复数模与方程典型例题

复数模与复数方程典型例题

例1在复数范围内分解：（1）2x 2+3x+3 (2)x 2+xy+2y 2 (3) x 4+x 2y 2+y 4 (4)x 4+y 4 例2求平方根： （1）3+4i (2) 5+12i

例3解方程：（1）z 2+z =0 （2）z 2-4z +3=0 (3)x 2-(5+i)x+5i=0

例4已知m ∈R,关于x 的方程x 2+(1-2i)x+3m-i=0有实根，求m 并解此方程。

例5已知1-i 是方程x 3-5x 2+8x-6=0的一个根，求方程的其它根？

例6(1)已知z 满足2-z =1，求：i z 2+的取值范围？

(2)已知z 满足z =1,求z 2-z+1的模的最大与最小值？

例7（1）已知方程x 2+x+m=0两虚根为βα,,且βα-=3，求实数m 的值。

（2）已知方程x 2+x+m=0两根为βα,,且βα-=3，求实数m 的值。

例8已知方程x 2+2x+m=0两根为βα,,且m ∈R ，求α+

β的值。

例9已知z 满足z =2且存在实数a ，使（z-a ）2=a, 求z 和a 的值。

例10设w 为x 2+x+1=0的根，则(1)1+w+w 2+w 3+… +w 2005 (2) w 2005+w 2005

例11设实系数方程2x 2+3ax+a 2-2a=0至少有一个模为2的根，求实数a 的值？

例12设z 为虚数，ω=z+z

1是实数,且-1<ω<2 (1) 求z 的值及z 的实部的取值范围？

(2) 设u=

z

z +-11,求证：u 为纯虚数；（3）求ω-u 2的最小值。

例13已知：1z =2z =1，且21z z +=2,求21z z -的值?

例14已知: βα,是方程ax 2+bx+c=0两虚根,且βα2∈R ，求βα的值。 例15在研究复数性质时规定：如果对n 个复数a 1,a 2…..a n ,存在不全为零的n 个实数k 1,k 2…

k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+….+k n a n =0成立，那么a 1,a 2….a n 叫做“线性相关”，据此，请判断三个

复数1，-i,2+2i 是否线性相关？若线性相关，请给出一组实数。