用导数求切线方程的一个误区
导数在高中数学中的应用误区
导数在高中数学中的应用误区万琨摘要: 导数是高中数学新增内容,它是中学数学与高等数学的连接点,所以学好导数有利于高中毕业生进入高等学府后的再教育。
但是从每年的高考试题分析来看,相当一部分的学生在有关导数的试题上失分较多，实际上这些试题并不太难.原因在哪里呢？本文试图对近几年出现的一些具体题型加以分析。
关键词: 导数; 误区; 极值; 最值; 单调性1.引言导数的思想最初是由法国著名的数学家费马为研究极值问题提出来的。
微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分。
一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用。
另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的。
在上个世纪，导数曾经编入中学数学教材，但是由于教育改革，步入上个世纪九十年代，导数在中学数学教材中又删去了。
但是我们知道导数对于考察同学们的数学思维有着其他高中数学内容所无法替代的作用。
因此随着时代的发展，随着经建设的日益提高、随着高校对人才的选拔需、随着新课程改革的进一步深入、随着西方的现代教育思想的引如、随着体现教育以人为本的思想、导数又重新选编入中学数学教材。
它的选如恰似一股春风吹如人的心田，使人清爽气颐、它的选入犹如犹如长期处于黑暗之中的人见到光明一样，心中充满期待与高兴，它的选入犹如一股新鲜的血液注入人的体内，使人精神焕发，朝气蓬勃。
导数是高中数学和高等数学衔接的纽带，它有利于克服中学数学与高等数学脱节的现象，有利于克服中学尖子生进入高校后对数学产生厌恶之感的现象，使进入高校的新生不在对高等数学有畏惧的心理。
导数作为新内容引入中学数学教材，使广大师生、教研员、命题爱好者为之精神振奋。
尽管它属于高三选修的内容，但因为它对考察学生的数学思维具有积极的推动的作用，因此有关导数的一类新题型深受命题者的青睐。
求切线方程的三种方法
求切线方程的三种方法宝子们，今天咱们来唠唠求切线方程的那些事儿。
这切线方程啊，就像是给曲线找到一个最亲密接触的直线小伙伴，可有意思啦。
一、利用导数求切线方程。
咱先说说这个用导数的方法。
导数这玩意儿啊，其实就是曲线在某一点的斜率。
比如说有个函数y = f(x)，咱们先求出它的导数f'(x)。
那在某一点x = a处的切线斜率k呢，就等于f'(a)。
这时候啊，我们已经知道了斜率，再知道这个点(a, f(a))在切线上，就可以用点斜式y - y₁ = k(x - x₁)来求出切线方程啦。
就像你知道一个朋友的走路速度（斜率），又知道他从哪个地方（点）出发，就能算出他走的路线（切线方程）啦。
二、设切点法。
再来说说设切点法。
有时候啊，题目没有直接告诉你切点是啥。
这时候咱就可以聪明点，设切点为(x₀, y₀)。
那这个点既在曲线上又在切线上哦。
如果曲线方程是y = f(x)，那y₀ = f(x₀)。
然后呢，求出函数在x₀处的导数f'(x₀)，这就是切线的斜率啦。
再根据点斜式写出切线方程y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)。
这就像是在玩一个猜谜游戏，我们先假设一个神秘的点（切点），然后通过各种线索（曲线方程和导数）来找出这个切线方程这个宝藏呢。
三、利用已知切线方程的形式来求。
还有一种方法呢，就是利用已知切线方程的形式。
比如说对于圆的方程(x - a)²+(y - b)² = r²，在点(x₁, y₁)处的切线方程是(x₁ - a)(x - a)+(y₁ - b)(y - b)= r²。
对于椭圆、双曲线等一些特殊的曲线也有类似的固定形式的切线方程哦。
这就像是有个小秘籍一样，直接套用这个形式就能求出切线方程啦。
就好比你有一把万能钥匙，遇到特定的锁（特殊曲线在某点的切线），直接一插就能打开（求出切线方程）啦。
宝子们，这三种求切线方程的方法是不是很有趣呀？只要多练练，你就能在求切线方程这个小天地里畅游无阻啦。
利用导数的几何意义求切线方程
利用导数的几何意义求切线方程江南中教研组曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题。
对于利用导数的几何意义求切线方程我们要把握三个等量关系：1． 曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，有)(0x f k '=；2．切点在曲线y f x =()上，有)(00x f y = 3． 切点在切线上，有切线方程)(00x x k y y -=-最基础的题型就是已知切点求斜率、切线方程。
例一：曲线221y x =+在x=1的切线方程为 ； 解析：直接利用等量关系得到切点的坐标、切线的斜率；由题意可知，切点的坐标为（1，5）又∵x y 4='，∴切线的斜率为4，∴切线的方程为y －5 = 4(x －1)，即y=4x ＋1。
利用导数的几何意义求切线方程的关键是要理解导数的几何意义，熟悉等量关系。
另有一种题型是先知道切线的斜率，求切点坐标、切线方程。
例二：曲线2y x =的一条切线的斜率是4-，求切线方程。
解析：先设出切点的坐标，再利用等量关系由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点的坐标为（200,x x ）∵x y 2='，∴切线的斜率为02x ，∴02x = －4，∴20-=x ∴切点的坐标为（－2，4）∴切线的方程为y =－4x －4解这种题型的关键问题就是不能忽视切点在曲线上的这个关系。
再有一种题型求过曲线外一点的切线的方程。
例三：曲线2x y -=的切线过点（0，4）求切线的方程。
解析：同样设切点坐标，充分利用等量关系，由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点坐标为()00y x P ，，∵x y 2-='则在点P 处的切线方程为：()0002x x x y y --=-∵过点()4,0P ，且200x y -=()002002)(4x x x --=--∴ 20=∴x 或20-=x当20=x 时，切点为)4,2(-，此时切线方程为y=－4x ＋4，当20-=x 时，切点为()4,2--P ，此时切线方程为y=4x ＋4，∴过点（0，4）的切线方程为： y=－4x ＋4， y=4x ＋4。
利用导数求切线方程
利用导数求切线方程1. 引言在微积分中，导数是一个重要的概念。
它描述了函数在给定点的变化率，可以用来解决许多实际问题。
其中一个应用就是求解切线方程。
切线是曲线上的一条直线，与曲线在给定点处相切。
求解切线方程可以帮助我们更好地理解曲线的性质和行为。
本文将介绍如何利用导数求解切线方程。
首先，我们将回顾导数的定义和性质。
然后，我们将详细介绍如何利用导数求解切线方程，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
2. 导数的定义和性质回顾在微积分中，导数描述了函数在给定点的变化率。
对于一个函数f(x)，它在x处的导数可以通过以下极限定义得到：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ其中，f′(x)表示函数f(x)在x处的导数。
导数具有一些重要的性质，这些性质在求解切线方程时非常有用。
下面是一些常见的导数性质：•常数函数的导数为0：f′(x)=0•幂函数的导数：(x n)′=nx n−1•和差法则：(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)•乘法法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)•除法法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)•复合函数的导数：(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)这些性质将在后面的内容中被广泛应用。
3. 求解切线方程的步骤为了求解切线方程，我们需要知道曲线上的一个点以及该点处的斜率。
导数提供了一个方法来计算曲线在给定点处的斜率，因此我们可以利用导数来求解切线方程。
以下是求解切线方程的步骤：步骤 1：确定曲线上的一个点首先，我们需要确定曲线上的一个点。
这个点将成为切线方程的起点。
可以通过给定的问题或者观察曲线的图像来确定这个点。
步骤 2：计算导数在确定了起点之后，我们需要计算曲线在该点处的导数。
根据导数的定义和性质，我们可以得到导数的计算公式。
步骤 3：计算斜率利用导数求得的斜率可以用来确定切线的斜率。
用导数求切线方程的一个误区
用导数求切线方程的一个误区导数的几何意义是：设s=s(t)是位移函数，则'0s (t )表示物体在0t t =时刻的瞬时速度；设v=v(t)是速度函数，则'0v v (t )=表示物体在0t t =时刻的加速度；设函数在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线的相应点处的切线斜率。
所以我们常用导数“求某点处的切线方程”和“求过某点的切线方程”。
但是它们有没有区别呢？下面以例说明。
例 若曲线31y x 3=上一点P(2, 83)，求⑴点P 处的切线方程 ⑵过点P 的切线方程解：⑴∵'2y x =∴当x=2时'y =4∴点P 处的切线方程为8y 4(x 2)3-=- 即12x-3y-16=0 ⑵设所求的切线与曲线31y x 3=相切于 点00(x ,y )，则切线斜率为20x ，由直线方程点斜式得切线方程为32000x y x (x x )3-=-，又因为所求切线过点P ，则有32000x 8x (2x )33-=-，解此三次方程得0x 2=或-1，从而过点的切线斜率为4或1，可求出切点为(2, 83)，1(1,)3--，相应的过点的切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0 从这道题可以看出第⑴问的结果是直线CD ，第⑵问的结果是直线AB 和直线CD 。
所以我们可得出这样的一个结论：过曲线上一点的切线不一定只是以该点为切点的切线，可能还有别的符合题意的直线。
所以 “求在某点的切线方程”和“求过某点的切线方程”的含义是不同的。
同学们在解这种问题时要分清题意，否则往往容易漏解。
针对性练习题：已知曲线方程为314y x 33=+，求过点P （2，4）的切线方程。
答案：4x-y-4=0或x-y+2=0。
利用导数求三角函数切线方程的三种问题类型
利用导数求三角函数切线方程的三种问题类型导数是微积分中的重要概念，可以用来求解三角函数的切线方程。
在这份文档中，我们将介绍三种利用导数求三角函数切线方程的问题类型。
问题类型一：给定函数和点，求切线方程在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其定义域上一点的坐标，需要求解该函数在该点处的切线方程。
解决这类问题的关键是求解该点处的导数。
对于三角函数而言，我们可以利用基本导数公式来求解。
例如，对于sin(x)函数，其导数是cos(x)；对于cos(x)函数，其导数是-sin(x)。
一旦我们求得了函数在给定点处的导数，我们可以使用切线方程的一般形式y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)来求解。
其中，f'(x0)表示函数在x0处的导数值，f(x0)表示函数在x0处的函数值。
问题类型二：给定函数和切线斜率，求切点坐标在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其切线的斜率，需要求解切线与该函数的交点坐标。
解决这类问题的关键是找到切点的x坐标。
我们可以使用导数和斜率的关系来求解。
具体而言，由于导数就是切线的斜率，我们可以将斜率与导数相等来列方程。
然后，通过求解方程，我们可以得到切点的x坐标。
一旦我们获得了切点的x坐标，我们可以将该坐标代入三角函数的方程中，得到切点的y坐标。
问题类型三：给定函数和切点，求切线斜率在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其切线的切点坐标，需要求解切线的斜率。
解决这类问题的关键是求解切点的导数。
我们可以使用导数的定义来求解。
具体而言，我们可以将切点的坐标代入三角函数的导数公式中，然后求导得到切点的导数。
一旦我们求得了切点的导数，即可得到切线的斜率。
通过掌握这三种问题类型的解决方法，我们可以有效地利用导数来求解三角函数的切线方程。
这有助于我们更好地理解三角函数的性质和导数的应用。
利用导数求曲线的切线和公切线知识讲解
利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2X12+1.(1) 求在点P( 1,0 )处的切线l i的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【解答】解：(I)由 f (x) =2x3- 3x 得f'( x) =6x2- 3,令f，( x) =0 得, x= - ■-或x= ■-,2 2•- f (-2) =- 10, f (-二)=",f ( = ) =- ", f (1) =- 1,••• f (x)在区间［-2, 1］上的最大值为二.(n)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y°),则y o=2・” -3x。
，且切线斜率为k=6 ：匚-3,•••切线方程为y-y o= (6：,二-3)(x -x o),••• t - y°= (6 ：,二-3)( 1 - x o),即卩4- 6 . F +t+3=0，设g (x) =4x? - 6x?+t+3 , 则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”.T g'(x) =12x2- 12x=12x (x- 1),•g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值.•g (0)> 0 且g (1)v 0,即-3v t v- 1,•当过点过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【作业1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3- 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y<1(1)设函数hW二’、，当k v 0时，讨论h (x)零点的个数；g lx)』x^l(2)若过点P (a,- 4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三. 切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, c€ R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+/HW：c 的取值范围是.解：f '(x) = a + b cos x—c sin x = a +c' cos(x + ^?) = a +cos(x + p)令H + e = 则码 + 0 =环巧+e = g. f\x) ~+dtj题意’存在x r x2E R使得厂(xj厂(兀)= T* 0p(a+cos^X fl + cos^)=_l»即关于。
方法技巧专题-导数与切线方程问题
的图象上 总存在一点，使得在该点
21．曲线 y ln x ax 在 x 2 处的切线与直线 ax y 1 0 平行，则实数 a _______．
22．若函数 f (x) a1nx, (a R) 与函数 g(x) x ，在公共点处有共同的切线，则 实数 a 的值为______．
23．已知函数 f ( x) ax2 1的图像在点 A(1, f (1)) 处的切线与直线 x 8 y 0 垂直，若数列{ f 1(n)}的前 n 项和为 Sn ，
1.例题
【例 1】曲线 f x e4x x 2 在点 0, f 0 处的切线方程是（ ）
A． 3x y 1 0 B． 3x y 1 0 C． 3x y 1 0 D． 3x y 1 0
【例 2】函数 f (x) 2x ln x 的图象在 x 1 处的切线方程为（ ）
A． x y 1 0 B． x y 1 0 C． 2x y 1 0 D． 2x y 1 0
A． 30
B． 45
C． 60
D．135
4．已知定义在 R 上的奇函数 f（x），当 x 0 时， （f x） x3 2x m ，则曲线 y （f x）在点 P（2，f（2））处的切线斜率
为（ ）
A．10
B．-10
C．4
D．与 m 的取值有关
5．过抛物线 x2 2 py p 0 上两点 A, B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点 P 1， 2 ，则直线 AB 的方程
A．0
B．1
C．2
2. 曲线 f x ln x x2 x 1在点 1,1 处的切线方程是（
D．3 ）
A． 2x y 1 0 B． 2x y 1 0 C． 2x y 1 0 D． 2x y 1 0
例谈利用导数求解曲线的切线问题
例谈利用导数求解曲线的切线问题作者：殷瑕来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第03期摘要：随着江苏高考改革的步伐，我们发现导数部分在高考数学试卷中所占的比例越来越大，而利用导数求解曲线的切线问题又是导数中的一个重要问题，几乎可以说是一个必考点。
因此，如何彻底解决这一问题已经成为我们高中数学教学的一个重中之重。
关键词：导数；切线；误区；通解通法一、对切线问题认识的误区1.切线与曲线的公共点不一定是切点例题1. 若直线是曲线的切线，求实数。
错解：曲线过定点，切线也过点因而点为切点，切线的斜率为1而故所以正解：设切点为因为切点一定在切线上，所以而切线斜率为1，切点又在曲线上故解得：，或当时，当时，所以，或2.曲线与切线只有一个交点例题2. 过曲线上一点的切线的方程是。
错解：。
过点的切线的方程为，即。
正解：设切点坐标为，则，切线方程为。
切线过点，切点在曲线上，。
化简得：，即。
解得：或。
当时，切点即，切线方程，即；当时，切点即为，切线方程为，即3.切线不能穿过曲线例题3. 已知两条曲线和y=x在处的点的切线互相平行，则的值为。
A.0或B.0C.D.0或错解：两条曲线在处的切线的斜率分别为，则，解得或0。
当时，曲线在原点处的切线为x轴，但从图象上看x轴穿过该曲线，不是切线，故舍去。
因此，填。
正解：在学习圆锥曲线时，平行于双曲线的渐进线（抛物线的轴）的直线与双曲线（抛物线）只有一个交点，但并不是切线，由此便以为切线不能穿过曲线。
其实，题中x轴是曲线y=x3的切线，也不难从切线的几何背景来加以解释。
根据导数的几何意义，如果函数在点x=x0处的导数存在，那么这个导数值就是曲线在该点处切线的斜率，至于该直线与曲线有多少个交点、是否穿过曲线等等，是不会影响它的切线“身份”的。
所以，答案为0或。
小结：利用导数求解曲线的切线问题中主要有以上三种误区，那么，我们怎样在以后的学习中避免这些错误，这些都是我们研究的方向。
6样运用极限和导数求解曲线的切线方程
浅谈怎样运用极限和导数求解曲线的切线方程陈艳艳摘要：本文在中学生所掌握的微积分的初步知识的基础上，以割线的极限位置来定义切线，并给出了相应的求解切线方程的方法，扩充了传统初等数学的学习方法，对切线这一解析几何中的重要内容作了较系统的分析。
关键词：割线的极限位置斜率函数导数切线方程极限和导数，这两个数学分析中的重要概念，不仅在高等数学中发挥着重要的作用，更成为高中数学学习的重要工具，对高中学生已掌握的微积分初步知识上，极限和导数把传统初等数学学习方法加以扩充，使之有着比传统解法更巧妙的方法，甚至是传统解法不能解决的方法。
本文所讨论的就是极限和导数在平面解析几何中的一个运用——如何运用极限和导数求解曲线C的切线方程。
一、切线的定义：首先，我们给出切线的定义：定义1：通过曲线C上两点M、N的割线，当点M不动，点N沿着曲线C运动并趋近于点M时，割线MN的极限位置的直线MT叫做曲线C的在点M的切线。
同中学课本中所定义的切线比较发现，定义1强调了切线是割线的极限位置，这就是从最本质的地方认识了切线。
中学课本中的定义仅仅局限于圆、椭圆等二次曲线，而定义1是针对所有曲线定义的，中学课本中的定义只是定义1的一个特殊情况。
二、 斜率函数的定义及其求解方法：设曲线C 的方程为y=f （x ），则曲线上一点（x 0，y 0）的切线方程就是y －y 0=k （x －x 0），其中k 是切线的斜率，是待定的。
怎样来求切线的斜率呢？据切线的定义，设曲线上一点M 的坐标为（x 0，y 0），在点M 的附近取曲线上另一点N 。
设点N 横坐标为x ，纵坐标为y=f （x ），于是割线MN 的斜率是：0)()(x x x f x f x y k --=∆∆= 当点N （x ，y ）沿曲线无限接近于点M （x 0，y 0），即x →x 0，y →y 0时，我们就有k k →。
表示为：0)()(lim lim lim 0x x x f x f x y k k o x x x M N --=∆∆==→→∆→，这样过曲线y=f （x ）上点M 的切线的斜率就求得了。
利用导数求圆切线方程的三种问题类型
利用导数求圆切线方程的三种问题类型概述在解决数学问题时，利用导数求圆的切线方程是一种常见的方法。
本文将介绍三种常见的问题类型，并详细解释如何使用导数来求解。
问题类型一：求圆上某点处的切线方程对于给定的圆，我们需要求解圆上某点处的切线方程。
解决这类问题的关键是确定点的坐标和圆的方程。
假设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为半径。
设切线与圆的交点为(x₁, y₁)，则切线的斜率可由导数求得。
假设切线的斜率为k，则切线方程可表示为y-y₁=k(x-x₁)。
通过将圆方程和切线方程联立，可以求解出点(x₁, y₁)，进而获得切线方程的具体表达式。
问题类型二：确定圆和直线的切点坐标在此问题类型中，已知一条直线与圆相切，需要确定切点的坐标。
首先，需要确定直线的方程和圆的方程。
假设直线的方程为y=mx+b，其中m为斜率，b为截距。
圆的方程仍为x²+y²=r²。
确定直线与圆相切的条件为直线方程和圆方程联立，得到二次方程形式的解。
求解该二次方程可得到切点的横坐标x₁，代入直线方程中即可求得切点的纵坐标y₁。
问题类型三：求圆的切线方程和切点坐标此问题类型中，需同时求解切线方程和切点坐标。
解决方法是通过已知条件，构建适当的方程组，然后求解其中的未知变量。
例如，已知圆心坐标和切点在圆上的坐标，可以利用圆方程和切线方程联立求解。
总结利用导数求圆切线方程的三种问题类型包括求圆上某点处的切线方程、确定圆和直线的切点坐标，以及求圆的切线方程和切点坐标。
对于每种问题类型，我们需要确定已知条件，建立适当的方程，然后通过导数运算和联立方程求解未知变量。
这些问题可以通过简单的策略和避免法律复杂性来解决，以确保准确性和可靠性。
备注：本文仅提供数学问题解决方法的讨论，不涉及确切的案例或法律内容。
在实际应用中，请确保依据具体情况做出独立决策并遵循法律法规。
运用导数探究曲线的切线问题
运用导数探究曲线的切线问题曲线的切线反映了曲线的变化情况，体现了微积分中重要的思想方法——以直代曲。
因此，利用导数求解曲线的问题，几乎是新课程高考每年必考的内容。
在这类问题中，导数所肩负的任务是求切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法，真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具。
【注意】（1）过某一点的切线，则该点不一定为切点；（2）直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点；（3）导数不存在，切线也不一定不存在，只能说切线的斜率不存在。
求曲线的切线方程有以下几种常见的类型：类型一：已知切点，求曲线在此处的切线方程类型二：求过某点的切线方程求过某点的切线时，无论此点是否在曲线上，都应先设切点，再求切点，即用待定切点法．类型三：两曲线的公切线问题【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.类型四：切线的应用在导数题目特别是在求参数取值范围时，往往作为邻界线使用。
【点睛】本题考查函数解析式的求法、函数的图像、方程的解与函数图像的关系，需要结合基本运算能力，推理能力，数形结合思想，转化与化归思想，对考生核心的数学素养要求较高.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法.【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题。
【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键．。
用导数的几何意义求切线方程的另一误区
一3(一3 0 a)3+2(- 3a} 十‘ 6
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切线 1 的方程为
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一( 一Y 一(一3 c 3 a)[x a 即 ， ( 一3 一c Y a)(x+ 3 (一_)3+ _)+ 3 b a b a) 。 _)z十 (一_) +d (一3 b a 3 , b a
( a 一 b ) . 一 ( b 一 ‘) 公+
( D ) 有 无 穷 多个 此趣 设 计 精 巧 、 思奇 妙 ， 来 源 于 课 本 构 但 习题 ( 具 体 化 ， 向 空 间推 广 ) ， 改造 于 匈 牙 并 它 利 数 学 竞 赛 试 题 ， 维 含 食 颇 高. 首先 看 命 题 思 组 提 供 的解 答 : 解 注 意 到 31 + 11' = 7' + 9 ， 1 30 , 二
200 5, 7
(二+_ b一。 3 b)z a
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忽视对切点 的具 体分析. 中学数 学， 〔 收稿 日期 ,.20050813) "
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一 a 3
盆 牙 课 本 习 题 胭 一 道 联 易 试 题 276702 山东省临沫一中 李锦显
2 00 5 年 全 国 高 中数 联 赛 早 已尘 埃 落 定 ， 彩 试 题 仍 令 人 回 味 无 穷. 其 中第 2 题 是 : 精
:(一3 ，6 一3 ， 切线 b 2a' a+d 的 a'T'
证明 不妨设 a > 0. 分两种情况讨论: ① 曲线 r 不存在 以点 c 为切点的切 线. 假设 曲线 r 存在 以点 c. 为切点的切 线1, 则其 料率为
导数中的常见错误
导数中的常见错误吴川一中 段东寿一、误认为导数为零的点一定是极值点例1．函数()223a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10，求a ,b 的值．错解()b ax x x f --='232由题意得()01='f ，且()101=f ，即⎩⎨⎧=+--=--1010232a b a b a ，解得⎩⎨⎧-==33b a 或⎩⎨⎧=-=114b a ．分析：()00='x f 是可导函数()x f y =在0x x =处有极值的必要条件而非充分条件．只有加之0x 附近导数的符号相反，才能判定在0x x =处取得极值，因此上述解法在解出a ,b 的值后，还应检验()93323++-=x x x x f 和()1611423+-+=x x x x f 分别在1=x 附近导数符号的变化情况．经检验只有4-=a ,11=b 符合条件．二、误认为极值只能在导数为零的点处取得例2．求函数()62--=x x x f 的极值．错解：由于()⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--=32,632,622x x x x x x x x f 或，于是()⎪⎩⎪⎨⎧=-=<<-+->-<-='32,32,1232,12x x x x x x x x f 或不存在或 令()0='x f ，得.21=x 当212<<-x 时，()0>'x f ；当321<<x 时，()0<'x f ．所以当21=x 时，函数有极大值425． 分析：在确定极值时，只讨论满足()0='x f 的点0x 附近导数的符号变化情况是不全面的，在导数不存在的点处也可能存在极值．在上述解法中，显然忽视了讨论2-=x 和3=x 处左右两侧导数的符号变化情况，从而产生了丢根现象．正确的结果还应包括在2-=x 和3=x 处函数取到极小值0．三、判断单调性时忽视特殊情况例3．已知函数()123--+-=x ax x x f 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围． 错解：()1232-+-='ax x x f 因为()x f 在R 上是减函数，所以()0<'x f 在R 上恒成立，即△01242<-=a 解得33<<-a ，所以a 的取值范围为33<<-a ． 分析：()0<'x f 恒成立的充要条件并不是()x f 在R 上是减函数．事实上， 当3=a 时，()()213--='x x f ，则： 当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈33,x 时，()0<'x f ； 当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,33x 时，()0<'x f ． 而函数()x f 在33=x 处连续，因此()x f 在R 上是减函数．同理可知当3-=a 时，()x f 在R 上是减函数，所以a 的取值范围为33≤≤-a ． 四、误用求导法则例4．x y ln =的导数是_______．错解：xy 1='． 分析：应分情况求导．（i ）当0>x 时，x y 1='；（ii ）当0<x 时，()[]x x y 1ln ='-='．故xy 1=' 例5．求⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx y 的导数． 错解：设u y 2sin =，32π-=x u ，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅=''='32sin 4sin 2sin 2πx u u u u y 正解：设2u y =，v u sin =，32π-=x v ，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=='⎪⎭⎫ ⎝⎛-''='32cos 32sin 4cos 432sin 2πππx x v u x v u y x v u 五、求曲线的切线方程时审题不细 例6．求曲线()x x x x f 2323+-=过原点的切线方程．错解：()2632+-='x x x f ，设切线的斜率为k ，则()20='=f k ，所以所求曲线切线方程为x y 2=．分析：“过某点”与“在某点处”是不同的，在某点处的切线表明此点是切点,而过某点的切线，此点并不一定是切点．正解：()2632+-='x x x f ，设切线的斜率为k ．（i ）当切点是原点时，()20='=f k ，所以所求曲线的切线方程为x y 2=．（ii ）当切点不是原点时，设切点是()00,y x ，则有02030023x x x y +-=，2302000+-==x x x y k ①，又()2630200+-='=x x x f k ②，由①、②得230=x ，4100-==x y k ，故所求曲线的切线方程为x y 41-=． 例7．考察32x y =在点()0,0处的切线．错解：()331323232x x x y =='='-，显然在0=x 处的导数不存在，所以曲线在该点处没有切线．分析：0=x 处的导数不存在，这说明曲线在点()0,0处的切线斜率趋于无穷大，倾斜角为2π，所以32x y =在点()0,0处的切线方程为0=x ．。
利用导数求曲线的切线和公切线以及切线条数专题总结.doc
导数中的切线问题专题总结一、求切线方程1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx－f x 0Δx .(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率．(4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k .(5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式．例1.已知曲线y ＝1x .(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程．例2.已知曲线y＝1 x .(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．3.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是二、求切点坐标【小结】求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标例1.已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x －y －2＝0.(3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.．变式练习直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．三、求两个函数公切线公切线问题：切点相同。
()()00x g x f =()()00''x g x f =切点不同。
()()()()k x g x f mkx x g m kx x f ==+=+=212211'',例1、 已知直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线x e y =的切线，求k 和b 的值解析：例2.若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是y =ln(x +1)的切线，求b 的值例3．已知函数f （x ）=lnx ，g （x ）=2﹣（x ＞0）（1）试判断当f （x ）与g （x ）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f （x ）和 y=g （x ）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；变式练习1.两曲线y =x 2−1和y =alnx −1存在公切线，则正实数a 的取值范围变式练习2.若曲线y =12e x 2与曲线y =alnx 在它们的公共点P （s,t ）处有公切线，则实数a =变式练习 3.已知函数()()1263,1163223++=--+=x x x g ax x ax x f 和直线m:9+=kx y ,又()01'=-f ，是否存在k,使直线m 既是曲线()x f y =的切线，又是曲线()x g y =的切线？如果存在，求出k 的值四、切线条数切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数例1.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．例2.已知函数f （x ）=2x 3﹣3x+1，g （x ）=kx+1﹣lnx ．（1）设函数，当k ＜0时，讨论h （x ）零点的个数；（2）若过点P （a ，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f （x ）相切，求a 的取值范围．变式练习.已知函数f （x ）=x 2+2（1﹣a ）x ﹣4a ，g （x ）=﹣（a+1）2，则f （x ）和g （x ）图象的公切线条数的可能值是 ．。
用导数研究曲线的切线应注意的几个问题
用导数研究曲线的切线应注意的几个问题■江苏省泰兴市第二高级中学高峰用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点,常与解析几何知识交汇命题,旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。
主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。
一、曲线在某点处的切线例1(2021 届四川省遂宁市高三三模)已知函数f(x)=ex-x2+lnx,g(x)=2-ex-lnx。
(1)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为k1,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线的斜率为k2,求k1+k2的值;(2)若h(x)=f(x)+g(x),设曲线y=h(x)在点(t,h(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为s(t),求s(t)的最小值。
解析:(1)因为f(x)=ex-x2+lnx,所以f＇(x)=ex-2x+,所以k1=f＇(1)=e-1。
又因为g(x)=2-ex-lnx,所以g＇(x)=-ex-,所以k2=g＇(1)=-e-1。
所以k1+k2=-2。
(2)h(x)=f(x)+g(x)=2-x2(x＞0),h＇(x)=-2x,则h＇(t)=-2t。
又因为点(t,h(t))为(t,2-t2),所以y=h(x)在点(t,2-t2)处的切线方程为y-(2-t2)=-2t(x-t),故当x=0 时,y=t2+2;当y=0时,x=。
感悟:曲线在某点(x0,f(x0))处的切线,则已知点一定是切点,求切线方程的步骤为:①求出函数f(x)的导数f＇(x);②求出切线的斜率k=f＇(x0);③写出切线方程yf(x0)=f＇(x0)(x-x0),并化简为直线方程的一般式。
二、过某点的曲线的切线例2(2022 届山东省潍坊市高三上学期期中)已知a∈r,函数f(x)=lnx+a(1-x),g(x)=ex。
(1)讨论f(x)的单调性;(2)过原点分别作曲线y=f(x)和y=g(x)的切线l1和l2,求证:存在a＞0,使得切线l1和l2的斜率互为倒数。
利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型
利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型问题类型一：已知抛物线上一点求切线方程已知抛物线方程为 $y=ax^2+bx+c$，且已知抛物线上一点为$(x_1, y_1)$，求该点处的切线方程。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将已知点 $(x_1, y_1)$ 代入导数 $\frac{dy}{dx}$ 中，求出切线的斜率 $k$。
3. 使用点斜式来表示切线方程，即 $y-y_1=k(x-x_1)$。
问题类型二：已知切线斜率求切线方程已知抛物线方程为$y=ax^2+bx+c$，且已知切线的斜率为$k$，求切线方程。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将切线的斜率 $k$ 代入导数 $\frac{dy}{dx}$ 中，得到一个方程。
3. 解方程，求出该方程对应的横坐标 $x$。
4. 将求得的横坐标 $x$ 代入抛物线方程中，求出纵坐标 $y$。
5. 使用点斜式来表示切线方程，即 $y-y=k(x-x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 为切点坐标。
问题类型三：已知抛物线与切线重合求切点坐标已知抛物线方程为$y=ax^2+bx+c$，且已知抛物线与切线重合，求切点的坐标。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将导数$\frac{dy}{dx}$ 与抛物线方程相等，得到一个方程。
3. 解方程，求出该方程对应的横坐标 $x$。
4. 将求得的横坐标 $x$ 代入抛物线方程中，求出纵坐标 $y$。
5. 切点的坐标为 $(x, y)$。
以上是利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型及解题步骤。
希望对你有所帮助！。
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用导数求切线方程的一个误区
导数的几何意义是：设s=s(t)是位移函数，则'0s (t )表示物体在0t t =时刻的瞬时速度；设v=v(t)是速度函数，则'0v v (t )=表示物体在0t t =时刻的加速度；设函数在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线的相应点处的切线斜率。
所以我们常用导数“求某点处的切线方程”和“求过某点的切线方程”。
但是它们有没有区别呢？下面以例说明。
例 若曲线31y x 3=上一点P(2, 83
)，求⑴点P 处的切线方程 ⑵过点P 的切线方程
解：⑴∵'2y x =
∴当x=2时'y =4
∴点P 处的切线方程为8y 4(x 2)3-
=- 即12x-3y-16=0 ⑵设所求的切线与曲线31y x 3
=相切于 点00(x ,y )，则切线斜率为20x ，由直线方程点斜式得切线方程为32000x y x (x x )3-=-，又因为所求切线过点P ，则有32000x 8x (2x )33
-=-，解此三次方程得0x 2=或-1，从而过点的切线斜率为4或1，可求出切点为(2, 83)，1(1,)3
--，相应的过点的切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0 从这道题可以看出第⑴问的结果是直线CD ，第⑵问的结果是直线AB 和直线CD 。
所以我们可得出这样的一个结论：过曲线上一点的切线不一定只是以该点为切点的切线，可能还有别的符合题意的直线。
所以 “求在某点的切线方程”和“求过某点的切线方程”的含义是不同的。
同学们在解这种问题时要分清题意，否则往往容易漏解。
针对性练习题：已知曲线方程为314y x 33=
+，求过点P （2，4）的切线方程。
答案：4x-y-4=0或x-y+2=0。