完全通过历时50秒，隧道内顶部一盏固定灯在火车上垂直照射的时间为10秒，则火车的长是（）米．
A. 400
B. 500
C.
D. 600
3.一列匀速前进的火车，从它进入500 m的隧道到离开，共需30秒，又知在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光线垂直照射火车5秒，则这列火车的长度是( )
A. m
B. 100 m
C. 120 m
D. 150 m
4.小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟.设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走________步才能追到速度慢的人．
6.甲乙两人同时分别从A、B两地出发，沿连接这两地的道路向另一地前行，这段道路长为9千米，甲的速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/小时，同时，甲带的小狗以
7.5千米/小时的速度奔向乙，小狗遇乙后又立即回头奔向甲，遇甲后又立即奔向乙，…，直到甲、乙相遇，那么小狗走的总路程是________千米．
三、解答题
7.周末小新去爬山，他上山花了0.8小时，下山时按原路返回，用了0.5小时，已知他下山的平均速度比上山的平均速度快1.5千米时，求小新上山时的平均速度。

四、综合题
8.学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动.在相距个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点
出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、
之间.他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计.兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这
里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种.
（1）【观察】
①观察图，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们
第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为________个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面
相遇时，相遇地点与点之间的距离为________个单位长度；
（2）【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，
相遇地点与点之间的距离为个单位长度.兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图
象（线段，不包括点，如图所示）.
①＝________；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图中补全函数图象；________
（3）【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，
相遇地点与点之间的距离为个单位长度.若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的
距离不超过个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是
________.（直接写出结果）
9.甲，乙两人沿湖边环形道上匀速跑步，他们开启了微信运动﹣﹣微信上实时统计每天步数的软件.已知乙的步距比甲的步距少0.4m(步距是指每一步的距离)，且每2分钟甲比乙多跑25步，两人各跑3周后到达同一地点，跑3圈前后的时刻和步数如下：
（1）求甲，乙的步距和环形道的周长；
（2）求表中a的值；
（3）若两人于9：40开始反向跑，问：此后，当微运动中显示的步数相差50步时，他们相遇了几次？10.一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地.两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为________km/h，快车的速度为________km/h；
（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km.
答案解析部分
一、单选题
1. B
解：设从8：30点开始，经过x分钟，时针和分针第一次重合，由题意得：
6x-0.5x=75
5.5x=75
x= ，
答：至少再经过分钟时针和分针第一次重合.
故答案为：B
【分析】由分针每1小时转360°，时针每小时转30°可知，分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，设从8：30点开始，经过x分钟，时针和分针第一次重合，根据路程=速度×时间及时针与分针的夹角是75°列出方程6x-0.5x=75，解方程求出的x的值即为t值.
2. B
解：设火车的长度为x米，
50•=2000+x，
x=500．
故答案为：B．
【分析】火车的长度为x米，火车完全通过隧道所行的路程是（2000+x）米，根据路程除以时间等于速度
得出火车的行进速度是米每秒，再根据时间乘以速度等于路程，即可列出方程，求解即可。

3. B
解：设这列火车的长度为xm，由题意，得
解得：x＝100．
故答案为：B．
【分析】根据火车通过隧道的速度和火车通过灯光的速度相等，设未知数，列方程求解即可。

4. D
解：设他家到学校的路程是xkm，
依题意，得：.
故答案为：D.
【分析】设他家到学校的路程是xkm，利用时间=路程÷速度，根据原时间相等列出方程即可.
二、填空题
5. 250
解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
故答案是：250．
【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据两人的速度差×时间=路程，列出方程，求出t 值，然后代入路程=速度×时间求出结论即可.
6. 7.5
解：设两人x小时相遇，
则4x+5x＝9，
解得x＝1
则小狗所走的路程是7.5×1＝7.5千米．
【分析】利用甲走的路程+乙走的路程=A、B两地之间的距离，列出方程求出甲乙两人相遇的时间，然后根据路程等于速度乘以时间即可算出小狗走的总路程。

三、解答题
7. 解：设小新上山时的平均速度为x千米时，则下山时的平均速度为(x+1.5)千米时，依题意，得：0.8x=0.5(x+1.5)，
解得：x=2.5
答：小新上山时的平均速度为2.5千米/时。

【分析】设小新上山时的平均速度为x千米，根据上山和下山的路程相等列方程，结合“路程=速度×时间”，求解x即可。

四、综合题
8. （1）；
（2）50；当时，点在线段上，
∴线段的表达式为，
当时，即当，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点返回向点时，
设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
，
即：，
补全图形如图2所示，
（3）0＜x≤12或48≤x≤72.
解：（1）【观察】①∵相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
∴相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
设机器人甲的速度为，
∴机器人乙的速度为，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间为，而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点，返回到点，再返回向时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点为个单位，
根据题意得，，
，
故答案为：；
②∵相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
∴相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
设机器人甲的速度为，
∴机器人乙的速度为，
∴机器人乙从相遇点到点再到点所用的时间为，
机器人甲从相遇点到点所用时间为，而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇点到点，再到点，返回时和机
器人乙第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点为个单位，
根据题意得，，
，
故答案为：；
（ 2 ）【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点时，
设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
，
经检验：是分式方程的根，
即：，
故答案为：；
（ 3 ）【拓展】①如图，
由题意知，，
∴y=5x，
∵0＜y≤60，
∴0＜x≤12；
②如图，
∴，
∴y=-5x+300，
∵0≤y≤60，
∴48≤x≤60，
③如图，
由题意得，，
∴y=5x-300，
∵0≤y≤60，
∴60≤x≤72，
∵0＜x＜75，
∴48≤x＜72，
综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72，
故答案为0＜x≤12或48≤x≤72.
【分析】（1）①首先根据第一次相遇时相遇点距离点A30个单位长度，得出相遇地点与点之间的距
离为120个单位长度；设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为4v，然后根据路程除以速度等于时间算出机器人甲从相遇点到点B所用的时间，机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间，将两时
间比大小即可得出设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点，返回到
点，再返回向时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即
可得到结论；
②首先根据第一次相遇时相遇点距离点A40个单位长度，得出相遇地点与点之间的距离为110个单位
长度；设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为v，然后根据路程除以速度等于时间算出机器人甲从相遇点到点B所用的时间，机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间，将两时间比大小即可
得出设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点，返回到点，再返
回向时和机器人甲第二次迎面相遇，设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇
点到点，再到点，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列
方程即可得到结论；
（2）①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列方程即可得到结论；
②根据①可得点P的坐标，利用待定系数法即可求出当时y与x的函数解析式；当
时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结论；
（3）由题意列不等式即可得到结论．
9. （1）解：设乙的步距为xm，由于乙的步距比甲的步距少0.4m，则甲的步距少为(x+0.4)m，根据表格列方程得：
(4158﹣2158)(x+0.4)＝(4308﹣1308)x，
∴2000x+800＝3000x，
∴x＝0.8，0.8+0.4＝1.2，
∴环形道的周长为：3000×0.8÷3＝800m.
故甲的步距为1.2m，乙的步距为0.8m，环形道的周长为800m
（2）解：由表格知，甲10分钟跑了2000步，则甲每分钟跑200步，每2分钟跑400步，
∵每2分钟甲比乙多跑25步，
∴每2分钟乙跑375步，
∴3000÷375＝8，2×8＝16分钟，
∴a为9：24.
故答案为：9：24
（3）解：每2分钟甲比乙多跑25步，因此反向跑当微运动中显示的步数相差50步时，他们各跑了4分钟，
∴1.2×200×4+0.8××4＝1560m
800＜1560＜800×2
∴反向跑当微运动中显示的步数相差50步时，他们相遇了1次.
【分析】（1）由于两人各跑3周后到达同一地点，可分别用甲和乙跑的总步数乘以各自的步距，列方程可求得步距，于是环形道的周长可求解；
（2）先由甲跑的总步数除以甲所用的时间，得出甲每分钟跑的步数，再根据每2分钟甲比乙多跑25步，得出乙每2分钟乙跑多少步，从而用乙的总步数除以乙每2分钟乙跑的步数，再乘以2，即可得乙所用的时间，结合题意可求a的值；
（3）由每2分钟甲比乙多跑25步，因此反向跑当微运动中显示的步数相差50步时，9：40时，两人在微信运动显示的步数有150步的差数，因此反向跑当微运动中显示的步数相差50步时，实际上甲应该比乙多跑了100步或200步，从而算出他们相遇了几次．
10. （1）80；120
（2）解：图中点C的实际意义是：快车到达乙地；
∵快车走完全程所需时间为720÷120=6（h），
∴点C的横坐标为6，
纵坐标为（80+120）×（6﹣3.6）=480，
即点C（6，480）
（3）解：由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km.
即相遇前：（80+120）x=720﹣500，
解得x=1.1，
相遇后：∵点C（6，480），
∴慢车行驶20km两车之间的距离为500km，
∵慢车行驶20km需要的时间是=0.25（h），
∴x=6+0.25=6.25（h），
故x=1.1 h或6.25 h，两车之间的距离为500km
解：（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，
根据题意，得，解得，
故答案为80，120；
【分析】（1）观察图像可知点B（3.6，0），两车3.6小时第一次相遇，因此等量关系为：3.6×两车的速度=720；3.6×快车的速度=（9-3.6）×慢车的速度，设未知数，列方程组求解即可。

（2）根据题意可知快车到达乙地，先求出快车到达乙地的时间，就可得到点C的横坐标，再列式求出点C的纵坐标，就可得到点C的坐标。

（3）两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km，相遇前两车相距500米；相遇后两车相距500米，利用两车相距500米，分别建立关于x的方程，解方程求出x的值。