弹性力学-06课件

有限单元法分析的基本步骤： 1、对连续体进行离散化。
对于平面问题，最简单而 常用的单元是三角形单元。在 平面应力问题中，它们是三角 板，在平面应变问题中，它们 是三棱柱。 结点——铰接点 2、单元分析：
（1）选择适当的位移模式，用单元结点位移（为基本未知量）来表示单元
内任一点的位移学，习交即流要PPT建立如下关系式:
再代回u、v 中，得
u N i u i N j u j N m u m v N i v i N j v j N m v m
其中，Ni 、Nj、 N学m习称交流形PPT函数，其表达式为
10
N i ( a i b ix c iy )2 A( i,j,m ) y
而
1 1
xi
yi
A 1 2
xj
yj
1 xm ym
ui
uj j
vm
mu
m
x
二、形函数的几何意义及性质：
记三角形单元 i j m 内的任一点为P (x , y)，则知形函数的几何意义为：
N iA P jmA (i,j,m )
* y
x * y T
则虚功方程可用矩阵表示为：
A d * T f d x d y s d * T f d s A ε T σ d x d y
学习交流PPT
6
§6-2 有限单元法的概念
有限单元法是用由有限多个、有限大小的单元在有限个结点相互连接的 集合体来近似原来的连续体，当上述单元足够小从而划分网格足够密时，就 可以真实地模拟原连续体。
即为单元结点力，[ k ] 称为单元劲度矩阵。
Fiy
i
Fjy
Fix
j
Fjx
Fmy
（5）将作用在单元上的外荷载按虚功相等的原则，
m Fmx
移置到单元各结点处，成为单元结点荷载：
FLeFLiT
T
FLj
T
FLm
T
FLix FLiy FLjx FLjy FLmx
3、整体分析：
O
x
FLmyT 得到整体结点平衡方程组：
§6-9 计算成果的整理
§6-10
学习交流PPT
1
有限单元法工程应用实例1
头盔撞击试验仿真模型与结果
学习交流PPT
2
有限单元法工程应用实例2
穿甲试验仿真
高强钢板厚度10mm，材料考虑应变率影响和失效，不受任何约束。模 拟受初始速度为120m/s和180m/s钢球的冲击过程。
初速度为120m/s
学习交流PPT
Se
其中[ S ]称为应力转换矩阵。
学习交流PPT
8
（4）由于单元产生了应力，则在单元的边界及内部作用有与之平衡的面力和
体力；现将其按虚功相等的原则移置到单元各个顶点处，作为结构其它
部分通过结点对此单元的作用力，称单元结点力，再利用虚功方程，得：
Fe ke
y
其中： Fe FiT
T
Fj
T
FmT
Fix Fiy Fjx Fjy Fmx FmyT
d 学习 交u v流P PT N Niiu vii N Njjvujj N Nm mvum m
11
简写为
dNe
其中： e iT j T mTT
y
T
ui vi uj vj um vm
为单元结点位移列阵。
NN 0i
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
O
为形函数矩阵。
vi
i vj
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1 基本量及基本方程的矩阵表示
§6-2 有限单元法的概念
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
§6-4 单元的应变列阵和应力列阵
§6-5 单元的结点力列阵与劲度列阵
§6-6 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
§6-7 结构的整体分析 结点的平衡方程组
§6-8 解题的具体步骤 单元的划分
xy
T
fy
面力列阵： f
fx fy
fx
T
fy
y xy T 位移列阵：duvu vT
应变列阵：
x y
x
y
xy T 物理方程：σD
xy
1 0
对于平面应变问题，只需将
D
E 1
2
0
1 0
0
称为弹性矩阵。
弹性矩阵[D ]中的E、分别
1
（平面应力问题）
换成
E 、
即可。
学习2 交流 PPT
i vj
ui
1 2 x i 3 y i u i 4 5 x i 6 y i v i
uj
j
1 2 x j 3 y j u j 4 5 x j 6 y j v j
1 2 x m 3 y m u m 4 5 x m 6 y m v m O
vm
mu
m
x
由左边三个方程求解1 、 2 、 3 ，右边三个方程求解 4 、 5 、 6 。
7
d
u
v
N
δe
其中[ N ] 称为形函数矩阵。
e iT
j T
T
mT
y
ui vi uj vj um vmT
vi i vj
{ }e 称为单元结点位移列阵。
uj j
（2）应用几何方程，求出单元的应变，即：
Be O 其中[ B ]称为应变转换矩阵。
ui
vm mu
m
x
（3）应用物理方程，求出单元的应力，即：
KδFL
对各结点进行平衡学习分交析流PP，T 列平衡方程并组集 其中[ K ]称整体劲度矩9 阵。
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
一、位移模式：
对三结点三角形单元，假设位移分量只是坐标的线性函数，即：
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y y
vi
在i、j、m三个结点，位移应当等于结点位移，即：
为单元 i j m 的面积。为使面积不致为负，在图示
坐标系中i → j → m 的次序须是逆时针的。
O
vi
i vj
ui
uj j
vm
mu
m
x
aix xm j
yj ym
b i1 1y ym j
ci1 1x xm j
(i,j,m )
分别为系数行列式第一、二、三列各元素的代数余子式。
则单元内任一点的位移可用矩阵表示为：
1 2 1
5
几何方程：ux
v y
xvuyT
此外，用限单元法还要用到虚功方程：
A(fxufyv)dxdys(fxufyv)ds A(xxyyxyxy)dxdy
对连续变形体，它可以代替平衡微分方程和应力边界条件。
现将虚位移及与该虚位移相应的虚应变表示为：
d * u *v * T
εቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ* x *
初速度为180m/s
3
有限单元法工程应用实例3
群桩复合地基承载力计算结果
动画显示的是地 基中心点的沉降 随线性荷载的变 化过程，云图显 示莫尔库仑材料 的塑性区形成和 大变形塑性流动 过程。
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§6-1 基本量及基本方程的矩阵表示
体力列阵：f ffxy fx
应力列阵：σ
x y
x