第4章_方程求根的迭代法

x0
x
x1 x3 x*
x2 x0 x
(b) 1 (x* ) 0
几何意义
y=x P*
y
y= 来自百度文库x)
y=x
y
y= ( x)
(x)
P*
x2
x1
x0 x* x
(x* ) 1
（c）
x3 x1 x* x0 x2 x
(x* ) 1
（d）
不动点迭代收敛性
对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式, 但迭代
x (x)
其中 (x) 为x的连续函数
即如果数 x* 使f(x)=0, 则也有 x* (x* ) , 反之, 若 x* (x* ), 则也有f (x* ) 0 , 称 (x)为迭代函数 任取
一个初值x0 , 代入式x (x) 的右端, 得到
x1 (x0 )
①
x* xk
L 1 L
xk
xk1
②
x* xk
Lk 1 L
x1
x0
证: 构造函数 (x) (x) x ,由条件（1）对任意的
x∈[a, b] (x)∈[a, b]有
(a) (a) a 0
(b) (b) b 0
由连续函数介值定理知, 必有 x* ∈[a, b], 使 (x*) (x*) x* 0 所以有解存在, 即 x* (x* )
n
逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止
二分法（略）
复习作业题
不动点迭代
对于一般的非线性方程,没有通常所说的求根公 式求其精确解,需要设计近似求解方法,即迭代法。 它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正 根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精度要 求的结果。 迭代法的基本思想
为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便 于迭代的等价方程
公式
xk 1 ( xk )
(k 0,1,2,)
并非总是收敛。那么,当迭代函数(x) 满足什么条件 时，相应的迭代公式才收敛呢？即使迭代收敛时， 我们也不可能迭代很多次，而是迭代有限次后就停 止，这就需要估计迭代值的误差，以便适时终止迭 代。
定理1 ，2 设函数 (x) 在[a,b]上具有连续的一阶导 数, 且满足
如果f(x)可以分解成 f (x) (x x* )m g(x) ,其中m为正整 数且 g(x* ) 0 ,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程 f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m 阶导数,则是方程f(x)的m重根(m>1) 当且仅当
f (x* ) f (x* ) f (m1) (x* ) 0, f (m) (x* ) 0
lim
n
xn

x*
则称迭代法收敛。
实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做下 去, 对预先给定的精度要求ε，只要某个k满足
xk xk1
即可结束计算并取 x* xk
当然，迭代函数 ( x)
的构造方法是多种多样的。
例1 用迭代法求方程 x3 x 1 0
在x=1.5附近的一个根 解 将方程改写成如下两种等价形式
难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非 线性方程的近似根的几种数值解法
记笔记
数值解法步骤
n ① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有
n
根，有几个根？
n ② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔
n
离开来，这个过程实际上是获得方程各根的
n
初始近似值。
n ③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种方法
（1）对所有的x∈[a,b] 有 (x) ∈[a,b] （2）存在 0 < L< 1 ,使所有的x∈[a,b]有
(x) ≤ L
则方程 x (x) 在[a,b]上的解 x* 存在且唯一
，对任意的 x0 ∈[a ,b] ，迭代过程 xk1 (xk )
均收敛于 x。* 并有误差估计式
当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非 线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程 ，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等 ）。一般称n次多项式构成的方程
an x n an1 x n1 a1 x a0 0 (an 0)
为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的 一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很
数值计算方法 （数值分析）
第四章： 方程求根的迭代法
本章处理
二分法和牛顿法在第二节课已讲过。 加深算法收敛性方面的理解。 介绍几种新方法。
引言
在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类 问题是非线性方程
f(x)=0 的求根问题，其中f(x)为非线性函数。 方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点
k xk 0 1.5 1 1.35721 2 1.33086 3 1.32588 4 1.32494 5 1.32476 6 1.32473 7 1.32472
(2) xk 1 xk3 1, x0 1.5, x1 2.375, x2 12.39,.
几何意义
通常将方程f(x)=0化为与它同解的方程 x (x)
再将 x1 代入式 x (x) 的右端, 得到 x2 (x1),依此
类推, 得到一个数列 x3 (x2 ) …， 其一般表示
xk1 (xk ) (k 0,1,2,)
称为求解非线性方程的简单迭代法。
如果由迭代格式 xk1 (xk )产生的序列xn 收敛,即
x 1 (x ) 3 x 1 x 2 (x ) x3 1
相应地可得到两个迭代公式
xk1 1 (xk ) 3 xk 1 xk1 2 (xk ) xk3 1
如果取初始值 x0 ＝1.5，用上述两个迭代公
式分别迭代，计算结果
（1）x0 1.5，xk1 3 xk 1,(k 0,1, 2, ).
的方法不止一种,有的收敛,有的不收敛,这取决于 ( x)
的性态,方程 x (x) 的求根问题在几何上就是确定曲
线y= (x)与直线y=x的交点P*的横坐标
y=x
y
y= (x)
y
Q2 P*
Q1 P1
y= ( x)
P0
(x)P*
y=x
P2
x*
x2
x1
(a) 0 (x* ) 1