现代信号处理复习提纲_2015-05

d j ( k ) m g ( m 2k )c j 1 ( m )
小波变换与滤波器组
多分辨率分析（续）
(10a )
(10b)
将(4a)和(4b)代入式(9)，得
f (t ) c j (k ) h(n) 2( j 1) / 2 ( 2 j 1 t 2k n) d j (k ) g ( n)2 ( j 1) / 2 (2 j 1 t 2k n)
Y ( z ) T ( z ) X ( z ) A( z ) X ( z ) 1 T ( z ) [ H 0 ( z )G0 ( z ) H1 ( z )G1 ( z )] 2
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现代信号处理 14
完全重构条件
• 由此可见：小波变换可通过滤波器组来实现 • 假如信号x(n)或X(z)经小波或子带分解（分析滤波器组） 后又经综合滤波器组合成为x’(n)或X’(z)。则X’(z)可能出 现三种失真：混叠失真、相位失真和幅度失真。 - 要使整个系统输出没有混叠失真，须使 G0(z)H0(-z)+ G1(z)H1(-z)=o (a) - 要使整个系统输出没有相位失真和幅度失真，须使 (b) G0(z)H0(z)+ G1(z)H1(z)=z-k 结论：满足(a)和(b)的滤波器组称为无混叠、无失真滤波 器组或完全重构滤波器组、式(a)和(b)称为完全重构条件。 只满足(a)或(b)的滤波器组称为无混叠或无失真的滤波器 组。
小波变换与滤波器组
小波变换的分类
WTx ( a, b) a ,b (t )x (t )dt

(1)
( 2)
其中
a ,b (t )
1 t b ( ) a a
为小波基函数（scaling function, father function）， 是其母函数(mother function, wavelet function)的伸 缩平移 a: 标度因子（尺度因子）, 其大小直接关系母函 数的展宽或缩小 b: 位移
现代信号处理 4 lifei@ 现代信号处理 5 lifei@
1
小波变换与滤波器组
小波变换的分类
小波变换分成两大类：
连续小波变换 (CWT) 和离散小波转换(DWT) DWT用于信号编码 而CWT用于信号分析 DWT 尺度离散化 a a0j , 常取 a0 2 位移离散化 b nab0 , 常取 b0 1 则 b na0j 则小波基函数变为
n n n
h(0) h(1) 2 h 2 (0) h 2 (1) 1 (k 0)
若 则
(t ) (t k )dt E (k ) 0
E
k 0 其他
解得
(16)
h(n)h(n 2k ) (k ) 0
n
1
k 0 其他
1 1 , hD 2 h(0), h(1) 2 2
j
个零点, 则称该尺度滤波器是K-正则性的。此时, 有
H ( z) (
n
由此可以可以推断，因为 H ( z ) 是一个低通滤波器,如
其中H ( z ) n h(n) z 是尺度系数h(n)的z变换, 而Q(z)在 z e j 处没有零点和极点。
现代信号处理 22 lifei@
cj d j 1
↑2
h(n )
c j 1 (k ) m h(k 2m)c j (m) m g (k 2m)d j (m)
现代信号处理 12
↑2
g (n )
c j＋1 dj
(12)
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↑2
g (n )
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Mallat算法
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H0 (z) x0 (n)
小波变换与滤波器组
小波变换的分类
从而有
f (t ) d j ,n j ,n
其中小波级数系数 dj,n f , j,n ,
(6)
j, nZ
小波函数 (t ) 的重要价值: 它的伸缩平移生成L2 (R ) 中的
一组正交基 { j ,n} , 从而可将给定函数 f (t ) 进行小波分解
lifei@ 现代信号处理 21
现代信号处理 20
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小波滤波器设计有关问题
正则性与消失矩
K-正则性尺度滤波器
小波滤波器设计有关问题
K-正则性尺度滤波器(续)
尺度滤波器:由基本递归方程(尺度方程)得到系数为h(n)
的滤波器，也就是系数h(n)满足定理1和3，即满足：
而尺度函数 (t ) 的傅氏变换 ( ) 与系数滤波器的频
(3)
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j ,n (t ) 2 j /2 (2 j t n)
现代信号处理 6
小波变换与滤波器组
多分辨率分析
又称多尺度分析
尺度参数越小，小波宽度越窄，时域分辨率越高 定义: 尺度函数(小波“父”函数)：
(t) 2 h(n ) (2t - n )
第三章
(第五讲)
随机信号的功率谱估计
李飞
2015.4.14
现代信号处理 0
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现代信号处理 1
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上讲回顾
2.1 多速率信号处理系统及其实现 2.2 多分辨率分析与小波变换
- 平稳信号与瞬变信号 - 傅立叶分析局限性及解决办法 - 小波变换 - 小波变换与滤波器 - 小波滤波器设计有关问题 - 小波变换应用
(k 1)
当 / 3时, 即得长度为4 的Dauberchies系数： 当
1 3 3 3 3 3 1 3 , , , hD 4 h(0), h(1), h(2), h(3) 4 2 4 2 4 2 4 2 0, / 2,3 / 2, 时, 则退化为Haar尺度函数系数。
2
u0 (n)
处 理 单 元
v0 (n)
2
w0 (n) G ( z) y0 (n) 0
HP LP为 正交镜像 滤波器
x(n)
+
v1 (n)
2
y(n)
H1 ( z) x1(n)
分析滤波器组
2
u1(n)
y1 (n) w 1(n) G 1 ( z)
综合滤波器组 两通道滤波器组
小波频谱 随尺度变 化
(17)
满足(17)的滤波器称为正交镜像滤波器(QMF)。
现代信号处理 18 lifei@
其结果就是Haar尺度函数系数，也叫做长度为2 的 Dauberchies系数[Dau92]。
现代信号处理 19 lifei@
小波滤波器设计有关问题
尺度系数的参数化(N=4时)
由定理1和3, 即式(13)和(17), 有
k
, 上式变为
(9) '
k
和小波函数(小波“母”函数)： 其中 g(n) (1)n h(1 n) 或 g(n) (1)n h( N 1 n) 设 V j Span{ j ,n (t ) 2 (2 t n)}, n Z
j/2 j
f (t ) c j (k )2 j / 2 (2 j t k ) d j (k )2 j / 2 (2 j t k )
f (t ) c j (k ) j ,k (t ) d j (k ) j ,k (t )
k k
(5a) (5b)
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可得
c j ( k ) m h(m 2k )c j 1 ( m)
d j ( k ) m g ( m 2k )c j 1 ( m )
( k 0)
和 解得
h(0)h(2) h(1)h(3) 0
h(0) (1 cos sin i )/ 2 2 h(1) (1 cos sin ) / 2 2 h( 2) (1 cos sin ) / 2 2 h(3) (1 cos sin ) / 2 2
1 z 1 K ) Q( z ) 2
果它在 z 1(i.e., ) 处有高阶零点,则 (t ) 迅速衰减, 从而 (t ) 是平滑的。这正是我们所希望的。
现代信号处理 23
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4
小波滤波器设计有关问题
k阶矩
k阶矩： (t )和 (t ) 的k阶矩分别定义为
h(0) h(1) h(2) h(3) 2 h (0) h (1) h (2) h (3) 1
2 2 2 2
小波滤波器设计有关问题
尺度系数的参数化(N=6时)
由定理1和3, 即式(13)和(17), 可得
h(0) [(1 cos sin )(1 cos sin ) 2 sin cos ] / 4 2 h(1) [(1 cos sin )(1 cos sin ) 2 sin cos ] / 4 2 h(2) [1 cos( ) sin( )] / 2 2 h(3) [1 cos( ) sin( )] / 2 2 h(4) 1 / 2 h(0) h(2) h(5) 1 / 2 h(1) h(3)
现代信号处理 16 lifei@
上讲回顾
2.2 多分辨率分析与小波变换 小波变换与滤波器
小波变换的分类 多分辨率分析 无混叠条件与精确重建滤波器组 完全重构条件
小波滤波器设计有关问题
尺度函数与尺度系数(尺度系数参数化) 正则性与消失矩
小波变换应用
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率响应 H ( ) 之间的关系为
1 ( ) H ( k ) ( 0) 2 k 1 2 (b)
h( n)
n
2
和
h( k ) h( k 2m) ( m)
k
K-正则性：如果尺度滤波器的z变换在 z e 处具有K
多分辨率分析（续）
式(12)的合成过程如下图所示：
cj
↑2
h (n )
c j 1
两级分解/合成的情况：
小波分析/分解
h(n)
↓2
h( n)
↓2
c j 1
cj
g ( n)
↓2
d j 1
g ( n )
↓2
dj
c j ＋1
dj
↑2
g (n )
小波综合/合成/重建
c j 1
↑2
h(n )
k n k n
h ( n )
↓2
cj
(11)
c j 1
g (n)
↓2
利用类似方法计算式(9)和(11)的系数，得
dj
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cj1(k) m h(k 2m)cj (m) m g(k 2m)d j (m)
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(12)
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2
小波变换与滤波器组
3
小波滤波器设计有关问题
尺度函数与尺度系数
尺度函数 有 尺度系数
(t ) 2 h(n) (2t n)
小波滤波器设计有关问题
尺度函数与尺度系数
尺度系数的参数化(N=2时)
由定理1和3, 即式(13)和(17), 有
(13) (15)
h ( n) 2 h(2n) h(2n 1)
(10a )
(10b)
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W j Span{ j , n (t ) 2 (2 t n)}, n Z
j/2 j
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小波变换与滤波器组
多分辨率分析（续）
式(10)的分解过程：
c j ( k ) m h (m 2k )c j 1 ( m)
现代信号处理 2 lifei@
上讲回顾
2.2 多分辨率分析与小波变换 小波变换与滤波器
小波变换的分类 多分辨率分析 无混叠条件与精确重建滤波器组 完全重构条件
小波滤波器设计有关问题
尺度函数与尺度系数(尺号处理 3 lifei@
(t) 2 g (n ) (2t -n )
(4a )
4(b)
小波变换与滤波器组
多分辨率分析（续）
设 f (t ) V j 1,则 根据
f (t ) c j 1 ( k ) 2 ( j 1) / 2 ( 2 j 1 t k ) ( 9)
k
V j 1 V j W j