双曲线知识点复习学案
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§8.6双曲线
1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2－
y2
b2＝1
(a>0，b>0)
y2
a2－
x2
b2＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±
b
a x y＝±
a
b x
离心率e＝
c
a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a
2＋b2实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段
B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲
线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；
当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．
2．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0 a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2， 故当a >b >0时，1 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2 n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 题组二 教材改编 2．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率 为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A 解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b ＝0，即bx ±ay ＝0， ∴2a ＝bc a 2＋b 2 ＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝ c 2 a 2 ＝5，∴e ＝ 5. 3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1，C 1与C 2的离心 率之积为 3 2 ，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 答案 A 解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2 a ＝ 32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±1 2x ，即x ±2y ＝0. 4．经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案 x 215－y 2 15 ＝1 解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2 a 2＝±1(a >0)， 把点A (4,1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 2 15＝1. 题组三 易错自纠 5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程x 23－t ＋y 2 t －1＝1所表示的曲线为C ，则下面四个命 题中错误的是( ) A ．若C 为椭圆，则1 D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则1 解析 若t >3，则方程可变形为y 2t －1－x 2 t －3＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线；若t <1，则方 程可变形为x 23－t －y 2 1－t ＝1，它表示焦点在x 轴上的双曲线；若2 程x 23－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；若1 选AD. 6．已知双曲线的实轴长为8，离心率为2，则双曲线的标准方程为__________________． 答案 x 216－y 248＝1或y 216－x 2 48 ＝1 解析 由题意知a ＝4，e ＝c a ＝2，∴c ＝8， ∴b 2＝c 2－a 2＝64－16＝48. ∵双曲线的焦点位置不确定，故所求双曲线的标准方程为x 216－y 248＝1或y 216－x 2 48 ＝1.