提高数学解题速度

谈谈如何提高数学解题速度

解题速度是我们学习过程的一个重要问题. 解题速度快，学习的效率就高，效果就好. 因此速度问题实际也是一个能力问题. 但是单靠多做题、大运动量训练来提高速度，常常是收效甚微的. 本文似谈谈如何科学地加强速度训练，以提高我们学习效率和解决数学问题的能力.

一、训练解题思维过程的敏捷性问题

我们从接触题目的一瞬间起，就有一系列的思维活动过程. 剖析这一过程的几个关键环节，研究如何加快其节奏，才谈得上提高速度.

一般说来解题过程的思维活动应包括审题→识别→联想→设计→解答几个环节，现分述如下. 审题——就是详尽地获取题目所含的各种信息，充分理解题意，因此要想解题快，在训练中我们应在审题这一环节反而要适当放慢一点，一定要认真，仔细，力求全面准确弄清题意. 识别——识别就是把问题在头脑中“分类”，看这道题属于哪一类型，在一般情况下只要识别了某题的类型，解题方法也就大致有了眉目.

联想——联想是我们进一步处理问题的思维过程. 其一是要把题目所包含的各种信息尽可能地转化成便于自己理解、记忆或运算的形式. 其二则是回忆自己头脑中已有的解决这类问题的各种知识、经验和方法，进而估计出大致的解题方向和初步的解题计划. 因此这是影响解题速度的关键一环，应加强训练.

一方面要训练转化信息的能力，同一信息可以有多种表达形式，而不同的表达形式对于处理信息的速度有着很大差别.

例 1 若关于x 的方程01222=++⋅+m m x x 有实根，求实数m 的取值范围和求函数1

2122++-=x x y 的值域； 例2 [设对于不大于4

5的所有的正实数a ，如果满足不等式b a x <-的一切实数x ，也满足不等式b a x <-2，求正实数b 的取值范围]和[设4

50≤

处理一些较复杂的习题时，把条件（信息）转化成使自己易于理解、记忆的简明形式（数学符号、图形、式子、表格……）更利于迅速突破.

例3 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺卡不同的分配方式有

A ．6种

B ．9种

C ．11种

D ．23种

解：给四个人编号：1，2，3，4每个号码代表一个人；每个人送出的贺年卡赋给与其编号相同数字作代表，化为填数问题，由于4这个数目不大，具体填写就得结论.

再没有合乎要求的填法，故共有9种，答案为B.

评述：本题主要考查排列基础知识，两个原理和逻辑思维能力，对数目不大的题目，回归原始，具体操作不失为一种好办法.

例4 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和

盒装磁盘. 根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）

A ．5种

B ．6种

C ．7种

D ．8种

解决的问题有关的各种知识和经验.

例5 函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值是 .

对于这道题思考步骤是否合理却影响着速度的快慢. 如果采用设)2(cos sin ≤=+t t x x ，

进一步得出2

1cos sin 2-=t x x ，然后利用求二次函数最值方法得出结果，这样做费时较多. 反之，若采用直觉思维的方法，立即可以得出正确结果. 由于当)(42z k k x ∈+

=ππ时，x x cos sin +有最大值2且x x cos sin 有最大值21，故可填2+2

1. 可见思维方法设计的合理赢得了时间. 例6 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .

分析：由3++=b a ab 结构对称，故必当a = b 时取得最小值. 利用直觉思维解决的题目较多，我们在平时训练时应注意加强直觉思维的训练.

例7 椭圆14

922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 .

分析：此题看起来是一个不等式的问题，但直角是锐角和钝角的分界角，故我们可以先求出当∠F 1PF 2为直角时，点P 的横坐标，然后结合图形易得当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围. 这样以来，把不等式问题转化成了方程问题.

例8 两共轭双曲线的离心率之和的最小值为

A ．22

B ．4

C ．24

D ．2

分析：若设)0,0(122

22>>=-b a b y a x ，)0,0(12222>>=-b a a

x b y ，然后求出a a b e 221+=，b b a e 222+=，b

b a a b a e e 2

22221+++=+ ，然后利用重要不等式可求出2221≥+e e .以上方法是直接做法. 若这样做更为简捷，由双曲线的离心率均大1，故D 选项是错误的. 又因共轭等轴双曲线的离心率均为2，这样以来立即知道选A.

为了提高设计这一环节的速度，训练中经常注意：将生疏的问题转变为熟悉的问题去处理，将复杂的问题分解成几个比较简单的问题去处理，将空间的问题转化成平面的问题去处理，将抽象的问题转化为比较具体的问题去处理，往往可以加快解决问题的节奏.

只要我们在学习中注意以上几个思维环节的速度训练，解题的速度就可以逐步得到提高.

二、训练思维方法的灵活性问题

为了加快上述各个思维环节，提高解题的速度，还得注意“思维方法”的训练，这除了我们要粗浅地掌握一般的思维方法（分析、综合、归纳、演泽……等）外，作为速度训练的一个重要