用导数求切线方程的一个误区

用导数求切线方程的一个误区

导数的几何意义是：设s=s(t)是位移函数，则'0s (t )表示物体在0t t =时刻的瞬时速度；设v=v(t)是速度函数，则'0v v (t )=表示物体在0t t =时刻的加速度；设函数在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线的相应点处的切线斜率。

所以我们常用导数“求某点处的切线方程”和“求过某点的切线方程”。但是它们有没有区别呢？下面以例说明。

例 若曲线31y x 3=上一点P(2, 83

)，求⑴点P 处的切线方程 ⑵过点P 的切线方程

解：⑴∵'2y x =

∴当x=2时'y =4

∴点P 处的切线方程为8y 4(x 2)3-

=- 即12x-3y-16=0 ⑵设所求的切线与曲线31y x 3

=相切于 点00(x ,y )，则切线斜率为20x ，由直线方程点斜式得切线方程为32000x y x (x x )3-=-，又因为所求切线过点P ，则有32000x 8x (2x )33

-=-，解此三次方程得0x 2=或-1，从而过点的切线斜率为4或1，可求出切点为(2, 83)，1(1,)3

--，相应的过点的切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0 从这道题可以看出第⑴问的结果是直线CD ，第⑵问的结果是直线AB 和直线CD 。所以我们可得出这样的一个结论：过曲线上一点的切线不一定只是以该点为切点的切线，可能还有别的符合题意的直线。所以 “求在某点的切线方程”和“求过某点的切线方程”的含义是不同的。同学们在解这种问题时要分清题意，否则往往容易漏解。 针对性练习题：已知曲线方程为314y x 33=

+，求过点P （2，4）的切线方程。 答案：4x-y-4=0或x-y+2=0