中科院历年高等数学甲真题

_________。 （5）向量场 v
i jk x2 y 2 z 2
的旋度为___________。
y f ( x, z)
三、 （8 分）设二元函数 f 具有一阶连续偏导数，关系式 数 y y( x) 及 z z( x) 求
e z yz
可确定函
dy dz 及 。 dx dx

十一、 （10 分） 设函数 f ( x) 在 0, 上连续， 在 (0,) 上可微，f (0) 0 。 当x 0 时， 0 f ( x) f ( x) ，证明 f ( x) 恒等于 0 。 十二、 （10 分）设 f ( x) 在 (0,1) 上一致连续，证明 f ( x) 在 (0,1) 上有界.举例说明 逆命题不成立。
dy d 2 y y 确定的隐函数，求 和 2 。 dx dx x
12.计算 zdxdydz ，其中 V 是球面 x 2 y 2 z 2 2az 和 x 2 y 2 z 2 az 所围
V
成的空间区域， a 0 为常数。 13. （1）将 y arcsinx 展开成带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式； （2）对 0 b 1 ，证明：存在 (0, b) ，使得 1 2 arcsin b b ；

B. 必要条件 D. 既非充分也非必要条件 ）
（4）正项级数 an 收敛的充分条件是（
n 1
A .
an1 1 (n N ) an
B.
n
an 1 (n N )
C.
n 1
(an an 1 ) 收敛
）

D.
a
n 1

2 n
收敛
（5）下列广义积分中发散的是（ A.


（2） 曲线 y sin x (0 x ) 和 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体 的体积是____________。 （3）二重积分
2
2 sin x 3 sin y dxdy ________。 sin x sin y x 2 y 2 1

x2 y 2 （4）平面 x 2 y z 1 与椭圆柱面 1 相交所成的椭圆的面积为 2 3
1 2 x y2
D.
x4 y2 x2 y2
5.下列四个论断正确的是（
A. 若对所有自然数 n ， an 0 满足
an1 1 ，则正项级数 an 收敛； an n 1
B. 若对所有自然数 n ， an 0 满足 n an 1 ，则正项级数 an 收敛；
B. 连续，但不可导； D. 可导，且导函数连续。
4.设 f (0,0) 0 ，当 ( x, y) (0,0) 时 f ( x, y) 为如下四式之一，则 f ( x, y) 在点
(0,0) 处两个偏导数都存在的是（
）
A.
xy 2 x y2
B.
x2 y2 x2 y2
）
C.
x 2 y 2 sin
2 2 2
，Q
y x y z 3 ( 2 2 2) 2 a b c
S
2 2 2
，R
z x y z2 3 ( 2 2 2) 2 a b c
2 2
，
v Pi Q j Rk 。求第二型曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy ，其中 S 由球面
x 2 y 2 z 2 1 与抛物面 z x 2 y 2 1 所围成的有界区域，外侧。
v f (0) z ( f ( x) f ( x)) y i x f (0) z j (1 y)k 是无旋场。
（1）求未知函数 f ( x) 所满足的微分方程初值问题； （2）求解（1）中的初值问题。 18.设 P
x x y z 3 ( 2 2 2) 2 a b c
四、 （8 分）设 f ( x) 满足条件 f ( x) f ( x) 1 ， f (0) 2 。 （1）求 f ( x) ； （2）求不定积分 ( f ( x) 1) ln f ( x)dx 。 五、 （8 分）求幂级数 (1) n
n 0
n n1 x 的收敛半径和函数。 n 1
中国科学院———中国科技大学 2010 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷 试卷名称：高等数学（A）
考生须知： 1.本试卷满分 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。 ____________________________________________________________________ _ 一、选择题（每题只有一个答案是正确的，每小题 5 分，共 25 分） 1 1 （1）当 x 0 时， sin 是（ ） x x A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界且非无穷小量 D. 无穷且非无穷大量 f ( x) f (0) 1 ，则曲线 y f ( x) 在 (0, f (0)) （2）设 f ( x) 可微且满足 lim x0 2x 处的切线斜率为（ ） 1 1 A .2 B. 2 C . D. 2 2 （3）二元函数 f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在是 f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处 可微的（ ） A. 充分条件 C. 充分必要条件
六、 （8 分）求微分方程 y 2 y y e x 的通解。 七、 （12 分）设 f ( x) 在 0,1 中有连续二阶导函数。 （1）证明： x(1 x) f ( x)dx f (0) f (1) 2 f ( x)dx ；
0 0 1 1
（2）当 f (0) 1， f (1) 1 且 f ( x) M 时，试证：
S
z x 2 y 2 (0 z 1) ，其法向量与 z 轴正方向夹角为锐角。
十、 （12 分）设 f ( x) 是以 2 为周期的偶函数，当 0 x 时， f ( x) 1 x 2 。 （1）将 f ( x) 在 , 上展开成傅里叶级数；
(1) n1 1 （2）根据（1）求 和 。 2 4 n n 1 n 1 n
中国科学院——中国科技大学 2009 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷 试卷名称：高等数学（A）
考生须知： 1.本试卷满分 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。 ____________________________________________________________________ _ 一、单项选择题（每题 5 分，共 25 分） 1.如果函数 f ( x) ， 下列四个论断正确的是 （ g ( x) 在点 x a 附近有定义， A. 若 f (a) 1，则存在 0 ，使得 f ( x) 在 (a , a ) 上严格单调； B. 若 f ( x) 在 x a 点取到极大值，则 f ( x) 在 x a 点左侧单调增、右侧单 调减； C. 若 f (a) 0 ， f ( x) 在 x a 点处可导，则 f ( x) 在 x a 点处可导的充要 条件是 f (a) 0 ； D. 若 f ( x) 和 g ( x) 都在 x a 点取到极大值，则函数 f ( x) g( x) 在 x a 点 必取到极大值。 2.当 x 0 时，下列四个无穷小量阶数最高的是（ ） ）
1 A. ln(1 x) x x 2 2
B.

x2
0
4
e dt

1 t
4 1 C. x ( cos x) sin x 3 3
3.设 f ( x)
D. e x 1
1 x3 sin , x 0 ，则 f ( x) 在 x 0 处（ x 0, x 0
）
A. 不连续； C. 可导，但导函数不连续；
( 2,3) ( 0, 0 )
( f ( x) y 2 f (0) y ye xy )dx ( x 2 y x xe xy )dy 。
四、解答与证明题（每题 12 分，共 60 分） 16.求点 (7,7,1) 到曲面 z x 2 y 2 的最短距离，并作几何解释。 17.设 f ( x) 是二次连续可微函数，并设向量场
（3）求极限 lim
b 0

b
，其中 由（2）确定。
14.利用欧拉积分及 函数的余元公式 (s)(1 s)

sin( s )
(0 s 1) 计算积分 (
a
L
b
b x p ) dx ，其中常数 p 满足 0 p 1 。 xa
15.设第二型曲线积分 ( f ( x) y 2 f (0) y ye xy )dx ( x 2 y x xe xy )dy 与路径 无关。 （1）求 f ( x) ； （2）求
n 1
C. 若正项级数 an 收敛，则 lim
n 1


an 0； n n

D. 若 an 0 单调减，且级数 (1) n an 发散，则级数 (
n 1
n 1
1 n ) 收敛。 an 1
二、填空题（每题 5 分，共 25 分） 6.方程 y 2 y y e x 的通解为________________________。
19.设 f ( x) x (0 x 1) 。 （1）将 f ( x) 展开成以 2 为周期的傅里叶余弦级数； （2）利用（1）中结果求积分
2 0
1 2 x ln dx ； x 2 x
1 。 4 n 1 n

（3）利用（1）中结果求级数和
20.设 f ( x) 在区间 a, b 上有连续的导函数，试证明：
1 7.级数 (n ) x n 的和为__________________。 n n 1
8.设 f ( x, y) 是连续函数， D 是由直线 x y 1与 x 轴、 y 轴所围成的平面 域。已知关系式 f ( x, y)dxdy f ( x, y) e(1 y ) 0 成立，则积分
L

1
0
f ( x)dx
M 。 12
八、 （12 分）计算曲线积分 (e x sin y y)dx e x cos ydy ，其中 L 是以 (0,0) 为起 点 ，以 (2,0) 为终点的上半圆周 ( x 1)2 y 2 1。 九、 （12 分）计算曲面积分 ( x3 x)dydz zdxdy ，其中 S 是有向曲面
（1） ( f (b) f (a)) 2 (b a) ( f ( x)) 2 dx ；
a
b
（2） max{ f ( x) a x b}
b 1 b f ( x) dx f ( x) dx 。 a ba a
中国科学院——中国科技大学 2008 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷 试卷名称：高等数学（A）
2
D
f ( x, y)dxdy ___________________。
D
9.积分

0
ex e2x dx ___________________。 x
10.积分
1
0
( x )
n 0

2 n
dx __________________。
三、解答题（每题 8 分，共 40 分） 11.设 y y( x) 是由 ln x 2 y 2 arctan
0
x ln x dx (1 x 2 ) 2
B.

1
1 1 x2
0
dx
C.


1
ln x dx x( x 2 1)
D.


0பைடு நூலகம்
ln( x 2 1) dx x
二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）
ex 1 x2 ________。 （1） lim 2 x 0 x sin 2 x