动量守恒和能量守恒第2章

第二章

力 动量 能量 一、基本要求

1. 掌握牛顿运动定律的矢量表示式及其在自然坐标中的分量表示式；理解牛顿运动定

律的使用条件，能用微积分方法求解变力作用下的简单力学问题.

2. 掌握功的概念，能用计算直线运动中变力的功.理解保守力作功的特点及其与势能

的关系，理解势能的概念和性质，会计算重力势能和弹性势能，了解完有引力势能. 3. 掌握动能定理、动量定理及功能原理；掌握机械能守恒与动量守恒定律；能运用以

上规律分析处理简单系统的动力学问题.

4. 理解相对论质量、动量、动能和能量等概念和公式，能进行简单计算. 二.内容概要

（一） 牛顿定律的数学表达式

=m =dt d m =22dt

d m （2—1） 平面直角坐标系中2

22

2dt

y d m dt x d m dt dv m dt dv m ma ma F F y x y

x

y x ======⎩⎨

⎧ （2—2）

自然坐标中ρ

2

21v m

dt

dv m

m a m a F F n t ==

==⎩⎨

⎧ （2—3） 2.牛顿定律的使用条件 （1） 惯性参考系； （2） 宏观质点； （3） 低速运动（v 〈〈c 〉. （二） 功与能

1. 功 （1）定义W=

ds F d b

a

b

a

⎰⎰

=∙αcos （2—4）

（2） 直角坐标系中表示式 平面运动W=

dy F dx F dy dx F

F b

a

b a

y y y y y x y

b a

x

⎰⎰⎰+=+∙+)()( （2—5）

直线运动 W=

dx F b

a

x x x ⎰

（2—6）

x F 、y F 分别为在x 轴和y 轴上的投影，a x 和a y ，b x 和b y 分别为起点a 和终

点b 的相应坐标值.

2. 保守力与势能

（1）保守力 作功与晕高动路径无关，仅与起点和终点位置有关的力.可表

示为0=∙⎰

d （2—7）

即保守力沿任意闭合路径所作的功等于零.

（2） 势能 在有保守内力作用的物体系内，由物体间相对位置状态决定的一种能量.

势能的性质：

① 势能只存在于有保守力作用的物体系，且属于系统共有. ② 势能是系统内物体间相对位置状态的函数，是标量. ③ 势能值具有相对性，与势能零点的选取有关；两定点间的势能差是确定的，

与势能零点选取无关.

(注：表中各势能函数仅适用于表中所规定的势能零点) 3. 动能定理

（1） 质点动能定理 合力所作的功等于质点动能的增量：

2

0202

121mv mv E E E W k k k -=

-=∆=外 （2—9） (2)质点组动能定理 一切外力所作功和一切内力所作功的代数和等于质点组动能的增量：

2

01

210

2121i i N

i i i N

i k k k i i v m v m E E E W W

∑∑∑∑==-=-=∆=+内外

（2—10）

4. 功能原理与机械能守恒定律

（1） 功能原理 一切外力所作功和一切非保守力所作功的代数和等于系

统机械能的增量：

0E E E W W

i i -=∆=+∑∑非保守内外

（2—11）

（2）机械能守恒定律 当外力所作功的代数和为零，系统非保守内力所作功的代数和亦为零时（即

00==∑∑非保守内外

，且i i W W

）

，系统仅在内部发生动能和势能的相互转换，系统总机械能恒定不变，即有

（2—

12）

（三） 动量 1. 动量定理

（1）质点动量定理 合力的冲量等于质点动量的增量，即

I=

00

v m m p

dt t

t -=-=∆=⎰ （2—13）

（2）质点组动量定理 作用于质点组的合外力的冲量等于系统总动量的增量，即

,0E E E E E E E p k p k ==∆+∆=∆∆-=∆或

i i n

i i N i i n i i t

t n

i i v m v m P P dt F

001

1

01

1

)(∑∑∑∑⎰∑-=-=====外

（2—14）

2. 动量守恒定律

若在0t 至t 时间间隔内，系统所受合外力为零，则在此时间内系统总动量保持不变，即

若

，外

0=∑i F

则有 ∑∑=i i P P 0 （2—15）

或，若系统所受合外力在某方向的分力为零时，系统在该方向上的分动量守恒，

即

若

则有,0=∑ix

F

∑∑=ix ix

p p

0 （2—15a ）

（四） 相对论质量、动量与能量

1. 相对论质量

2

2

01c v m m -=

（2—16）

0m 是在相对物体静止的惯性系中测得的物体质量，称为静止质量.

2. 相对论动量

2

2

01c v m m -=

= （2—17）

3. 相对论能量

（1） 静能 200c m E = （2—18）

（2） 相对论动能202c m mc E k -= （2—19） E pc （3） 相对论总能量2

mc E = （2—20） 4. 相对论动量能量关系

2

0222E c p E += （2—21） 0E

可用图2—1所示直角三角形勾股弦之间的关系形象 图2—1

地表示以上关系.

三.重点指导

（一） 牛顿运动定律

此部分内容应在中学学习的基础上，重点掌握以下方面：

1. 注意理解其适用条件，并在解题中正确运用.例如，牛顿定律仅适用

于惯性系，因此在涉及有相对非惯性系运动的问题时，须首先选定惯