人教版_高一数学下册期中考试
(最新)高一下册期中考试数学试题及答案(人教版)
高一下学期期中质量调查数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是A.若0a b <<，则 ac bc <B. 若,a b c d >>，则 ac bd >C.若a b >，则1a b <D.若22,0a bc c c>≠，则a b > 2.在数列{}n a 中，111,3n n a a a +=-=-，则4a = A. 10- B. 7- C. 5- D. 113.若13,24a b <<<<，则ab的范围是A. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 13,42⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,44.在ABC V中，已知,24c A a π===，则角C =A.3π B. 23π C. 3π或23π D.12π或512π5.已知数列{}n a 为等比数列，有51374a a a -=，{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=A. 4B. 8C. 16D. 0或86.在ABC V 中，已知sin 2cos sin A B C =，则ABC V 的形状时 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.不确定7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS = A. 13 B. 18 C. 19 D.3108.已知数列{}n a 前n 项和21nn S =-，则此数列奇数项和前n 项和是A. ()21213n -B. ()11213n +-C. ()21223n -D. ()11223n +-第Ⅱ卷（非选择题 共76分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.在数列{}n a 中，223n a n =-，则125是这个数列的第 项.10.在ABC V 中，三边,,a b c 成等比数列，222,,a b c 成等差数列，则三边,,a b c 的关系为 .11.对于任意实数x ，不等式23204mx mx +-<恒成立，则实数m 的取值范围是 . 12.在等差数列{}n a 中，已知11a =，前5项和535,S =则8a 的值是 .13.在ABC V 中，若120,5,7,A AB BC ===o，则ABC V 的面积S = .14.已知数列{}n a 满足，11232,2nn n a a a +=+⋅=，则数列{}n a 的通项公式是 .三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分8分)已知不等式2320ax x -+>的解集为{}|x 1x b x <>或.（1）求,a b 的值；（2）解关于x 的不等式()2220ax b a x b ---<.16.(本小题满分8分)已知等比数列{}n a 中，11a =，公比为q ，且()1.n n n b a a n N *+=-∈ （1）判断数列{}n b 是否为等比数列?请说明理由. （2）求数列{}n b 的通项公式.17.(本小题满分8分)已知数列{}n a 的前项和22 4.n n S +=-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 满足，73154,b a b a ==，求数列{}n b 的前项和.n T18.(本小题满分12分)若等比数列{}n a 的前n 项和1.2n n n S a =- （1）求实数a 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和.n T19.(本小题满分10分)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45,cos .5b c A == （1）求sin C 的值；（2）若ABC V 的面积为3sin sin ,2ABC S B C =V 求a 的值.20.(本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11110,2,.n n n n n n n n a a S a S a a n N -*+++≠-=∈ （1）求证：12;n n n S a -=（2）设1nn n a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T。
人教版高一下学期数学期中考试试卷
(C) 8
(D) 7
2、若 A ＝ y | y x 2 2 x 3 ，B x | x 4 a 2 4 a 3 ，则正确的是（ ）
(A) A B (B) A B (C) A ＝ B (D) A B
3、设U ＝{1，2，3，4，5}， A
∩（ ðU B ）等于（ (A)
） (B) {4}
2
所以当 x 3 0 0 时， f ( x )最 大 值 ＝25000
8 分
当 x 4 0 0 时， f ( x ) 60000 100 x 是减函数，
所以 f ( x )最 大 值 ＜60000－100×400＝25000。 综上所述，当 x 3 0 0 时， f ( x )最 大 值 ＝25000。 ∴每月生产 300 个时利润最大，最大利润为 25000 元。 分
m 4
要(A∩B) C，即要：（4，5） C，
m0
∴必须要有：
m
4
5 m4
2
m
5
2
故所求 m 的范围为
5 m4
2
5 2m
9 分
12 分 13 分
22、解：①∵对于任意的 x, y （0，＋∞）都有 f ( xy ) f ( x ) f ( y ) ，
∴ f (8) f (4 2) f (4) f (2) ＝ f (2 2) f (2) 3 f (2)
2
4
a 3 或 a 2 。而此两个取值均不符合要求，故舍去。
6 分
②当 a 0 ，即 a 0 时， y 在［0,1］上是减函数， 2
故 y最 大 值 ＝ f (0) ＝ a 1 ＝2 a 6 ，满足条件。 42
③当 a 1 ，即 a 2 时， y 在［0,1］上是增函数， 2
人教版_高一数学下册期中考试(15)
知 cos C 0 C 90
2分
由 b c sin A sin B sin C sin A sin A
知a b
2分
∴△ABC 是等腰直角三角形
1分
19．（本题共 12 分）
由题易知，△ABC 是正三角形，∠BDC=45°，∠BCD=75°
3分
所以∠CBD=60°，∠ACB=135°
。
8．已知等差数列{an } 前 10 项和为 40，前 20 项的和为 100，则前 30 项的和为
。
9．已知 x 2 y 1 ，则 2 x 4 y 的最小值为
。
10．已知等比数列{a n } 的首项为 3，前三项的和为 21，则 a 3 a 4 a 5 =
。
11．若关于 x 的不等式 ax 2 bx 2 0 的解集为 ( 1 , 1 ) ，则不等式 ax 2 bx 2 0 的解 23
。
x 1
4．某种菌类生长很快，长度每天增加 1 倍，在 20 天中长成 4 米，则长成 1 米需要 4
5．当 a 2, b 4 时，下方左图所示的这段伪代码运行的结果为
。
∠ABD=30°，CD=6，则线段
AD=
。
7．下方中间的流程图最后输出的 n 的值是
（2）求 S n 的最小值及此时 n 的值。
16．（本题共 3 小题，共 16 分） 给出下面一段伪代码 （1）画出上面这段伪代码所应用的流程图； （2）将上述伪代码改写成“For”语句； （3）求上面这段伪代码运行后的结果。
参考答案
1．10， 1 10
2．60°
3．（1， 3 ） 2
4．16
5．-2，2
（1） a n S n S n 1 2 n （n=1 时也符合）
2023~2024学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷
唐山市第三十六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、选择题1．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，分别是长方体的棱的中点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知，，为非零平面向量，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．若，则C ．若，则，D ．4．已知向量，，且，则实数的值为（ ）A ．B ．3C ．8D ．125．已知单位向量，的夹角为，则（ ）A ．1BCD ．36．在中，角A ，B ，C 所对边分别为，，，，则值等于（ ）a b a b E F ，ABCD A B C D '-'''AB CD ，AB CF + AD 'AC ' DE AE a b c()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ a c b c ⋅=⋅ a b =//a bλR ∃∈λb a = ||||||a b a b ⋅=⋅ (2,4)a = (,6)b m =- //a bm 3-a b 2π3a b -= ABC V ,,a b c π3A =2b =8c =22a b c sinA sinB sinC -+-+AB ．CD7．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝2，底面ABC 是边长为的正三角形，M 为AC 的中点，球O 是三棱锥P －ABM 的外接球．若D 是球0上一点，则三棱锥D －PAC 的体积的最大值是（ ）A．2B ．CD二、多项选择题9．在△ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．若关于 方程 （ 是实数）有两个不等复数根 ，其中 （ 是虚数单位），下面四个选项正确的有（ ）A ．B．C ．D ．11．如图，在直三棱柱中，，，E 为的中点，过AE 的截面与棱BB 、分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是（ ）(2)(1)i z m m =+++m (2,1)--(,2)(1,)⋃-∞--+∞(1,)-+∞(,2)-∞-A B C >>sinA sinB sinC>>A B C >>222sin A sin B sin C>>A B C >>cosA cosB cosC<<A B C >>222cos A cos B cos C<<x 的20x px q ++=p q ，αβ和12α=-+i 1αβ⨯=21αβ=2αβ=332αβ+=111ABC A B C -90ACB ∠=︒12AC BC CC ===11B C 11A CA ．当点F 为棱中点时，截面B ．线段长度的取值范围是C ．当点F 与点B 重合时，三棱锥的体积为D ．存在点F ，使得三、填空题12．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤．（1）当满足条件 时，有；（2）当满足条件 时，有．（填所选条件的序号）13．下列说法正确的序号为 ．①若复数，则；②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；③已知复数，，若，则，均为实数；④复数的虚部是1．14．如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 .已知 ，， ，且 是 的中点，若 ，则 的值为 .四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD 中，已知，，△ABC 为等边三角形，记．1BB AFEG 3++1C G []01，C AEF -431A F AE ⊥αβ，m αm P αm ⊥αm ⊂αβ⊥αβP βm P βm ⊥3i z =+13i 1010z =-1z 2z 12z z >1z 2z 3i 1z =-+ABCD AC BD O AC BC =AC BC ⊥AD BD ⊥O AC 2AD AB CD CB ⋅-⋅= AC BD ⋅ 1AD =2CD =αADC ∠=（1）若，求△ABD 的面积；（2）若，求△ABD 的面积的取值范围．16．已知向量.（1）当时，求的值；（2）设函数，且，求 的最大值以及对应的的值.17．已知是关于x 的实系数一元二次方程.（1）若a是方程的一个根，且，求实数k 的值；（2）若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k 的值.18．如图，多面体 中，底面 是菱形， ，四边形 是正方形且 平面 .（1）求证：平面 ；（2）若 ，求多面体 的体积 .19．如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为2，高为4，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．πα3=πα,π2⎛⎫∈⎪⎝⎭)1cos 12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，a b ⊥ tan x ()()f x a b b =+⋅ π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x x 24410kx kx k -++=1a =1x 2x Z k ∈1221x x x x +ABCDEF ABCD 60BCD ∠=︒BDEF DE ⊥ABCD //CF ADE AE =ABCDEF V（2）求该八面体表面积S的取值范围．。
2022-2023学年全国高中高一下数学人教A版期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知为虚数单位，且，则复数的虚部为( )A.B.C.D.2. 已知集合，，则( )A.B.C.D.3.设关于的方程有解；关于的不等式对于恒成立，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件i (1−i)z =i 3z −i 12−1212i 12A ={x|−2+7x +4>0}x 2B ={x|x ≥1}A ∪B =(−,+∞)12[1,4)[1,+∞)(−,1)∪(1,+∞)12p :x −−a =04x 2x q :x (x +a −2)>0log 2∀x >0p q =−1|x +a|4. 若函数在上有三个零点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5. 已知，且，则 A.B.C.D.6. 若，，，则的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A.B.C.D.8. 若 满足， ，则 的最大值为（）A.B.y =−1|x +a|1+e x x ∈[−5,+∞)a (2,4−]e −5(2,3−]e −5(1,2−]e −5(1,3−]e −5cos α=23−<α<0π2=tan(−α−π)sin(2π−α)cos(−α)tan(π+α)()−5–√2235–√35–√2A(1,−2,1)B(4,2,3)C(6,−1,4)△ABC f(x)(0,+∞)f(3)=0xf(x)<0{x |−3<x <0或x >3}{x |x <−3或0<x <3}{x |x <−3或x >3}{x |−3<x <0或0<x <3},,a →b →c →||=||=2|=2a →b →c →(−)⋅(−)a →b →c →b →101253–√C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是( )A.B.C.D.10. 设向量，，则（ ）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )53–√62–√a >0b >0a +b =4a b ≤2ab −−√+≤2a −√b √≤1+a 2b 218+≥11a 1b =(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF −→−−→−A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时， 则________.14. 函数的最大值为________．15. 直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为________．16. 设 且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且求；若，，求的周长． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.19. 中，角，，的对边分别为，，， ．求的大小；若，且， ，求的面积．=CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2ABC AB =3AC =4BC =5M ABC ⋅AB −→−AM −→−f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3△ABC A B C a b c c =a cos B +b sin A.3–√3(1)A (2)BC =2sin B +sin C ≥3–√△ABC a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)z ¯¯¯a △ABC A B C a b c a cos C +c cos A =−2b cos B (1)B (2)a =3+=2BA −→−BC −→−BD −→−=∣∣∣BD −→−∣∣∣37−−√2△ABC f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′x 220. 已知函数．求函数的解析式；若函数在上单调递增，求的取值范围．21. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足： ， ，平均每趟地铁的载客人数()（单位：人）与发车时间间隔近似地满足下列函数关系：其中 .若平均每趟地铁的裁客人数不超过人，试求发车时间间隔的值；若平均每趟地铁每分钟的净收益为 (单位：元），问当发车时间间隔 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′e x x 2(1)f (x)(2)g(x)=f (x)−mx [1,2]m t 4≤t ≤15t ∈N p t t p(t)={1800−15(9−t ,4≤t <9,)21800,9≤t ≤15,t ∈N (1)1500t (2)Q =−1006p(t)−7920t t .△ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】解：由，得，复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】化简集合，根据并集的定义即可得解.【解答】(1−i)z ==−ii 3z ==−i 1−i −i (1+i)(1−i)(1+i)==−i 1−i +12(−1)21212∴z −12B A {x|−<x <4}1解：因为，，所以，故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若成立，则，所以，若成立，则成立，所以对恒成立，所以.则，所以是的必要不充分条件.故选.4.【答案】A【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，若函数在上有三个零点，A ={x|−2+7x +4>0}x 2={x|−<x <4}12B ={x|x ≥1}A ∪B ={x|x >−}12A p a =−=−4x 2x (−)2x 12214a ≥−14q x +a −2>1a >3−x ∀x >0a ≥3q ⇒p,p ≠q p q B y =−1=0|x +a|1+e x|x +a|=1+e x y =−1|x +a|1+e xx ∈[−5,+∞)y =|x +a|f(x)=1+x则函数与的图象在时有三个交点，从而与的图象在 时，有个交点，与 的图象有个交点，将 代入得，由，得曲线 的斜率为的切线方程为： ，由条件知 故 .故选.5.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而求出的值，原式利用诱导公式化简，约分后将的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵ ，且，∴,，则原式.故选.6.【答案】A【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】y =|x +a|f(x)=1+e x x ≥−5y =−x −a(x ≤−a)y =f(x)x ≥−51y =x +a(x ≥−a)y =f(x)2(−5,1+)e −5y =−x −a a =4−e −5(x)==1,x =0f ′e x y =f(x)1y −2=x,y =x +2a >2.a ∈(2,4−]e −5A cos ααsin αtan αtan αcos α=23−<α<0π2sin α=−=−1−αcos 2−−−−−−−−√5–√3tan α==sin αcos α−5–√2==tan α=−−tan α(−sin α)cos αtan α5–√2A (3,4,2)，=(5,1,3)，=(2,−3,1)−→−−→−−→−解：，，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形.故选.7.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵在上是奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数，由，得，即，由，得，故或解得或，∴的解集为：，故选．8.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】先化简，根据式子分析即可得到答案。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
人教版_高一数学下册期中考试(4)
所以 P(A)= 3 10
（2）设事件 B 为“取到一件正品一件次品”
P(B)= 3 2 = 3 10 5
（3）设事件 C 为“取到的两件都是次品”， 只有一种取法
1 P(C)=
10
20：解：（1） x 5 6 7 8 9 10 7.5 6
（2）所有的结果有下面 15 种
（5，6）（5，7）（5，8）（5，9）（5，10）（6，7）（6，8）（6，9）（6，10） （7，8）（7，9）（7，10）（8，9）（8，10）（9，10） 满足条件的有 7 种（5，9）（5，10）（6，8）（6，9）（6，10）（7，8）（7，9）
即 (1 16 q 3) (1 16 q 3) 0
解得 20 q 12
t 8
⑵
当
8
t
10 8 时，即 0
t
6
时，
f
( x ) 的值域为：
f
(8),
f
(t) ，
t
0
即 q 61, t 2 16t q 3 ∴ t 2 16t q 3 (q 61) t 2 16t 64 12 t
(13) —4 或 4 三：解答题
(14 ) 0
( 15) 2 3 (16) a= 2 ,b=1
17：解：（1） 原式 ( sin )( cos )( sin )( sin ) sin
( cos ) sin sin cos
cos
1 sin
2
3 cos
2
1 原式 2 3
形 ABCD 为菱形， D A B 60 ， P 为 AD 的中点， Q 为 SB 的中点. S
（1）求证： PQ // 平面 SCD ；
（2）求二面角 B P C Q 的正切值．
人教版_高一数学下册期中考试(5)
2
4
10.已知 tanα ,tanβ 是方程 x2+3
3 x+4=0 的两个根，且
<α<
,
<β<
2
2
2
2
则 α+β = （ ）
A
B
2
C 或 2
D
或 2
3
3
3
3
3
3
11. 设 a (4，3) ，a 在 b 上的投影为 5 2 ，b 在 x 轴上的投影为 2，且| b |≤14 ，则 b 2
．
O
C A
16.给出下列命题：
①函数 y
sin(
5
2 x) 是偶函数；
②函数 y
sin(
x
) 在闭区间[
,
] 上是增
2
4
22
函数；
③直线 x 是函数 y sin( 2 x 5 ) 图象的一条对称轴；
8
4
④将函数 y cos( 2 x ) 的图象向左平移 单位，得到函数 y cos 2 x 的图象；
C．(| a － c |－| b |)· a ＝0
D．| a ＋ b ＋ c |＝2 2
9、函数 y= log 1 tan x 的定义域 （
）
2
A ｛x︱0<x≤4｝
B ｛x︱2kπ<x≤2kπ+ ,k∈Z｝ 4
C ｛x︱kπ<x≤kπ+ ,k∈Z｝ 4
D｛x︱kπ- <x≤kπ+ ,k∈Z｝
a
1 , a为第三象限角，
cos
a
2
6
2
, f (a)
6 .
2023-2024学年全国高中高一下数学人教A版(2019)期中试卷(含解析)
2023-2024学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 5 分 ，共计45分 ）1. 已知复数，（ ）A.B.C.D.2. 已知向量，.若 ，则( )A.B.C.D.3. 三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，则球的表面积为（ ）A.B.C.D.4. 在中， ，，，则的面积为（ ）z =1−i =|z|z¯−i 2–√22–√2+i 2–√22–√21+i1−i=(m,3)a →=(m −,m −1)b →43//a →b →=m →12413P −ABC O PA ⊥ABC AB ⊥BC PA =3AB =BC =2O 13π17π52π68π△ABC AB =5sin A =2sin C cos B =45△ABCA.B.C.D.5. 一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中 A.B.平面C.D.6. 设为所在平面内一点，若，则( )A.B.C.D.7. 正三角形边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.510152030()AB //CDAB//CDCD //GHAB //GHE △ABC =2BC −→−EC −→−=+AE −→−12AB −→−12AC−→−=−AE −→−12AB −→−13AC−→−=+AE −→−12AB −→−13AC−→−=−AE −→−12AB −→−12AC−→−ABC 3–√P ⋅AP −→−PB −→−[−，]3232[−，]3212[−，]1232[−，]12128. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为( )A.B.C.D.9. 如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）10. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则( )A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则11. 已知，是实数， 为向量，则下列运算中正确的有（）A.B.若，则3ππ3–√3π3–√π232πm n αβm//αn//αm//nm//αm ⊥βα⊥βα//βm ⊥αn ⊥βm//nα⊥βm//αn//βm ⊥nm n ,,a →b →c →(m −n)=m −n a →a →a→m =m a →b →=a →b→⋅)⋅=⋅(⋅)→→C.D.12. 设向量，，则（ ）A.B.C.D.与的夹角为 13. 我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为，则两个几何体的体积比也为．如下图所示，已知线段长为，直线过点A 且与垂直，以为圆心，以为半径的圆绕！旋转一周，得到环体；以，分别为上下底面的圆心，以为上下底面半径的圆柱体；过且与！垂直的平面为，平面且距离为，若平面截圆柱体所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，则下列结论正确的是（ ）我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为，则两个几何体的体积比也为．如下图所示，已知线段长为，直线过点A 且与垂直，以为圆心，以为半径的圆绕！旋转一周，得到环体；以，分别为上下底面的圆心，以为上下底面半径的圆柱体；过且与！垂直的平面为，平面且距离为，若平面截圆柱体所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，则下列结论正确的是（ ）A.圆柱体的体积为B.C.环体的体积为D.环体的体积为(⋅)⋅=⋅(⋅)a →b →c →a →b →c →(+)⋅=⋅+⋅a →b →c →a →c →b →c→=(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4k k AB 41AB B 1M A B 1N AB βα//β,h αN S 1αM S 2k k AB 41AB B 1M A B 1N AB βα//β,h αN S 1αM S 2N 4π=2πS 2S 1M 8πM 8π2卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）14. 已知复数且，则实数_______.15. 英国数学家布鲁克泰勒通过研究并发现了如下正、余弦公式：其中，，，例如：，，，在中，已知，弧度，米，则的长约为________米（精确到米）.16. 在中，的角平分线与边相交于，，则边的长度为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知中，角，，的对边分别为，，，且有．求角的大小；设向量，，且，求的值． 18. 已知复数为纯虚数，且为实数．求复数；已知是关于的方程的一个根，求实数，的值．19. 如图所示，在正方体中，点，分别是棱，的中点．求证：直线平面．20. 已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点．z =(1+i)3(a −i)22–√(a −3i)2|z|=23a =sin x =x −+−+⋯++⋯x 33!x 35!x 77!(−1)n−1x 2n−1(2n −1)!cos x −1=−+−+⋯++⋯x 22!x 44!x 66!(−1)n x 2n (2n)!x ∈R n ∈N ∗n!=1×2×3×4×⋯×n 1!=12!=1×2=23!=1×2×3=6△ABC ∠ABC =3π4∠BAC =12AC =2–√BC 0.01△ABC ∠A =,∠A 60∘BC D AD =,BC =63–√57–√AB △ABC A B C a b c (a −c)cos B =b cos C 2–√(1)B (2)=(cos 2A +1,cos A)m →=(1,−)n →85⊥m →n →tan(+A)π4z −1z +12+i(1)z (2)z x +px +q =0x 2p q ABCD −A 1B 1C 1D 1E F DD 1CC 1F//B 1BE A 1P −ABCD PA ⊥ABCD PA =BC =1AB =2M PC在图中作出平面与的交点，并指出点所在位置（不要求给出理由）；求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比．21. 已知外接圆的半径为，其内角，，的对边长分别为，，，若.求角；若，求的值． 22. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，.求的值；若，求的面积．(1)ADM PB N N (2)ADM P −ABCD △ABC R A B C a b c 2R(B−sin 2A)=(a +c)sin C sin 2(1)B (2)b =,c =27–√sin A △ABC A B C a b c c sin A −2b sin C =0−−=ac a 2b 2c 25–√5(1)cos A (2)b =5–√△ABC参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 5 分 ，共计45分 ）1.【答案】A【考点】共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】本题主要考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，属于基础题.根据复数的概念求出=1+i,再根据复数代数形式的乘除运算即可求出.【解答】解：因为 ，所以，所以.故选.2.【答案】B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】此题暂无解析【解答】解： ，z ¯¯¯|z|z¯¯¯z =1−i =1+i z¯¯¯|z|z ¯¯¯=2–√1+i =(1−i)2–√(1+i)(1−i)=(1−i)2–√2=−2–√2i 2–√2A ∵//a →b →×(m −)=m ×(m −1)4，，解得.故选.3.【答案】B【考点】球的表面积和体积【解析】取的中点，连结、．由线面垂直的判定与性质，证出且，得到与是具有公共斜边的直角三角形，从而得出，所以、、、四点在以为球心的球面上．根据题中的数据，利用勾股定理算出长，进而得到球半径，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．【解答】解：取的中点，连结，，∵平面，平面，∴.又∵，，∴平面.∵平面，∴.∵是的斜边上的中线，,同理可得：中，，∴，可得，，，四点在以为球心的球面上．中，，可得，中，，可得,∴球的半径，可得球的表面积为．故选．4.∴3×(m −)=m ×(m −1)43∴−4m +4=0m 2m =2B PC O OA OB BC ⊥PB PA ⊥AC △PAC △PBC OA =OB =OC =OP =PC 12P A B C O PC R PC O OA OB PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA ⊥BC AB ⊥BC PA ∩AB =A BC ⊥PAB PB ⊂PAB BC ⊥PB OB Rt △PBC OB =PC 12Rt △PAC OA =PC 12OA =OB =OC =OP =PC 12P A B C O Rt △ABC AB =BC =2AC =22–√Rt △PAC PA =3PC =17−−√O R =17−−√2O S =4π=17πR 2B【答案】B【考点】正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】先求出 ，再求出 ，最后求’的面积即可．【解答】解：在中，，由正弦定理：，因为 ，所以.因为，，所以，所以.故选．5.【答案】C【考点】表面展开图棱柱的结构特征【解析】由已知中正方体表面沿着几条棱裁开放平得到的展开图，我们可以画出正方体的直观图，由图结合正方体的结构特征，易得到答案．【解答】解：由已知中正方体的展开图为：a =10sin B =35△ABC △ABC sin A =2sin C a =2c AB =c =5a =10cos B =450<B <πsin B ==1−B cos 2−−−−−−−−√35S =ac sin B =×5×10×=15121235B可得正方体的直观图为：由图可得.故选.6.【答案】A【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以是的中点，所以.故选7.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】利用正弦定理可得的外接圆的半径，利用外接圆的性质和数量积运算、两角和差的余弦公式、余弦函数单调性即可得出．【解答】解：如图所示，CD //GH C =2BC −→−EC −→−E BC =(+)=+AE −→−12AB −→−AC −→−12AB −→−12AC −→−A.△ABC R∵正三角形边长等于，点在其外接圆上运动，∴，，∴.∵，∴．故选.8.【答案】A【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】首先根据圆锥表面积求出，，然后求出圆锥的高，最后利用圆锥体积公式求出结果.【解答】解：设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，由，得.又∵，解得，∴，∴圆锥的高为，∴圆锥的体积为.故选．9.【答案】C【考点】ABC 3–√P ∠AOB =120∘R =⋅=1123–√sin 60∘⋅=(−)⋅(−)AP −→−PB −→−OP −→−OA −→−OB −→−OP −→−=⋅−−⋅+⋅OP −→−OB −→−OP −→−2OA −→−OB −→−OA −→−OP −→−=cos ∠POB −1−cos +cos ∠AOP 120∘=2cos ∠AOB cos(∠AOP −∠POB)−12=−cos(∠AOP −∠POB)−12−1≤cos(∠AOP −∠POB)≤1⋅∈[−，]AP −→−PB −→−3212B r l πl =2πr l =2r S =π+πr ⋅2r =3π=3πr 2r 2r =1l =2r =2h ==−2212−−−−−−√3–√V =πh =π××=π13r 213123–√3–√3A斜二测画法画直观图【解析】观察直观图右边的边与纵轴平行，与轴垂直，由直观图得出原图形上下两条边是不相等的，从而得出答案．【解答】解：设直观图中与轴和轴的交点分别为和，根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的和点，再由平行与轴的线在原图中平行于轴，且长度不变，作出原图如图所示，可知是图．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）10.【答案】B,C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用空间线面关系定理对选项分别分析选择．【解答】解：x x'y'A'B'A B x'x C C A m//αn//αm//n A，如图①，，，不定有，故错误；，如图②，，，一定有，故正确；，如图③，若，，，一定有，故正确；，如图④，，，，不定有，如图情况就有，故错误．故选．11.【答案】A,D【考点】平面向量数量积的运算向量数乘的运算及其几何意义【解析】根据向量的数乘运算以及数量积的运算法则，逐一判断即可.【解答】解：对于，根据向量的数乘运算法则，知成立，正确；对于，当时，对任意，，都有，但不一定有，错误；对于，表示与共线的向量，表示与共线的向量，它们不一定相等，错误；对于，根据向量的数量积满足分配律，知成立，正确.故选.12.【答案】C,D【考点】平面向量的坐标运算向量的模数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系A m//αn//αm//n AB m//αm ⊥βα⊥βBC α//βm ⊥αn ⊥βm//n CD m//αn//βα⊥βm ⊥n m//n D BC A (m −n)=m −n a →a →a →∴A B m =0a →b →m =m =a →b →0→=a →b →∴B C ∵(⋅)⋅a →b →c →c →⋅(⋅)a →b →c →a →∴∴C D (+)⋅=⋅+⋅a →b →c →a →c →b →c →∴D AD【解析】可以求出，从而判断错误；容易得出，从而判断错误，正确；可以求出，从而判断正确．【解答】解：∵，，∴错误；，∴，∴，∴错误，正确；∵，且，∴与的夹角为，∴正确．故选.13.【答案】A,B,D【考点】类比推理归纳推理数列的应用古典概型及其概率计算公式进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）14.【答案】【考点】复数的模||=2,||=a b 2–√A (−)⋅=0a b b B C cos <,>=a b 2–√2D ||=2a →||=b →2–√A −=(1,−1)a →b →(−)⋅=1−1=0a →b →b →(−)⊥b a →b →→B C cos <,>===a →b →⋅a →b →||||a →b →222–√2–√20≤<,b >≤πa →→a →b →π4D CD ±3–√复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用模长公式，即可得出答案.【解答】解：，解得.故答案为：.15.【答案】【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：在中，由正弦定理可得：，∴ ，∴．故答案为：．16.【答案】或【考点】正弦定理余弦定理解三角形|z|===|1+i|3|a −i|22–√|a −3i|2()2–√3()+1a 2−−−−−√22–√()+9a 2−−−−−√223a =±3–√±3–√0.96△ABC BC =2sin12sin =−+−+⋯++⋯1212()1233!()1255!()1277!(−1)n−1()122n−1(2n −1)!sin ≈−≈0.47921212()1233!BC =2sin ≈0.9584≈0.96120.9623此题暂无解析【解答】解：，，由，可得有又由余弦定理，有，可得，有，解得 ，又由，可得或故答案为：或．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵，由正弦定理得：，∴，即，∴.在中，，则，∴，.∵，∴即，∴，即.∵，.由，，∴，则.【考点】=AB ×AD ×sin =AB ×=AB,S △ABD 1230∘1463–√533–√10=AC ×AD ×sin =AC ×=AC S △ACD 1230∘1463–√533–√10=AB ×AC ×sin =AB ×AC S △ABC 1260∘3–√4=+S △ABC S △ABD S △ACD (AB +AC)33–√10=AB ×AC,3–√4AB +AC =AB ×AC,56A +A −AB ×AC =7B 2C 2−(AB +AC)23AB ×AC =7(AB ×AC −3AB ×AC =72536)2AB ×AC =6AB +AC =5{AB =2，AC =3{AB =3，AC =2.23(1)(a −c)cos B =b cos C 2–√(sin A −sin C)cos B =sin B cos C 2–√sin A cos B −sin C cos B =sin B cos C 2–√sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B 2–√sin A cos B =sin(B +C)2–√△ABC sin(B +C)=sin A sin A cos B =sin A 2–√cos B =2–√2B =π4(2)⊥m →n →⋅=0m →n →cos 2A +1−cos A =0852A −cos A =0cos 2852cos A(cos A −)=045cos A ≠0∴cos A =45A +A =1sin 2cos 2sin A >0sin A =，tan A =3534tan(A +)===7π41+tan A 1−tan A 1+341−34两角和与差的正弦公式两角和与差的正切公式数量积判断两个平面向量的垂直关系二倍角的余弦公式【解析】（1）利用正弦定理把题设等式中的边转换成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得的值，进而求得．（2）利用向量垂直的性质利用向量的坐标求得，利用二倍角公式整理成关于的一元二次方程求得的值，利用同角三角函数的基本关系求得的值，然后利用正切的两角和公式求得的值．【解答】解：∵，由正弦定理得：，∴，即，∴.在中，，则，∴，.∵，∴即，∴，即.∵，.由，，∴，则.18.【答案】解：因为复数为纯虚数，所以，则．又因为为实数，cos B B cos 2A +1−cos A =085cos A cos A tan A tan(A +)π4(1)(a −c)cos B =b cos C 2–√(sin A −sin C)cos B =sin B cos C 2–√sin A cos B −sin C cos B =sin B cos C 2–√sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B 2–√sin A cos B =sin(B +C)2–√△ABC sin(B +C)=sin A sin A cos B =sin A 2–√cos B =2–√2B =π4(2)⊥m →n →⋅=0m →n →cos 2A +1−cos A =0852A −cos A =0cos 2852cos A(cos A −)=045cos A ≠0∴cos A =45A +A =1sin 2cos 2sin A >0sin A =，tan A =3534tan(A +)===7π41+tan A 1−tan A 1+341−34(1)z −1z =1+bi(b ≠0)==z +12+i 2+bi 2+i 4+b +(2b −2)i 5z +12+i2b −2=0所以，解得，即．因为是方程的一个根，所以，即，所以解得【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】【解答】解：因为复数为纯虚数，所以，则．又因为为实数，所以，解得，即．因为是方程的一个根，所以，即，所以解得19.【答案】证明：如图，连接．因为点，分别是棱 的中点，所以，，又因为在正方体中，，，2b −2=0b =1z =1+i (2)z =1+i +px +q =0x 2(1+i +p(1+i)+q =0)2p +q +(p +2)i =0{p +2=0,p +q =0,{p =−2,q =2.(1)z −1z =1+bi(b ≠0)==z +12+i 2+bi 2+i 4+b +(2b −2)i 5z +12+i 2b −2=0b =1z =1+i (2)z =1+i +px +q =0x 2(1+i +p(1+i)+q =0)2p +q +(p +2)i =0{p +2=0,p +q =0,{p =−2,q =2.EF E F DD 1CC 1EF//C 1D 1EF =C 1D 1ABCD −A 1B 1C 1D 1//A 1B 1C 1D 1=A 1B 1C 1D 1EF//A B EF =A B所以，，所以四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，所以直线平面．【考点】直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：如图，连接．因为点，分别是棱 的中点，所以，，又因为在正方体中，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，所以直线平面．20.【答案】解：过作，交于点，连接，如图所示，则点为平面与的交点，由为的中点，得为的中点.因为是的中位线，，所以.因为底面，，，所以，.又，，，所以平面，所以，EF//A 1B 1EF =A 1B 1EFB 1A 1F//E B 1A 1E ⊂A 1BE A 1F ⊂B 1BE A 1F//B 1BE A 1EF E F DD 1CC 1EF//C 1D 1EF =C 1D 1ABCD −A 1B 1C 1D 1//A 1B 1C 1D 1=A 1B 1C 1D 1EF//A 1B 1EF =A 1B 1EFB 1A 1F//E B 1A 1E ⊂A 1BE A 1F ⊂B 1BE A 1F//B 1BE A 1(1)M MN//BC PB N AN N ADM PB N M PC N PB (2)MN △PBC BC =1MN =12PA ⊥ABCD PA =1AB =2PB =5–√AN =5–√2AD ⊥AB AD ⊥PA PA ∩AB =A AD ⊥PAB AN ⊥AD (+1)×=–√3–√所以梯形的面积为.点到截面的距离为到直线的距离，所以四棱锥的体积.而四棱锥的体积，所以四棱锥被截下部分体积，故平面将四棱锥分成上，下两部分体积比为．【考点】截面及其作法柱体、锥体、台体的体积计算【解析】本小题以三棱锥为载体，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．本小题以三棱锥为载体，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．【解答】解：过作，交于点，连接，如图所示，则点为平面与的交点，由为的中点，得为的中点.因为是的中位线，，所以.因为底面，，，所以，.又，，，所以平面，所以，所以梯形的面积为.点到截面的距离为到直线的距离，所以四棱锥的体积.而四棱锥的体积，所以四棱锥被截下部分体积，ADMN ×(+1)×=12125–√235–√8P ADMN P AN d =25–√P −ADMN =××=V 11335–√825–√14P −ABCD V =×2×1=1323=V −=−=V 2V 12314512ADM P −ABCD =V 1V 235(1)M MN//BC PB N AN N ADM PB N M PC N PB (2)MN △PBC BC =1MN =12PA ⊥ABCD PA =1AB =2PB =5–√AN =5–√2AD ⊥AB AD ⊥PA PA ∩AB =A AD ⊥PAB AN ⊥AD ADMN ×(+1)×=12125–√235–√8P ADMN P AN d =25–√P −ADMN =××=V 11335–√825–√14P −ABCD V =×2×1=1323=V −=−=V 2V 12314512V 3故平面将四棱锥分成上，下两部分体积比为．21.【答案】解：，，由正弦定理得，即，.，．，，由正弦定理，得，由，故为锐角， ，．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理【解析】【解答】解：，，由正弦定理得，即，.，．，，由正弦定理，得，由，故为锐角， ，ADM P −ABCD =V 1V 235(1)∵2R (B −A)=(a +c)sin Csin 2sin 2∴2R ⋅2R (B −A)=2R (a +c)sin Csin 2sin 2−=(a +c)c b 2a 2=++ac b 2a 2c 2∴cos B ==−+−a 2c 2b 22ac 12∵0<B <π∴B =2π3(2)∵b =7–√c =2=b sin B c sin C sin C =21−−√7b >c C cos C =27–√7∴sin A =sin(B +C)=sin(+C)2π3=×−×=3–√227–√71221−−√721−−√14(1)∵2R (B −A)=(a +c)sin Csin 2sin 2∴2R ⋅2R (B −A)=2R (a +c)sin Csin 2sin 2−=(a +c)c b 2a 2=++ac b 2a 2c 2∴cos B ==−+−a 2c 2b 22ac 12∵0<B <π∴B =2π3(2)∵b =7–√c =2=b sin B c sin C sin C =21−−√7b >c C cos C =27–√7sin A =sin(B +C)=sin(+C)2π．22.【答案】解：因为，所以，即，所以．因为，由知，所以．由余弦定理可得，整理得，解得或(舍).因为，所以，所以的面积．【考点】余弦定理正弦定理三角形的面积公式【解析】【解答】解：因为，所以，即，所以．因为，由知，所以．7∴sin A =sin(B +C)=sin(+C)2π3=×−×=3–√227–√71221−−√721−−√14(1)c sin A −2b sin C =0ac =2bc a =2b cos A ===−+−b 2c 2a 22bc −ac 5√5ac 5–√5(2)b =5–√(1)a =2b a =25–√(2=(+−2c ⋅(−)5–√)25–√)2c 25–√5–√5+2c −15=0c 2c =3c =−5cos A =−5–√5sin A =25–√5△ABC S =××3×=3125–√25–√5(1)c sin A −2b sin C =0ac =2bc a =2b cos A ===−+−b 2c 2a 22bc −ac 5√5ac 5–√5(2)b =5–√(1)a =2b a =25–√2=(+−2c ⋅(−)–√由余弦定理可得，整理得，解得或(舍).因为，所以，所以的面积．(2=(+−2c ⋅(−)5–√)25–√)2c 25–√5–√5+2c −15=0c 2c =3c =−5cos A =−5–√5sin A =25–√5△ABC S =××3×=3125–√25–√5。
人教版高一年级第二学期期中考试数学试卷与答案解析(共五套)
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
9．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为 、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
解得 （ 舍去），故选D.
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，其中 ，则 .
由题意得 ，解得 ，即 .
故选：B.
12．若非零向量 满足 ，且 ，则 的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
即 ，∴
，又 ，故 ，故选A.
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】点 是 所在平面上一点，过 作 ，如下图所示：
由 ，
故 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故选：D．
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】题意， ，所以 .故选：C.
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
（2）因为 为三角形内角，
所以 ，
，
由正弦定理得： ，
又∵ ．
，解得 或 （舍）．
．
22．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
人教版高一年级下学期期中考试数学试卷与答案解析(共三套)
人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A 版第二册：第六章 平面向量及其应用、第七章 复数、第八章 立体几何初步一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量)4(-=，m a ，)31(+-=m b ，，若存在实数0<λ，使得b a λ=，则实数m 的值为( )。
A 、4-B 、512- C 、1-D 、12．下列说法中错误的是( )。
A 、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B 、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C 、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D 、斜二测坐标系取的角可能是 1353．在下列命题中，正确命题的个数为( )。
①两个复数不能比较大小；②若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数1±=x ；③z 是虚数的一个充要条件是R z z ∈+；④若a 、b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数；⑤R z ∈的一个充要条件是z z =；⑥1||=z 的充要条件是z z 1=。
A 、1B 、2C 、3D 、4 4．设α、β是两个不同的平面，则β⊥α的充要条件是( )。
A 、平面α内任意一条直线与平面β垂直B 、平面α、β都垂直于同一条直线C 、平面α、β都垂直于同一平面D 、平面α内存在一条直线与平面β垂直5．如图，在长方体D C B A ABCD ''''-中，用截面截下一个棱锥D D A C ''-，则棱锥D D A C ''-的体积与剩余部分的体积之比为( )。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知复数，则复数的虚部为A.B.C.D.2. 设集合，集合，则 A.B.C.D.3. 已知函数在定义域内可导，则函数在某点处的导数值为是函数在这点处取得极值的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知函数 若，使得关于的方程有个解，则实数的取值范围为( )A.z =−1+2i 2+iz ( )i−i1−1A ={x |(x +1)(2−x)>0}B ={x |1<x <3}A ∪B =(){x |−1<x <3}{x |−1<x <1}{x |1<x <2}{x |2<x <3}f(x)f(x)0f(x)f (x)={−−3+2，x ≥m ，x 3x 22x +2,x <m ，∃n ∈R x f(x)=n 3m (−∞,−2)(−∞,−1)B.C.D.5. 已知( )A.B.C.D.6. 已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，且满足，则（ ）A.B.C.D.7. 若是上的奇函数，且在上是增函数，，则的解集是 A.B.C.D.8. 在平面直角坐标系内，已知直线与圆相交于，两点，且，若且是线段的中点，则的值为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）(−∞,−1)(−∞,−2)∪(−2,0)(−∞,−2)∪(−2,−1)cos(+φ)=−且|φ|<，则tan φ=π23–√2π2−3–√33–√3−3–√3–√ABCD 2∠BAD =120∘E F BC CD =,=2BE −→−EC −→−CD −→−CF −→−+|=AE −→−AF −→−3–√323–√4f(x)R (0,+∞)f(2)=0xf(x)<0(){x |−2<x <0或x >2}{x |x <−2或0<x <2}{x |x <−2或x >2}{x |−2<x <0或0<x <2}xOy l O :+=8x 2y 2A B |AB|=4=2−OC −→−OA −→−OB −→−M AB ⋅OC −→−OM −→−3–√22–√349. 下列说法正确的有 A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10. 设向量，，则（ ）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )A.()>ac 2bc 2a −>b −c 2c 2a >0,b >0>a +mb +m abx ∈R sin x +≥21sin x a >b >0>a 2b 2=(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF =CB −→−EF −→−+=−→−−→−−→−→B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时， 则________.14. 函数的最大值为________．15. 已知点在所在的平面内，若，则与的面积的比值为________．16. 设 且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 函数的部分图象如图所示．求的最小正周期及解析式；设函数，求在区间上的最小值． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2P △ABC 2+3+4=3PA −→−PB −→−PC −→−AB −→−△PAB △PBC f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3f(x)=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<)π2(1)f(x)(2)g(x)=f(x)−cos 2x g(x)[0,]π2a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)¯¯¯在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围. 19. 的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．求；若，，求的周长．20. 已知指数函数且的图象过点，函数求的值，并在给定的直角坐标系中画出函数的图象；若函数在区间上为单调减函数，求实数的取值范围．21. 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：月份产量（千件）为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数＝或＝，为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量千件与月份的关系，请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由． 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．(2)z¯¯¯a △ABC A B C a b c △ABC a 23sin A(1)sin B sin C (2)6cos B cos C =1a =3△ABC f(x)=(a >0a x a ≠1)(−2,4)g(x)={f (x),x <0,−+2x +1,x ≥0.x 2(1)a y =g(x)(x ∈[−2,3])(2)y =g(x)(t,t +)12t 123505253.9y ax +b y +b(a a x b a >0)y △ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，则复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴.故选.z ===i(−1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)−2+4i +i −2i 25z 1C A ={x |−1<x <2}B ={x |1<x <3}A ∪B ={x |−1<x <3}A3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合函数极值取得的条件，进行判断即可．【解答】解：根据导数的性质可知，若函数在这点处取得极值，则，即必要性成立．反之不一定成立，如函数在上是增函数，且，则，但在处函数不是极值，即充分性不成立，综上所述，函数在某点处的导数值为是函数在这点处取得极值的必要不充分条件.故选.4.【答案】D【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：依据题意作出函数图象如下：根据图象可知，当时，，使得关于的方程有个解；当时，由图象可知，关于的方程不存在个解，故；f(x)f'(x)=0f(x)=x 3R f'(x)=3x 2f'(0)=0x =0f(x)0f(x)B m ∈(−∞,−2)∃n ∈R x f(x)=n 3m =−2x f(x)=n 3m ≠−2m ∈(−2,−1)y =−−3+232当时，函数的图象在函数的上方，此时，使得关于的方程有个解.故选.5.【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】由且，可求得，从而可求得．【解答】解：∵，∴，又，∴，∴．故选.6.【答案】B【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】m ∈(−2,−1)y =2x +2y =−−3+2x 3x 2∃n ∈R x f(x)=n 3D cos(+φ)=−π23–√2|φ|<π2φtan φcos(+φ)=−sin φ=−π23–√2sin φ=3–√2|φ|<π2φ=π3tan φ=3–√DD【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵是上的奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数且，由，得，画出的草图如图，故等价于或解得或，∴的解集为：.故选．8.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】根据，作出示意图，可知即为平行四边形的一条边，再根据弦心距得，然后根据向量数量积的运算即可，求出答案.【解答】解：如图，，即为平行四边形的一条边，f(x)(−∞,0)f(x)f(x)f(x)R (0,+∞)f(x)(−∞,0)f(0)=0f(2)=0f(−2)=−f(2)=0f(x)xf(x)<0{x >0，f(x)<0{x <0，f(x)>0，0<x <2−2<x <0xf(x)<0{x |−2<x <0或0<x <2}D =2−OC −→−OA −→−OB −→−OC −→−OBDC O =O −A =4M 2A 2M 2=2OD −→−OA −→−OC −→−OBDC∵，∴，∴，∵是线段的中点，∴，∴，设为和的夹角，由图可知，，∴，.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】不等式的基本性质基本不等式【解析】无【解答】OA =OB =8–√A =O +O =16B 2A 2B 2AB =4M AB OM ⊥AB O =O −A M 2A 2M 2=8−=8−=4(AB)12222θOC −→−OM −→−cos θ=∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OM −→−∣∣∣⋅=cos θOC −→−OM −→−∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OM −→−∣∣∣=⋅∣∣∣OM −→−∣∣∣∣∣∣OM −→−∣∣∣==4∣∣∣OM −→−∣∣∣2C b解：因为，则，不等式两边同减不等号不变，选项正确；赋特值，若，，．左边，右边，显然左边右边，选项错误；因为．则，不能直接使用基本不等式，选项错误；因为，所以，于是，选项正确．故选．10.【答案】C,D【考点】平面向量的坐标运算向量的模数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】可以求出，从而判断错误；容易得出，从而判断错误，正确；可以求出，从而判断正确．【解答】解：∵，，∴错误；，∴，∴，∴错误，正确；∵，且，∴与的夹角为，∴正确．故选.11.【答案】B,D【考点】分段函数的应用函数的值域及其求法>a c 2b c 2a >b A a =1b =4m =−1===0a +m b +m 1−14−1==a b 14<B x ∈R sin x ∈[−1,1]C a >b >0|a|>|b|>a 2b 2D AD ||=2,||=a b 2–√A (−)⋅=0a b b B C cos <,>=a b 2–√2D ||=2a →||=b →2–√A −=(1,−1)a →b →(−)⋅=1−1=0a →b →b →(−)⊥b a →b →→B C cos <,>===a →b →⋅a →b →||||a →b →222–√2–√20≤<,b >≤πa →→a →b →π4D CD函数奇偶性的判断【解析】当时，不单调，根据函数的奇偶性的定义知为非奇非偶函数，利用分段函数，当时，，当时，，故的值域为，可得结果.【解答】解：当时，不单调，又为非奇非偶函数，故错误；，，故正确；当时，，当时，，故的值域为，故正确.故选.12.【答案】A,C,D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】本题考查平面向量的加减混合运算，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：，与长度相等，方向相同，，故正确；，，故错误；，，，∵，x <0f (x)f (x)f [f (−)]=f (0)=13π2x ≥0f (x) 1x <0−1 f (x) 1f (x)[−1,+∞)∵x <0f(x)f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0f(−x)={+1，x ≤0，x 2cos x ，x >0，∴f(x)AC ∵f (−)=cos(−)=03π23π2∴f [f (−)]=f (0)=13π2B x ≥0f (x)≥1x <0−1≤f (x)≤1f(x)[−1,+∞)D BD A ∵CB −→−EF −→−∴=CB −→−EF −→−A B ++OA −→−OC −→−OB −→−=++=2OA −→−AB −→−OB −→−OB −→−B C ⋅=⋅=||⋅||⋅cos OA −→−FA −→−OA −→−OB −→−OA −→−OB −→−60∘⋅=⋅=||⋅||ED −→−BC −→−AB −→−OA −→−AB −→−OA −→−cos ∘||=||=||OA −→−OB −→−AB −→−=⋅−→−−→−−→−−→−∴，故正确；，，，∵，∴，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】分段函数的应用函数的求值函数的周期性【解析】由是定义在上的周期为的函数，得，再由分段函数的性质能求出结果.【解答】解：∵是定义在上的周期为的函数，当时，，∴，.故答案为：.14.【答案】【考点】三角函数的最值同角三角函数间的基本关系【解析】⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC −→−C D |+|=||OF −→−OB −→−OA −→−|−|=||OC −→−OB −→−BC −→−||=||OA −→−BC −→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−D ACD −14f (x)R 3f ()214=f (−)34f (x)R 3x ∈[−2,0]f (x)=|x|f ()214=f (−)34=−=∣∣∣34∣∣∣34f ()=−1=−343414−1454y=cos x −x −cos 2x 2利用三角函数间的平方关系式与二倍角的余弦将转化为：，再配方，利用余弦函数的性质即可求得答案．【解答】解：∵，显然，当时，函数取得最大值.故答案为：．15.【答案】【考点】向量在几何中的应用【解析】利用，确定点在上，且，由此可得与的面积的比值．【解答】解：∵，∴，∴ ，∴点在上，且，∵与分别可看做以，为底时，高相同，∴与的面积的比值为.故答案为：.16.【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系y =cos x −x −cos 2x sin 2y =−x +cos x cos 2y =x +cos xsin 2=1−x +cos xcos 2=−x +cos x +1cos 2=−(cos x −+12)254cos x =12y 5454452+3+4=3PA −→−PB −→−PC −→−AB −→−P AC ||=||PA −→−45PC −→−△PAB △PBC 2+3+4=3PA −→−PB−→−PC −→−AB −→−2+3+4=3(−)PA −→−PB −→−PC −→−PB −→−PA −→−5=−4PA −→−PC −→−P AC ||=||PA −→−45PC −→−△PAB △PBC PA PC △PAB △PBC ||：||=PA −→−PC −→−45452(3−)<<021−−√x 1x 2x 3由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：当，单调递减，作出函数的图象，如图所示．由图可知，当时，恰有三个互不相等的实数根．不妨设，易知，且，∴．令，解得（舍去）或．∴．∴．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由图可得，，所以．所以．当时，，可得，因为，所以．所以的解析式为．．x <0y =(−3x +1)log 2x 2f (x)0<m <2f (x)=m(m ∈R),,x 1x 2x 3<<x 1x 2x 3>0x 2+=2×2=4x 2x 30<<4x 2x 3(−3x +1)=2log 2x 2x =3+21−−√2x =3−21−−√2<3−21−−√2<0x 12(3−)<<021−−√x 1x 2x 32(3−)<<021−−√x 1x 2x 3(1)A =1=−=T 22π3π6π2T =πω=2x =π6f(x)=1sin(2⋅+φ)=1π6|φ|<π2φ=π6f(x)f(x)=sin(2x +)π6(2)g(x)=f(x)−cos 2x =sin(2x +)−cos 2x π6=sin 2x cos +cos 2x sin −cos 2x π6π6=sin 2x −cos 2x =sin(2x −)3–√212π6≤x ≤π因为，所以．当，即时，有最小值，最小值为．【考点】三角函数的最值由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式三角函数的周期性及其求法【解析】由图可得，一个周期内最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，得最小正周期，进而得，代入最高点坐标求，得的解析式；由知的解析式，代入求出的解析式，用两角和的正弦公式把式中的第一项展开，合并，再逆用两角差的正弦公式把式子变形为一个角的一个三角函数值，由的范围，得到的范围，由正弦函数的图象得到的最大值和最小值．【解答】解：由图可得，，所以．所以．当时，，可得，因为，所以．所以的解析式为．．因为，所以．当，即时，有最小值，最小值为．18.【答案】解：.0≤x ≤π2−≤2x −≤π6π65π62x −=−π6π6x =0g(x)−12(1)A =1T ωφf(x)(2)(1)f(x)g(x)x 2x −π6sin(2x −)π6(1)A =1=−=T 22π3π6π2T =πω=2x =π6f(x)=1sin(2⋅+φ)=1π6|φ|<π2φ=π6f(x)f(x)=sin(2x +)π6(2)g(x)=f(x)−cos 2x =sin(2x +)−cos 2x π6=sin 2x cos +cos 2x sin −cos 2x π6π6=sin 2x −cos 2x =sin(2x −)3–√212π60≤x ≤π2−≤2x −≤π6π65π62x −=−π6π6x =0g(x)−12(1)z ==a −i 1+i (a −i)(1−i)2=−i a −12a +12∵为纯虚数，∴且，∴.由可知，.∵对应的点位于第二象限，∴∴，∴的取值范围为.【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算共轭复数【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出；利用复数的运算法则、几何意义和共轭复数的概念，即可得出.【解答】解：.∵为纯虚数，∴且，∴.由可知，.∵对应的点位于第二象限，∴∴，∴的取值范围为.19.【答案】由三角形的面积公式可得，∴，由正弦定理可得22z =0a −12−≠0a +12a =1(2)(1)=+i z ¯¯¯a −12a +12z ¯¯¯ <0,a −12>0,a +12−1<a <1a (−1,1)(1)(2)(1)z ==a −i 1+i (a −i)(1−i)2=−i a −12a +12z =0a −12−≠0a +12a =1(2)(1)=+i z ¯¯¯a −12a +12z ¯¯¯ <0,a −12>0,a +12−1<a <1a (−1,1)(1)=ac sin B =S △ABC 12a 23sin A 3c sin B sin A =2a 3sin C sin B sin A =2sin A∵，∴．，∴，∴，∴ ，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴周长．【考点】余弦定理三角形的面积公式正弦定理两角和与差的余弦公式【解析】根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；根据两角余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决．【解答】解：由三角形的面积公式可得，∴，由正弦定理可得∵，∴．，3sin C sin B sin A =2sin Asin A ≠0sin B sin C =23(2)∵6cos B cos C =1cos B cos C =16cos B cos C −sin B sin C =−=−162312cos(B +C)=−12A =π3===2R ==2a sin A b sin B c sin C 33–√23–√sin B sin C =⋅===b 2R c 2R bc (2)3–√2bc 1223bc =8=+−2bc cos A a 2b 2c 2+−bc =9b 2c 2=9+3cb =9+24=33(b +c)2b +c =33−−√a +b +c =3+33−−√(1)(2)cos A =12A =π3bc =8b +c (1)=ac sin B =S △ABC 12a 23sin A 3c sin B sin A =2a 3sin C sin B sin A =2sin Asin A ≠0sin B sin C =23(2)∵6cos B cos C =1B cos C =1∴，∴，∴ ，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴周长．20.【答案】解：因为且的图象过点，所以，解得，所以函数的图象如图：由可知，单调递减区间为，，因为函数在区间上是单调减函数，所以或，解得或，所以的取值范围为或．【考点】分段函数的应用指数函数的定义、解析式、定义域和值域cos B cos C =16cos B cos C −sin B sin C =−=−162312cos(B +C)=−12A =π3===2R ==2a sin A b sin B c sin C 33–√23–√sin B sin C =⋅===b 2R c 2R bc (2)3–√2bc 1223bc =8=+−2bc cos A a 2b 2c 2+−bc =9b 2c 2=9+3cb =9+24=33(b +c)2b +c =33−−√a +b +c =3+33−−√(1)f(x)=(a >0a x a ≠1)(−2,4)4=a 2a =12g(x)= ,x <0,()12x −+2x +1,x ≥0.x 2y =g(x)(x ∈[−2,3])(2)(1)(−∞,0)(1,+∞)y =g(x)(t,t +)12t +≤012t ≥1t ≤−12t ≥1t t ≤−12t ≥1已知函数的单调性求参数问题【解析】无无【解答】解：因为且的图象过点，所以，解得，所以函数的图象如图：由可知，单调递减区间为，，因为函数在区间上是单调减函数，所以或，解得或，所以的取值范围为或．21.【答案】将，分别代入模拟函数＝和＝，解得＝，＝∴＝和＝，当＝时，＝＝，＝＝，∴用函数＝，为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量千件与月份的关系更合适．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】分别求出对应的，值，再去验证模拟效果即可．(1)f(x)=(a >0a x a ≠1)(−2,4)4=a 2a =12g(x)= ,x <0,()12x −+2x +1,x ≥0.x 2y =g(x)(x ∈[−2,3])(2)(1)(−∞,0)(1,+∞)y =g(x)(t,t +)12t +≤012t ≥1t ≤−12t ≥1t t ≤−12t ≥1(1,50)(2,52)y ax +b y +b a x a 2b 48y 2x +48y +482x x 3y 2x +4854y +482x 56y ax +b(a b a >0)y a b【解答】将，分别代入模拟函数＝和＝，解得＝，＝∴＝和＝，当＝时，＝＝，＝＝，∴用函数＝，为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量千件与月份的关系更合适．22.【答案】解：因为，，所以，，所以．因为，，所以．又因为，所以，整体得，解得或（舍去）．因为，所以，由余弦定理得，所以.【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）答案未提供解析．（2）答案未提供解析．【解答】解：因为，，所以，，所以．因为，，所以．又因为，(1,50)(2,52)y ax +b y +b a x a 2b 48y 2x +48y +482x x 3y 2x +4854y +482x 56y ax +b(a b a >0)y (1)AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A +B −A C 2C 2B 2=A +B −2B =AC ⋅BCC 2C 2C 22–√cos ∠ACB =A +B −A C 2C 2B 22AC ⋅BC ==AC ⋅BC2–√2AC ⋅BC 2–√2∠ACB =π4(2)AB =BC 2–√AB =2−23–√BC =−6–√2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A −(−=AC ⋅(−)C 26–√2–√)22–√6–√2–√A −2(−1)AC +4(−2)=0C 23–√3–√AC =2AC =2(−2)3–√=AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =AD =3S △ACD 122–√2AD =32–√C =A +A−2AC ⋅AD ⋅cos ∠CAD =10D 2C 2D 2CD =10−−√(1)AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A +B −A C 2C 2B 2=A +B −2B =AC ⋅BCC 2C 2C 22–√cos ∠ACB =A +B −A C 2C 2B 22AC ⋅BC ==AC ⋅BC 2–√2AC ⋅BC 2–√2∠ACB =π4(2)AB =BC 2–√AB =2−23–√BC =−6–√2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A −(−=AC ⋅(−)C 2–√–√)2–√–√–√所以，整体得，解得或（舍去）．因为，所以，由余弦定理得，所以.A −(−=AC ⋅(−)C 26–√2–√)22–√6–√2–√A −2(−1)AC +4(−2)=0C 23–√3–√AC =2AC =2(−2)3–√=AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =AD =3S △ACD 122–√2AD =32–√C =A +A −2AC ⋅AD ⋅cos ∠CAD =10D 2C 2D 2CD =10−−√。
2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知，，集合，，若，则( )A.B.C.D.2. 若复数，则的共轭复数的虚部为( )A.B.C.D.3. 设集合，是全集的两个子集，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 若，，则的值为( )a b ∈R A ={a +5,−1}a 2B ={a,b}A ∩B ={3}A ∪B ={−2,3}{2,3}{2,3,5}{2,3,7}z =11−i z −12−i1212i12A B U A ∩B =∅A ⊆∁U B sin α+cos(π−α)=34α∈(0,π)sin(α+)π47A.B.C.D.5. 某传染病在流行初期，由于大部分人未感染且无防护措施，所以总感染人数以指数形式增长．假设在该传染病流行初期的感染人数为，且每位已感染者平均一天会传染给位未感染者的前提下，天后感染此疾病的总人数可以表示为，其中且.已知某种传染病初期符合上述数学模型，且每隔天感染此病的人数会增加为原来的倍，则的值是( )A.B.C.D.6. 已知向量，，若，则等于（ ）A.B.C.D.7. 若函数，的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点最近的零点，则在上的单调递增区间是( )A.B.C.D.78−46−−√8−7846−−√8P 0r n P n =P n P 0(1+r)n ≥1P 0r >01664⋅⋅P 20P 18P 8P 5P 12P 924816=(2,1)a →=(x,−2)b →//a →b →+a →b →(−2,−1)(2,1)(3,−1)(−3,1)f (x)=3sin(ωx +φ)(ω>00<φ<)π2M (,−3)2π3x =2π3π4f (x)M f (x)[−,]π2π2[−,]π2π6[−,]π3π3[−,]π3π6[−,]π6π6△ABC b A C C =60∘b =8△ABC8. 在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则的周长为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知为虚数单位， ，则关于复数的说法错误的是( )A.B.对应复平面内的点在第三象限C.的虚部为D. 10. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，如图，有一张长方形球台，，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，则的值为( )A.B.C.D. 11. 已知是定义在上的函数，满足且对任意的恒有，且当时，，则（ ）A.函数的值域是B.△ABC a b c A B C C =60∘a =5b =8△ABC 20304025i z ⋅=1−i 21−iz |z|=1z z −iz +=2z¯¯¯ABCD AB =3.6m AD =1.2m A α2C tan α1912132f (x)R f (−x)−f (x)=0,x ∈R f (x)=f (x +4)x ∈[0,2]f (x)=(x +2)−1f (x)[,1]14f (−)>f ()1252(x)=1C.时，D.函数在上递减12. 给出下列结论，其中不正确的结论是 A.函数的最大值为B.已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是C.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称D.已知定义在上的奇函数在内有个零点，则函数的零点个数为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13. （5分） 在平面直角坐标系中的位置如图所示， ，将绕点，逆时针旋转得到交轴于，若，则点的坐标为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14. 计算： ． 15. 在中，角，，所对的边为，，，且．求角的大小；若，求的取值范围． 16. 已知向量，设函数.讨论的单调性；x ∈[2,4]f (x)=16−xf (x)[2,4]()a R 10102021△AOC OA =4△AOC O 90∘△O ,A 1C 1A 1C 1y B (0,2)△OB ∼△O C 1C 1A 1C 1(1)(2−−(3+14)129.6038)23 1.5−2(2)−54+−−(log 9log 332953log 5164)23△ABC A B C a b c a sin A +c sin C −a sin C =b sin B3–√(1)B (2)f (x)=sin x cos x +x −3–√cos 23–√2f()A 2=(cos x,sin x),=(cos x,cos x)m →n →3–√f (x)=⋅−,x ∈[0,]m →n →12π3(1)f (x)(x)=2若方程有两个不相等的实数根，求的值．17. 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角，，的对边分别为，，，________，，.求角；求的面积．18. 已知妇=4，a 与占的夹角日=120°，则向量b 在向量日方向上的投影为14.AABC 的内角4,B,C'的对边分别为a,b,c ，已知b=s5,c=2,cosB 子则a=15.己知等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差止16．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角LMAN=60°，C 点的仰角LCAB=45°以及LMAC=75°;从C 点测得LMCA=60°.己知山高BC=100m ，则山高MN=_m ．19. 已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有个零点，求实数取值范围．(2)f (x)=23,x 1x 2cos(+),cos(−)x 1x 2x 1x 2+ac =+b 22–√a 2c 2a cos B =b sin A sin B +cos B =2–√△ABC A B C a b c A =π3b =2–√(1)B (2)△ABC f(x)=2(x −1)+a e x x 2a =e f(x)f(x)2a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】并集及其运算集合的确定性、互异性、无序性【解析】由，得到或，解方程，验证是否满足集合元素的互异性，再利用集合的并集求解即可.【解答】解：由，得，集合中都有元素，令，则，此时，不满足集合元素的互异性；令，则，当 时，，则，此时，满足题意，此时.故选.2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念共轭复数【解析】求出复数的共轭复数即可求解.A ∩B ={3}a +5=3−1=3a 2A ∩B ={3}A B 3a +5=3a =−2−1=−1=3a 2(−2)2−1=3a 2a =±2a =2a +5=7A ={3,7}B ={2,3}A ∪B ={2,3,7}D【解答】解：∵，∴的共轭复数为，∴其虚部为.故选.3.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由韦恩图，，而显然可得.又，可得，所以“”是“”的充要条件.故选．4.【答案】D【考点】三角函数的化简求值【解析】无【解答】解：∵，∴，即.∵，z ===+i 11−i 1+i (1−i)(1+i)1212z =−i z ¯¯¯1212−12A A ∩B =∅A ⊆∁U B A ⊆∁U B A ∩B =∅A ∩B =∅A ⊆∁U B C sin α+cos(π−α)=sin α−cos α=34=1−2sin αcos α=(sin α−cos α)29162sin αcos α=>0716α∈(0,π)∴，，∴，∴，∴.故选．5.【答案】C【考点】函数模型的选择与应用【解析】本题考查指数型函数的应用以及数学建模，考查运算求解能力．【解答】解：由题意得，化简得，所以．故选．6.【答案】A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示平面向量的坐标运算【解析】根据题意，由向量平行的判断方法，可得，解可得的值，即可得的坐标，由向量加法的坐标运算方法，可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，若，则有，sin α>0cos α>0α∈(0,)π2=1+2sin αcos α=(sin α+cos α)22316sin(α+)=(sin α+cos α)=π42–√246−−√8D ==64P n+16P n (1+r P 0)n+16(1+r P 0)n (1+r =64)16⋅⋅P 20P 18P 8P 5P 12P 9=(1+r ×(1+r ×(1+r =(1+r =8)2)3)3)8C 2x −2=0x b →=(2,1)a →=(x,−2)b →//a →b →1⋅x =2⋅(−2)(−4,−2)→即，即，则，故选．7.【答案】C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性【解析】命题意图本题主要考查三角函数的图象与性质．【解答】解：由题意，可知函数的四分之一周期为，则的周期，，又函数的图象过点，，，，，，令，得，∴，由，，解得，，取，得．故选.8.【答案】A【考点】余弦定理x =−4=(−4,−2)b →+=(−2,−1)a →b →A f (x)π4f (x)T =π∴ω==22πT f (x)(,−3)2π3∴−3=3sin(×2+φ)2π3∴×2+φ=−+2kπ2π3π2k ∈Z ∴φ=−+2kπ11π6k ∈Z k =1φ=π6f (x)=3sin(2x +)π62kπ−≤2x +≤2kπ+π2π6π2k ∈Z kπ−≤x ≤kπ+π3π6k ∈Z k =0x ∈[−,]π3π6C【解析】根据余弦定理，得C ，所以，则的周长为．故选．【解答】解：根据余弦定理，得，所以，则的周长为．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】复数的模复数的基本概念共轭复数复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】已知，所以，所以，故选、、．【解答】解：已知，所以.，，故该选项正确；，的实部为，虚部为，对应复平面内的点在坐标轴上，故该选项错误；，的虚部为，故该选项错误；，，则，故该选项错误.故选.10.【答案】=+−2ab cos c 2a 2b 2=+−5×8=49528′c =7△ABC 20A =+−2ab cos Cc 2a 2b 2=+−5×8=495282c =7△ABC 20A z ⋅=1−i 21−i z ==−1(1−i)22|z|=1|B C D z ⋅=1−i 21−i z ==−i (1−i)22A |z|==1(−1)2−−−−−√B z 0−1C z −1D =i z ¯¯¯z +=0z¯¯¯BCDA,C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程已知三角函数模型的应用问题【解析】根据题意画出示意图，进而求解结论．【解答】解：因为，现从角落沿角的方向把球打出去，分两种情况讨论：①如图：关于 的对称点为，关于的对称点为，则根据直线的对称性可得：；②如图：关于 的对称点为，关于的对称点为，如图：根据直线的对称性可得：.故选.11.【答案】B,C【考点】函数的值域及其求法函数的周期性函数奇偶性的性质AB =3AD A αA DC E C AB F tan α===1EG GF 3AD3ADA BC G C AD E tan α===EF FG AD 9AD 19AC【解析】【解答】解：因为函数满足，即，所以函数是偶函数.因为，所以函数是周期为的周期函数.因为当时，，所以当时，函数是减函数，最大值为，最小值为，根据函数是偶函数可知当时，最大值为，最小值为，根据函数是周期为的周期函数可知当时，最大值为，最小值为，即值域为，错误；因为，，所以，故正确；因为当时，函数是减函数，所以当时，函数是增函数，所以根据函数周期为可知函数在上递增，错误；令，则，，故当时，，令，则，，故当时，，正确.故选.12.【答案】A,B【考点】复合函数的单调性函数的对称性【解析】f (x)f (−x)−f (x)=0f (−x)=f (x)f (x)f (x)=f (x +4)f (x)4x ∈[0,2]f (x)=(x +2)−1x ∈[0,2]f (x)1214f (x)x ∈[−2,0]1214f (x)4x ∈R 1214[,]1412A f (−)=f ()=121225f ()=f (−)=f ()=52323227f (−)>f ()1252B x ∈[0,2]f (x)x ∈[−2,0]f (x)f (x)4f (x)[2,4]D x ∈[−2,0]−x ∈[0,2]f (−x)==f (x)(−x +2)−1x ∈[−2,0]f (x)=12−xx ∈[2,4]x −4∈[−2,0]f (x −4)===f (x)12−x +416−xx ∈[2,4]f (x)=16−xC BC =−x+1由复合函数的单调性可求的最大值、在上减函数时的范围，结合指对数函数图象的关系、奇函数的性质可判断、的正误；【解答】、函数中，若令，即有，故错误；、函数且在上是减函数，知：，即有，故错误；、函数与互为反函数，图象关于直线对称，故正确；、定义在上的奇函数在内有个零点，由函数的对称性可知在内有个零点，即函数的零点个数为，故正确；故选：三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】【考点】基本不等式向量的共线定理【解析】此题暂无解析【解答】解：如图作轴于．∵∴，∵，y =()12−x+1y =(2−ax)log 4(0,1)a C D 1y =()12−x 2t =−+1∈(−x,1]x 2y =(∈[,+∞)12)′12A 2y =(2−at)(a >0log 2a ≠1)(0,1)1<a <2xa ∈(1,2]B B y =2t y =x log 2y =x C 4R f (x)(−∞,0)1010f (x)(0,+∞)1010f (x)2021D AB(,)4383H ⊥x C 1H △OB ∽△O C 1C 1A 1==OC 1A 1C 1OB OA 112tan ∠H ===C 1A 1OB OA 1H C 1H A 112m ，O =−−−−−−−−−−−−−设，则∴ ∴，解得或（舍弃），∴．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解： ．．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】利用分数指数幂的性质和运算法则求解．利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：．．H =m C 1H =2m ，OH =2m −4A 1=m ，O =A 1C 15–√C 1+m 2(2m −4)2−−−−−−−−−−−−−√m =25–√+(2m −4m 2)2−−−−−−−−−−−−−√m =8385(,)C 14383(,)4383(1)(2−−(3+14)129.6038)23 1.5−2=−1−+329494=12(2)−54+−−(log 9log 332953log 5164)23=(×)−3−log 3132329116=−2−3−116=−8116(1)(2)(1)(2−−(3+14)129.6038)23 1.5−2=−1−+329494=12(2)−54+−−(log 9log 332953log 5164)23=(×)−3−log 3132329116=−2−3−116=−811615.【答案】解：∵，∴，∴，∴，又，∴．，∴，∵，，∴，∴的取值范围为.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】(1)a sin A +c sin C −a sin C =b sin B 3–√+−ac =a 2c 23–√b 2+−=ac a 2c 2b 23–√cos B ==+−a 2c 2b 22ac 3–√2B ∈(0,π)B =π6(2)f(x)=sin x cos x +x −3–√cos 23–√2=sin 2x +⋅−123–√1+cos 2x 23–√2=sin 2x +cos 2x 123–√2=sin(2x +)π3f()=sin(A +)A 2π3A ∈(0,)5π6A +∈(,)π3π37π6sin(A +)∈(−,1]π312f()A 2(−,1]12(1)a sin A +c sin C −a sin C =b sin B3–√解：∵，∴，∴，∴，又，∴．，∴，∵，，∴，∴的取值范围为.16.【答案】解：由题意知，函数,当时，,∴当，即时单调递增；当，即时单调递减．∵方程在上有两个不相等的实数根，，∴，即，(1)a sin A +c sin C −a sin C =b sin B 3–√+−ac =a 2c 23–√b 2+−=ac a 2c 2b 23–√cos B ==+−a 2c 2b 22ac 3–√2B ∈(0,π)B =π6(2)f(x)=sin x cos x +x −3–√cos 23–√2=sin 2x +⋅−123–√1+cos 2x 23–√2=sin 2x +cos 2x 123–√2=sin(2x +)π3f()=sin(A +)A 2π3A ∈(0,)5π6A +∈(,)π3π37π6sin(A +)∈(−,1]π312f()A 2(−,1]12(1)f (x)=⋅−=x +sin x cos x −m →n →12cos 23–√12=+×sin 2x −=sin(2x +)1+cos 2x 23–√1212π6x ∈[0,]π32x +∈[,]π6π65π62x +∈[,]π6π6π2x ∈[0,]π6,f (x)2x +∈[,]π6π25π6x ∈[,]π6π3f (x)(2)f (x)=23x ∈[0,]π3x 1x 2f ()=f ()=x 1x 223sin(2+)=sin(2+)=x 1π6x 2π6232+)+(2+)=×2πππ∴，即,∴，∴.【考点】平面向量数量积的运算三角函数中的恒等变换应用求两角和与差的正弦【解析】无无【解答】解：由题意知，函数,当时，,∴当，即时单调递增；当，即时单调递减．∵方程在上有两个不相等的实数根，，∴，即，∴，即,∴，∴.17.【答案】(2+)+(2+)=×2x 1π6x 2π6π2+=x 1x 2π3cos(+)=x 1x 212cos(−)=cos(−2)=cos[−(2+)]x 1x 2π3x 2π2x 2π6=sin(2+)=f()=x 2π6x 223(1)f (x)=⋅−=x +sin x cos x −m →n →12cos 23–√12=+×sin 2x −=sin(2x +)1+cos 2x 23–√1212π6x ∈[0,]π32x +∈[,]π6π65π62x +∈[,]π6π6π2x ∈[0,]π6,f (x)2x +∈[,]π6π25π6x ∈[,]π6π3f (x)(2)f (x)=23x ∈[0,]π3x 1x 2f ()=f ()=x 1x 223sin(2+)=sin(2+)=x 1π6x 2π623(2+)+(2+)=×2x 1π6x 2π6π2+=x 1x 2π3cos(+)=x 1x 212cos(−)=cos(−2)=cos[−(2+)]x 1x 2π3x 2π2x 2π6=sin(2+)=f()=x 2π6x 223(1)+ac =+2–√22解：若选择①，，由余弦定理得，因为，所以；若选择②，，则，因为，所以，因为，所以；若选择③，，则，所以，因为，所以，所以，所以.由正弦定理，得，因为，，所以，所以，所以．【考点】正弦定理余弦定理二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：若选择①，，由余弦定理得，因为，所以；若选择②，，则，因为，所以，因为，所以；若选择③，，(1)+ac =+b 22–√a 2c 2cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2–√2ac 2–√2B ∈(0,π)B =π4a cos B =b sin A sin A cos B =sin B sin A sin A ≠0sin B =cos B B ∈(0,π)B =π4sin B +cos B =2–√sin(B +)=2–√π42–√sin(B +)=1π4B ∈(0,π)B +∈(,)π4π45π4B +=π4π2B =π4(2)=a sin A b sin Ba ===b sin A sin B ⋅sin 2–√π32√23–√A =π3B =π4C =π−−=π3π45π12sin C =sin 5π12=sin(+)π4π6=sin cos +cos sin =π4π6π4π6+6–√2–√4=ab sin C S △ABC 12=×××123–√2–√+6–√2–√4=3+3–√4(1)+ac =+b 22–√a 2c 2cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2–√2ac 2–√2B ∈(0,π)B =π4a cos B =b sin A sin A cos B =sin B sin A sin A ≠0sin B =cos B B ∈(0,π)B =π4sin B +cos B =2–√(B +)=π(B +)=1π则，所以，因为，所以，所以，所以.由正弦定理，得，因为，，所以，所以，所以．18.【答案】.【考点】解三角形的实际应用【解析】（1）在中，有条件利用直角三角形的边角关系得到；在中，由条件利用正弦定理得到；在中，根据，进而求解即可.【解答】解：在中，已知，得 ，在中，已知，可得，由正弦定理可得，即，解得，在中，.19.【答案】解：（1）依题意，当时，，故．故当时，；当时，，故函数在处取极小值，即，无极大值．sin(B +)=2–√π42–√sin(B +)=1π4B ∈(0,π)B +∈(,)π4π45π4B +=π4π2B =π4(2)=a sin A b sin Ba ===b sin A sin B ⋅sin 2–√π32√23–√A =π3B =π4C =π−−=π3π45π12sin C =sin 5π12=sin(+)π4π6=sin cos +cos sin =π4π6π4π6+6–√2–√4=ab sin C S △ABC 12=×××123–√2–√+6–√2–√4=3+3–√4150△ABC AC △AMC AM Rt △AMN MN =AM ⋅sin ∠MAN △ABC ∠BAC =40°，∠ABC =90°，BC =100AC ==100100sin45°2–√△AMC ∠MAC =75°，∠MCA =60°∠AMC =45°=AM sin ∠ACM ACsin ∠AMC=AM sin60°1002–√sin45°AM =1003–√Rt △AMN MN =AM ⋅sin ∠MAN =100×sin60°=150m3–√a =e (x)=2+2(x −1)+2ex f ′e x e x (x)=2x +2ex =2x (+e)f ′e x e x x >0(x)>0f ′x <0(x)<0f ′f(x)x =0f(0)=−2(x)=2x (+a)f ′x（2）依题意，．当时，，只有个零点即，不符合题意；当时，，当时，为减函数，当时，，为增函数，，而，∴当时，，使．当时，，．取，，∴函数有个零点；当时，，令得或．①当，即，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗，∴函数至多有个零点，不符合题意；②当，即时，在上单调递增，至多有个零点，不符合题意；③当，即时，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗当时，，∴函数至多有个零点，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的极值函数的零点【解析】本题考查利用导数研究函数的极值、函数的零点．【解答】解：（1）依题意，当时，，故．故当时，；当时，，故函数在处取极小值，即，无极大值．（2）依题意，．当时，，只有个零点即，不符合题意；当时，，当时，为减函数，当时，，为增函数，，(x)=2x (+a)f ′e x a =0f(x)=2(x −1)e x 1x =1a >0+a >0e x x ∈(−∞,0)(x)<0，f(x)f ′x ∈(0,+∞)(x)＞0f ′f(x)f(x =f(0)=−2)极小值f(1)=a >0x >0∃∈(0,1)x 0f ()=0x 0x <0<1，∴(x −1)>x −1e x e r ∴f(x)=2(x −1)+a >2(x −1)+a =a +2x −2e x x 2x 2x 2=<0x 1−1−1+2a −−−−−√a ∴f ()<a +2−2=0，f ()⋅f(0)<0x 1x 21x 1x 12a <0(x)=2x (+a)f ′e x (x)=0f ′x =0x =ln(−a)ln(−a)>0a <−1x f(x)，(x)f ′x (−∞,0)0(0,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),+∞)(x)f ′00f(x)∴f(x =f(0)=−2)极大值f(x)1ln(−a)=0a =−1f(x)(−∞,+∞)∴f(x)1ln(−a)<0a ∈(−1,0)x f(x),(x)f ′x (−∞,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),0)0(0,+∞)(x)f ′0f(x)x <0f(x)=2(x −1)+a <0，f(0)=−2e x x 2f(x)1a (0,+∞)a =e (x)=2+2(x −1)+2ex f ′e x e x (x)=2x +2ex =2x (+e)f ′e x e x x >0(x)>0f ′x <0(x)<0f ′f(x)x =0f(0)=−2(x)=2x (+a)f ′e x a =0f(x)=2(x −1)e x 1x =1a >0+a >0e x x ∈(−∞,0)(x)<0，f(x)f ′x ∈(0,+∞)(x)＞0f ′f(x)f(x =f(0)=−2)极小值f(1)=a >0∃∈(0,1)f ()=0而，∴当时，，使．当时，，．取，，∴函数有个零点；当时，，令得或．①当，即，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗，∴函数至多有个零点，不符合题意；②当，即时，在上单调递增，至多有个零点，不符合题意；③当，即时，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗当时，，∴函数至多有个零点，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是．f(1)=a >0x >0∃∈(0,1)x 0f ()=0x 0x <0<1，∴(x −1)>x −1e x e r ∴f(x)=2(x −1)+a >2(x −1)+a =a +2x −2e x x 2x 2x 2=<0x 1−1−1+2a −−−−−√a ∴f ()<a +2−2=0，f ()⋅f(0)<0x 1x 21x 1x 12a <0(x)=2x (+a)f ′e x (x)=0f ′x =0x =ln(−a)ln(−a)>0a <−1x f(x)，(x)f ′x (−∞,0)0(0,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),+∞)(x)f ′00f(x)∴f(x =f(0)=−2)极大值f(x)1ln(−a)=0a =−1f(x)(−∞,+∞)∴f(x)1ln(−a)<0a ∈(−1,0)x f(x),(x)f ′x (−∞,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),0)0(0,+∞)(x)f ′00f(x)x <0f(x)=2(x −1)+a <0，f(0)=−2e x x 2f(x)1a (0,+∞)。
人教版_高一数学下册期中考试题三
13.某地区有 300 家商店，其中大型商店 30 家，中型商
店 75 家，小型商店 195 家，为了掌握各商店的营业
情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本，若采用分
层抽样的方法，抽取的中型商店数是
.
14.在右图给出的程序中，若输入 a=333，k=5，
则输出的 b 为
.
INPUT “a，k=”；a，k b=0 i=0 DO
9分
45 f1 55 f2 65 f3 75 f4 85 f5 95 f6
＝ 45 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.05
＝71，估计这次考试的平均分是 71 分.
12 分
21.解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件 A ，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
20．（Ⅰ）因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率：
f4 1 (0.025 0.015 2 0.01 0.005) 10 0.3
频率 组距
12 分
， 频 率 0.3 0.03 ，直方图如图所示 组距 10
率，当 a、b∈Z，且 a＜－1，b≥1 时，设集合 A＝{x∈Z|a＜x＜0}，集合 B＝{x∈Z|
－b＜x＜b}.给出以下判断：
2
1
①当 a＝－4，b＝2 时 P(E)＝3，P(F)＝3；
②总有 P(E)＋P(F)＝1 成立；
③若 P(E)＝1，则 a＝－2，b＝1；
④P(F)不可能等于 1.
其中所有正确判断的序号为_____________.
种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种，
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则( )A.B.C.D.2. 平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是 A.B.C.D.3. 已知向量为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）A.B.C.D.4. 如图所示，在中， ，点在边上，点在线段上，若，则( )z (2,−3)=z¯¯¯2−3i2+3i−2−3i−2+3iABCD AC −→−BD −→−AB −→−3−1BD −→−BC −→−()(−1,+∞)(−1,3)(0,+∞)(0,3)，，a →b →c →||=||=2⋅=1a →b →a →b →c →−2c →a →−c →b →π3||c →+13–√3–√1+17–√△ABC BC =30D BC E AD =+CE −→−16CA −→−12CB −→−BD =A.B.C.D.5. 中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定6. 已知，则的值为( )A.B.C.D.7. 已知，，，则（ ）A.B.C.D.10121518△ABC A B C a b c c <b cos A △ABC sin(x +)=π445sin 2x 1825725−725−1625x ∈(0,)π2y ∈(0,)π2=cos x −sin x cos x +sin x sin y1+cos y x +y =π2x +y =π4x +2y =π42x +y =π28. 在中，，，是的垂心，是的外心，则 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是( )A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则10. 已知复数，是的共轭复数，则（ ）A.B.C.复数在复平面内所对应的点在第一象限D. 11. 若函数＝的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法中正确的是（ ）A. 的图象关于＝对称B.当，]时， 的值域为[-，]C. 在区间（，上单调递减△ABC AB =6AC =8H △ABC O △ABC ⋅=OH −→−BC −→−()−14−2828a →b →//a →b →λ=λa →b→=(1,2)a →=(1,1)b →a →+λa →b →λ(−,+∞)53⋅=⋅a →c →b →c →≠c →0→=a →b→G △ABC ++=GA −→−GB −→−GC −→−0→z =2+1−i 1+iz ¯¯¯z =+i z ¯¯¯z 3545z =3z ¯¯¯z¯¯¯zz ≥4z¯¯¯f(x)sin 2x g(x)g(x)x x ∈[0g(x)g(x)ππ)x ∈[0,π]g(x)D.当时，方程＝有个根12. 在中，，，分别是边，，的中点，是其重心，下列说法正确的是( )A.对于任意一点，都有B.C.若，则是在上的投影向量D.若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若复数是纯虚数，则________.14. 已知向量，，若，则向量与的夹角为________．15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为________．16. 如图，在中，，，，，则________．x ∈[0,π]g(x)03△ABC D E F BC AC AB O P ++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−++=DA −→−EB −→−FC −→−0→+=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−BD −→−BA −→−BC −→−P AD =λ+μBP −→−BA −→−BC −→−λμ18(a ∈R)3−ai 1−2i|2a +i|==(−1,3)a =(1,t)b (−2)⊥a b a a b A B C D CD =450m ∠ADB =135∘∠BDC =∠DCA =15∘∠ACB =120∘AB m △ABC 3BD =DC AB =3AC =2∠BAC =60∘⋅=AD −→−BC −→−四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；已知复数为纯虚数，求实数的值．18. 已知向量且，则实数.19. 已知为坐标原点， ，，若 （，且为常数）求函数的最小正周期和单调递减区间；若时，函数的最小值为，求实数的值． 20. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形．写出函数的值域并求的值；若，且，求的值．21. 在中，，，分别是角，，的对边，已知．若，求的大小；若，的面积，且，求，． 22. 已知函数.求最小正周期及对称中心；在锐角中，，，分别为角，，的对边，且，求面积的取值范围．(1)z |z|=2z +=−2z¯¯¯z (2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i m =(1，x)，=(−2，4)，a →b →(−)⊥a →b →b →x =________O =(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f (x)=⋅OA −→−OB −→−x ∈R a ∈R a (1)f (x)(2)x ∈[0,]π2f (x)2a f(x)=2sin(ωx +)(ω>0)3–√π3A B C x △ABC (1)f(x)ω(2)f()=x 083–√5∈(−,)x 010323f(+2)x 0△ABC a b c A B C 3(+)=b 2c 23+2bc a 2(1)sin B =cos C 2–√tan C (2)a =2△ABC S =2–√2b >c b c f (x)=cos 2x +sin(2x −)π6(1)f (x)(2)△ABC a b c A B C f (A)=,b =412△ABC参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】共轭复数【解析】无【解答】解：依题意可知，则．故选．2.【答案】A【考点】向量的投影【解析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，z =2−3i =2+3i z¯¯¯B A AB x A AB y B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)设，，，则，解得，所以，，，，设，的夹角为，过点作于点，则在上的投影：，令，则，令，则在上单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是.故选.3.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)3−(a −1)=a a =2D(1,b)C(3,b)=(1,b)BC −→−=(−1,b)BD −→−BD −→−BC −→−θD DM ⊥BC M BD −→−BC −→−||=||⋅cos θBM −→−BD −→−=⋅BC −→−BD −→−||BC −→−==−−1b 2+1b 2−−−−−√+1b 2−−−−−√2+1b 2−−−−−√=t(t >1)+1b 2−−−−−√||=t −BM −→−2t f(t)=t −2t f(t)(1,+∞)f(t)>f(1)=−1f(t)>−1BD −→−BC −→−(−1,+∞)A此题暂无解析【解答】解：，，，如图，为的中点，连结．设，，则为等边三角形，∵满足与的夹角为，，∵为等边三角形，，四点共圆，∴点的轨迹为圆的一段优弧，当经过圆的圆心时，取得最大值，在中，根据正弦定理得，即，解得,故圆的半径为，，四点共圆，，，，即的最大值为．故选．∵||=||=2⋅=1a →b →a →b →∴cos , ==a →b →⋅a →b →||||a →b →12 , =a →b →π3A OD AB =OA −→−a →=，=OB −→−b →OC −→−c →=2OD −→−a→∴△AOB c →−2c →a →−c →b →π3∴∠BCD =π3△AOB ∴∠BAD =2π3∵∠BCD =，∴A ，B ，C ，D π3C I OC −→−I ||OC −→−△ABD =2R BD sin ∠BAD 2R ==23–√sin 60∘R =1I 1∵∠BID =2∠BCD =,∠AOB =2π3π3∴O ，B ，I ，D ∴∠DIO =∠DBO =π2∴DI ⊥OI ，OI ===O −D D 2I 2−−−−−−−−−√−2212−−−−−−√3–√∴||=|OI|+|IC|=+1OC −→−3–√||c →+13–√A4.【答案】B【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量在几何中的应用【解析】根据图形可设，从而可以得出，根据．D 三点共线即可得出，解出，从而可求出，进而求出【解答】解：由题意可设，则.由，，三点共线，得，解得：，所以，则.故选.5.【答案】A【考点】三角形的形状判断【解析】=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+CE −→−16CA −→−12λCD −→−A,E,+=11612λλ=35CD =18BD =12=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+=+CE −→−16CA −→−12CB −→−16CA −→−12λCD −→−A E D +=11612λλ=35CD =30×=1835BD =30−18=12B sin C <sin B cos A sin A cos B <0依题意，可得，利用两角和的正弦整理得，从而可判断为钝角．【解答】解：中，∵，∴，即，∴，，∴，为钝角，∴为钝角三角形，故选：．6.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式二倍角的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴两边平方得，解得：，则.故选.7.【答案】D【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式二倍角的正切公式【解析】sin C <sin B cos A sin A cos B <0B △ABC c <b cos A sin C <sin B cos A sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A <sin B cos A sin A cos B <0sin A >0cos B <0B △ABC A sin(x +)=(sin x +cos x)=π42–√245(1+2sin x cos x)=1216252sin x cos x =725sin 2x =2sin x cos x =725B【解答】解：，，所以，根据已知范围可得，所以.故选.8.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】【解答】解：如图，为垂心，则，∴①,∵②，由①②得：，同理可得.若，则同时垂直和，∵不成立，∴，=cos x −sin x cos x +sin x 1−tan x 1+tan x ==tan(−x)tan −tan x π4tan +tan x π4π4=sin y 1+cos y 2sin cos y 2y 21+2−1(cos )y 22==tan 2sin cos y 2y 22(cos )y 22y 2tan(−x)=tan()π4y 2−x =π4y 22x +y =π2D H ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(−)⋅=0AH −→−BC −→−OH −→−OA −→−BC −→−(+)⋅=0OB −→−OC −→−BC −→−−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−AC −→−−−−≠0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−AC −→−//BC −→−AC −→−−−−=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−++−→−−→−−→−−→−∴.∵为的外心，∴设，则.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】三角形五心向量的共线定理平面向量数量积的性质及其运算律数量积的坐标表达式数量积表示两个向量的夹角【解析】由向量共线定理可判断选项；由向量夹角的的坐标表示可判断选项；由数量积的运算性质可判断选项；由三角形的重心性质即可判断选项．【解答】解：，由向量共线定理知正确；，，因为与的夹角为锐角，所以，解得，当与共线时，，解得，此时，此时与夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故错误；，若，则，=++OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−O △ABC OA=OB =OC =r ⋅=⋅+(+)⋅OH −→−BC −→−OA −→−BC −→−OB −→−OC −→−BC−→−=⋅=⋅(−)OA −→−BC −→−OA −→−AC −→−AB −→−=⋅−⋅OA −→−AC −→−OA −→−AB −→−=8r ⋅(−cos ∠OAC)−6r ⋅(−cos ∠OAB)=−8×4+6×3=−14A A B C D A A B +λ=(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ)a ¯¯¯b ¯¯a →+λa→b→⋅(+λ)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0a →a →b →λ>−53a →+λa →b →2+λ=2(1+λ)λ=0+λ=(1,2)a →b →a →+λa →b →0λ(−,0)∪(0,+∞)53B C ⋅=⋅a →c →b →c →⋅(−)=0c →a →b →→=→→→因为，则或与垂直，故错误；，若点为的重心，如图，延长交于，则为的中点，所以，所以，故正确．故选.10.【答案】A,C,D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的混合运算共轭复数【解析】无【解答】解：因为，所以，则，，则，，正确，错误．故选．11.【答案】A,C【考点】≠c →0→−=a →b →0→c →−a →b →C D G △ABC AG BC M M BC =2=2××(+)=+AG −→−GM −→−12GB −→−GC −→−GB −→−GC −→−++=GA −→−GB −→−GC −→−0→D AD z =2+=2+=2−i1−i 1+i (1−i)22=2+i z ¯¯¯==z ¯¯¯z 2+i 2−i 3+4i 5z =(2−i)(2+i)=4−=5z ¯¯¯i2A C D B ABD函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】先由已知求出函数的解析式，再根据选项一一验证答案的正确性．【解答】由已知可得函数＝）]＝），选项：因为（）＝＝，选项：当时，，则），所以错误，选项：当时，，由正弦函数的单调递减区间可得：正确，选项：令＝，解得＝，又，共两个根，12.【答案】A,B,C,D【考点】向量在几何中的应用向量的投影向量的共线定理向量加减混合运算及其几何意义向量的三角形法则【解析】对选项，由重心性质可判断正确；对选项，利用平面向量的加减法即可判断正确；对选项，首先根据已知得到为的平分线，即 ，再利用平面向量的投影概念即可判断正确．对选项，首先根据，，三点共线，设， ，再根据已知得到 从而得到 ，即可判断选项正确．【解答】g(x)g(x)sin[2(x−sin(8x−A g sin(3×1B x2x−sin(3x−B C x 3x−C D 2x−kπx x ∈[7,π]A A B B C AD ∠BAC AD ⊥BC C D A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1 λ=t,μ=,1−t 2y =λμ=t ()=−+1−t 212(t −)12218D解：如图所示，对选项，由重心性质，，即 ，故正确；对选项，，故正确；对选项，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量．因为，所以为的平分线.又因为为的中线，所以，如图所示，在的投影为 ，所以是在上的投影向量，故正确．对选项，如图所示，因为在上， 即，，三点共线.设，.又因为 ，所以.因为 ，则 .令，A =(++)PO −→−13PA −→−PB −→−PC −→−++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−A B ++DA −→−EB −→−FC −→−=−(+)−(+)−(+)12AB −→−AC −→−12BA −→−BC −→−12CA −→−CB −→−=−−−−−−12AB −→−12AC −→−12BA −→−12BC −→−12CA −→−12CB −→−=−−+−++=12AB −→−12AC −→−12AB −→−12BC −→−12AC −→−12BC −→−0→B C AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−AD −→−||AD −→−AB −→−AC −→−AD −→−+AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−∠BAC +=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−AD ∠BAC AD BC AD ⊥BC BA −→−BC −→−||cos B =||×=||BA −→−BA −→−||BD −→−||BA −→−BD −→−BD −→−BA −→−BC −→−C D P AD A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1=BD −→−12BC −→−=t +BP −→−BA −→−1−t 2BC −→−=λ+μBP −→−BA −→−BC −→− λ=t,μ=,1−t 20≤t ≤1y =λμ=t ×=−+1−t 212(t −)12218=11当时， 取得最大值为，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为为纯虚数，则，，即，所以故答案为：.14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量的坐标运算，通过向量垂直，然后求解，即可求解向量的夹角．【解答】向量，，．，，解得所以向量，，t =12λμ18D ABCD 10−−√=3−ai 1−2i (3−ai)(1+2i)5=3+2a +(6−a)i 53+2a =06−a ≠0a =−32|2a +i|=|−3+i|=.10−−√10−−√π4t =(−1,3)a =(1,t)b −2=(−3,3−2t)a b (−2)⊥a b a 3+3(3−2t)=0t =(2)=(−1,3)a =(1,2)b θ==–√则向量与的夹角为，．所以：向量与的夹角为：．15.【答案】【考点】解三角形正弦定理余弦定理【解析】【解答】解：由题知，在中， ，得，在中，，得，在中，，即 .故答案为：.16.【答案】【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】无【解答】解：由图可得，，，a b θcos θ==−1+6∗10−−√5–√2–√2a b π44505–√△ADC ∠ADC =150∘AD =DC =450=a △DCB =BD sin 135∘450sin 30∘BD =450=a 2–√2–√△ADB A =+2−2cos =5B 2a 2a 22–√a 2135∘a 2AB =a =4505–√5–√4505–√−174=−BC −→−AC −→−AB −→−=+=+AD −→−AB −→−14BC −→−34AB −→−14AC −→−∴⋅AD −→−BC−→−=(+)⋅(−)34AB −→−14AC −→−AC −→−AB −→−+⋅−22.，，，．故答案为： ．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．【考点】复数的模复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．=+⋅−14AC −→−212AC −→−AB −→−34AB −→−2∵AB =3AC =2∠BAC =60∘∴⋅=×4+×2×3×−×9=−AD −→−BC −→−14121234174−174(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i22．由题意得解得．18.【答案】【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，由得，即解得.故答案为：.19.【答案】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，1−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2112−=(3，x −4)a →b →(−)⊥a →b →b→(−)⋅=0a →b →b →−6+4(x−4)=0x =112112(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k ∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π6x +=7π∴，即时，有最小值为，故．【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的运算正弦函数的周期性正弦函数的单调性三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，∴，即时，有最小值为，故．20.【答案】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.2x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π62x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4()=2sin(+)=8–√∵，∴．∵,∴,∴,∴，∴.【考点】诱导公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式同角三角函数基本关系的运用【解析】（1）由函数的解析式求得函数的值域．（3）由，求得．再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得的值．【解答】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.∵，∴．∵,∴,∴,∴，(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5f()=x 083–√5sin(+)=π4x 0π345f(+6)x 0(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35(+2)=2sin[(+2)+]ππ∴.21.【答案】解：∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．【考点】余弦定理三角函数的恒等变换及化简求值正弦定理【解析】Ⅰ由＝，利用余弦定理，可得，根据，即可求的大小；Ⅱ利用面积及余弦定理，可得、的两个方程，即可求得结论．【解答】解：∵，∴，f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5(1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2()3(+)b 2c 23+2bc a 2cos A sin B =cos C 2–√tan C ()b c (1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13A =1∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．22.【答案】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，已知，则，cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2(1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos −sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6120<A <π2<2A +<π6π67π6A +=5π即，解得，已知，根据正弦定理可得，即 ，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.【考点】正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值三角函数的周期性及其求法【解析】（1）对函数进行整理，进而进行求解即可.（2）根据题目所给信息求出角的度数，利用正弦定理求出，再根据三角形面积公式结合题目进行求解即可.【解答】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，2A +=π65π6A =π3b =4=b sin Bc sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B=bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√A c (1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos−sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6122A +<7π已知，则，即，解得，已知，根据正弦定理可得，即 ，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.0<A <π2<2A +<π6π67π62A +=π65π6A =π3b =4=b sin B c sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B =bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B 3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√。
人教版高一数学第二学期期中考试试卷(含参考答案)
人教版高一数学第二学期期中考试试卷（试卷共100分，时间120分钟）一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)。
1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）。
A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，△B ＝45°，S △ABC ＝2，则c 等于（ ）。
A ．2B ．22C ．4D ．423．若向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，c ＝(4，2)，则c ＝（ ）。
A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b 4．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝（ ）。
A ．11B ．10C ．7D ．35．已知函数()14x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ）。
A ．(1，5)B ．(1，4)C ．(0，4)D ．(4，0)6. 为了得到函数y ＝sin(x ＋2)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点（ ）。
A ．向左平行移动2个单位长度B ．向右平行移动2个单位长度C ．向上平行移动2个单位长度D ．向下平行移动2个单位长度 7. 在等比数列{a n }中，a 2 017＝8a 2 014，则公比q 的值为（ ）。
A ．2B ．3C ．4D ．88．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝（ ）。
A ．512 B ．1213 C ．±1213 D ．－12139．已知x ，y 满足241y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最大值是（ ）。
2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 复数在复平面内对应的点在虚轴上，则等于（ ）A.B.C.D.2. 已知向量，，，且，则实数的值为( )A.B.C.D.3. 已知二次函数，则“”是“函数在单调递增”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在中，若，，则形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形z =(a ∈R)1+ai1+ia 2−11−2=(2,1)a →=(0,m)b →=(2,4)c →(−)⊥a →b →c →m 4321f(x)=+bx +1x 2b >0f(x)(0,+∞)△ABC 3b =2a sin B 3–√cos A =cos C △ABCD.等腰直角三角形5. 的值是( )A.B.C.D.6. 要得到的图象，只需将的图象上的所有点( )A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移7. 已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）A.重心B.垂心C.外心D.内心8. 已知函数 的图象与轴相切，则 （ ）A.B.C.cos 15∘−6–√2–√2+6–√2–√2−6–√2–√4+6–√2–√4y =sin x 2y =cos(−)x 2π4π4π4π2π2O A B C P =+λ(+)OP →OA →AB →||cos B AB →AC →||cos CAC →λ∈(0,+∞)P △ABC f (x)=+ax −1e x x a =−1012D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A.①B.②C.③D.④10. 若复数，则（ ）A.B.C.的共轭复数D.11. 平行六面体 中，各棱长均为，设，则（ ）A.当时，B.的取值范围为C.变大时，平行六面体的体积也越来越大D.变化时，和总垂直12. 对于函数 下列结论正确的是( )A.是最小正周期为的奇函数1△ABC A B C a b c b =3c =4B=30∘a =5b =8A =30∘c =2b =3–√B =60∘c =12b =12C =120∘z =−i 3–√|z|=2|z|=4z =+i z ¯¯¯3–√=4−2iz 23–√ABCD −A 1B 1C 1D 12∠AB =∠AD =∠DAB =θA 1A 1θ=π2A =2C 13–√θ(0,)2π3θθAC 1BD f (x)={sin x,sin x ≤cos x,cos x,sin x >cos x,f (x)2π=+kππB.图象的对称轴为直线，C.仅在区间，上单调递减D.值域为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若，则_________．14. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.15. 年月日，在庆祝新中国成立周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析，一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西的方向上，分钟后第二次观测到该飞机在北偏东的方向上，仰角为，则直升机飞行的高度为______千米．（结果保留根号）16. 已知复数，，则的虚部最大值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知复数.求复数的模；若复数是方程的一个根，求实数，的值.18. 已知向量满足，，且，的夹角为 . 求；f (x)x =+kππ4k ∈Zf (x)[+2kπ,π+2kπ]π4k ∈Z f (x)[−1,]2–√2cos(α+)=π1213sin(2α+)=2π3f (x)R x >0f (x)=2−17x 2f (f ())=7–√201910170722–√60∘175∘30∘=cos θ−i z 1=sin θ+i z 2⋅z 1z 2z =−(5−9i)12+2i 14(1)z (2)z 2+mx +n =0x 2m n ,a →b →||=2a →||=1b →a →b →60∘(1)|−|a →b →→求在上的投影向量；若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．19. 已知．求的单调减区间；在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．20. 在中，，，分别是角，，的对边，且．求；若，求的面积．21. 已知向量，其中，，求：，；与夹角的余弦值．22. 已知函数的部分图象如图所示．（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值；（3）不画图，说明函数＝的图象可由＝的图象经过怎样变化得到．(2)b →a →(3)2t +7a →b →+t a →b →t f(x)=sin x cos x −(x +)cos 2π4(1)f(x)(2)△ABC A B C a b c f()=0A2a =1△ABC △ABC abc A B C (3a +c)cos B +b cos C =0(1)sin B (2)a =1，b =22–√△ABC =3−2，=4+a →e 1→e 2→b →e 1→e 2→=(1,0)e 1→=(0,1)e 2→(1)⋅a →b →|+|a →b →(2)a →b →f(x)=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<)π2f(0)f(x)[−,]π3π4y f(x)y sin x参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：，∵在复平面内对应的点在虚轴上，∴且 ，解得.故选．2.【答案】C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算平面向量的坐标运算【解析】先求出，再利用，得到z ===1+ai 1+i (1+ai)(1−i)(1+i)(1−i)(1+a)+(a −1)i 2z (,)1+a 2a −12=01+a 2≠0a −12a =−1B −=(2,1−m)a →b →(−)⊥a →b →c →−)⋅=2×2+4(1−m)=0→，求解即可.【解答】解：∵，，∴.又∵，，∴，解得：.故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题考查充分必要条件的判断，根据二次函数的性质知若在递增，则，即可判断．【解答】解：，开口向上抛物线，对称轴，若，则在递增，若在递增得．是在递增的充分不必要条件．故选．4.【答案】B【考点】三角形的形状判断正弦定理三角函数值的符号【解析】(−)⋅=2×2+4(1−m)=0a →b →c →=(2,1)a →=(0,m)b →−=(2,1−m)a →b →=(2,4)c →(−)⊥a →b →c →(−)⋅=2×2+4(1−m)=0a →b →c →m =2C f(x)(0,+∞)b ≥0f(x)=+bx +1x 2x =−b 2∴b >0f(x)(0,+∞)f(x)(0,+∞)b ≥0∴b >0f(x)(0,+∞)B【解答】解：由正弦定理知：，，则可化为： .因为，所以，所以，可得或，又因为，所以，所以，，，所以为等边三角形．故选 . 5.【答案】D【考点】两角和与差的余弦公式三角函数的化简求值【解析】，利用两角差的余弦可求得答案．【解答】解：∵．故选．6.【答案】D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】b =2R sin B a =2R sin A 3b =2a sin B 3–√3×2R sin B =2×2R sin A sin B3–√0<B <180∘sin θ≠0sin A =3–√2A =60∘{120%^{\circ}}cos A =cos C A = C A =60∘C =60∘B =−−=180∘60∘60∘60∘△ABC B cos =cos(−)15∘45∘30∘cos =cos(−)15∘45∘30∘=cos cos +sin sin 45∘30∘45∘30∘=×+×2–√23–√22–√212=+6–√2–√4D =sin=cos(−)xx π由于函数，再根据的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数，故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象，故选7.【答案】B【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】可先根据数量积为零得出 与，垂直，可得点在的高线上，从而得到结论．【解答】由，，又∵＝，∴∴点在的高线上，即的轨迹过的垂心8.【答案】A【考点】三角函数的最值【解析】此题暂无解析y =sin =cos(−)x 2x 2π2y =A sin(ωx +φ)y =sin =cos(−)=cos(−)x 2x 2π2x −π22π4y =cos(−)x 2π4π2y =sin x2D.BC →λ(+)AB →||cos BAB →AC →||cos CAC →P BC =+λ(+)⇒−=λ(+)⇒OP →OA →AB →||cos BAB →AC →||cos CAC →OP →OA →AB →||cos BAB →AC →||cos CAC →=λ(+)AP →AB→||cos B AB →AC→||cos CAC →⋅=λ(+)⋅=−||+||BC →AP →AB →||cos B AB →AC →||cos CAC →BC →BC →BC →0⊥AP →BC→P BC P △ABC【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B【考点】解三角形正弦定理【解析】①根据已知利用正弦定理得到，可知满足条件的角有个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解．②根据已知利用正弦定理得到，可知满足条件的角有个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解．③根据已知利用正弦定理得到，即，可知三角形有唯一解．④由，可得,则，即三角形有唯一解.【解答】解：三角形中，①由，，，可得，∴，故满足条件的角有个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解；②由，，，可得 ，∴，故满足条件的角有个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解；③由，，，可得 ，∴，∴，三角形有唯一解；④∵，，∴,∴，不能组成三角形，三角形无解．故满足三角形有两解的有①②.故选.10.【答案】A,Csin C =>sin 2330∘C 2sin B =>sin 4530∘C 2sin C =1C =π2c =b =12B =C =60∘A =60∘ABC b =3c =4B =30∘=3sin 30∘4sin Csin C =>sin 2330∘C 2a =5b =8A =30∘=5sin 30∘8sin Bsin B =>sin 4530∘C 2c =2b =3–√B =60∘=2sin C 3–√sin 60∘sin C =1C =π2c =b =12C =120∘B =C =120∘B +C =240∘AB【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算共轭复数【解析】因为，所 .【解答】解：因为，所以 .故选 .11.【答案】A,B,D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的结构特征二倍角的余弦公式正弦定理用向量证明垂直【解析】【解答】解：已知当时，为正方体，此时，∵，∴，故选项正确；记在面内的射影为，∵，∴在的平分线上，又，∴的平分线即菱形的对角线，故在上，由三余弦定理，得，z =−i 3–√|z|==2,=+i,=2−2i+()3–√2(−1)2−−−−−−−−−−−−√z ¯¯¯3–√z 23–√z =−i 3–√|z|==2,+()3–√2(−1)2−−−−−−−−−−−−√=+i,=2−2i z ¯¯¯3–√z 23–√AC θ=π2ABCD −A 1B 1C 1D 1A =C 1A +C C 2C 21−−−−−−−−−−√A =A +B =+=8C 2B 2C 22222A ==2C 18+22−−−−−√3–√A A 1ABCD O ∠AB =∠AD A 1A 1O ∠BAD AB =AD ∠BAD ABCD AC O AC cos ∠AB =cos ∠AO ⋅cos ∠CAB A 1A 1θ=cos ∠AO ⋅cos θ即，，令，，则，故，则，故，故正确；∵,令,,当时，,当时，,此时变大时，平行六面体的体积先变大后变小，故错误，∵，，，．∴，∴，即，故正确.综上得，选项正确的为.故选.12.【答案】B,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换三角函数的周期性及其求法正弦函数的图象分段函数的应用【解析】无【解答】cos θ=cos ∠AO ⋅cos A 1θ2cos ∠AO ==A 1cos θcos θ22−1cos 2θ2cos θ2=2cos −θ21cos θ2cos =t θ2cos ∠AO ∈(−1,1)A 12t −∈(−1,1)⇒t ∈(,1)1t 12cos ∈(,1)θ212∈(0,)θ2π3θ∈(0,)2π3B =2×2sin θ××2V ABCD−A1B1C1D11−（cos ∠AB A 1cos ∠OAB ）2−−−−−−−−−−−−−−−−√=81−3θ+2θcos 2cos 3−−−−−−−−−−−−−−−−−√f(θ)=1−3θ+2θcos 2cos 3(θ)=6cos θsin θ−6θsin θf ′cos 2θ∈(0，)π2(θ)>0f ′θ∈(，)π22π3(θ)<0f ′θC =++AC 1−→−AA 1−→−AB −→−AD −→−=−BD −→−AD −→−AB −→−⋅=⋅AA 1−→−AD −→−AA 1−→−AB −→−=AB −→−2AD −→−2⋅=(++)⋅(−)AC 1−→−BD −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−AD −→−AB −→−=⋅−⋅+⋅−+−⋅AA 1−→−AD −→−AA 1−→−AB −→−AB −→−AD −→−AB −→−2AD −→−2AD −→−AB −→−=0⊥AC 1−→−BD −→−A ⊥BD C 1D ABD ABD f(x)解：如图，实线部分为的图象，对于，由于，，所以的最小正周期为，不是奇函数，故错误；对于，由图可知图象的对称轴为直线，，故正确；对于，在区间，，上单调递减，故错误；对于，，，故正确.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】运用诱导公式化简求值二倍角的余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，则.故答案为：．14.【答案】f(x)A f ()=0π2f (−)=−1π2f(x)2πA B f (x)x =+kππ4k ∈Z B C f(x)[+2kπ,π+2kπ]π4[+2kπ,+2kπ]5π43π2k ∈Z C D f(x =−1)min f(x =)max 2–√2D BD −792α+=2(α+)+2π3π12π2sin(2α+)2π3=cos 2(α+)π12=2(α+)−1=−cos 2π1279−79−1【考点】函数的求值函数奇偶性的性质【解析】直接结合对应关系，计算即可.【解答】解：∵，∴.故答案为：.15.【答案】【考点】解三角形的实际应用正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，作，由题意知，，，，根据正弦定理可知，，解得，.f ()=2−17=−37–√()7–√2f(f())=f (−3)=−f (3)7–√=−(2×−17)=−132−123–√5AF ⊥DE BC =DE ==722–√6062–√5∠FAD =，∠FAE =，∠CAE =60∘75∘30∘∴∠DAE =135∘∠EDA =30∘=DE sin ∠DAE AEsin ∠EDA AE =65∴CE =AE ⋅tan =30∘23–√52–√故答案为：.16.【答案】【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念三角函数的最值【解析】由题意得到的虚部为，利用辅助角公式，结合三角函数的性质求解即可.【解答】解：复数，，∴的虚部为，∵的最大值为，∴的虚部最大值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解:，∴.∵复数是方程的一个根，∴，由复数相等的定义，得：解得：，,∴实数，的值分别是,.【考点】23–√52–√⋅z 1z 2cos θ−sin θ=cos θ−i z 1=sin θ+i z 2⋅=(cos θ−i)(sin θ+i)z 1z 2=cos θsin θ+1+(cos θ−sin θ)i cos θ−sin θcos θ−sin θ=cos(θ+)2–√π42–√⋅z 1z 22–√2–√(1)z =−(5−9i)=−1+2i 12+2i 14|z|=5–√(2)z 2+mx +n =0x 2−6−m +n +(2m −8)i =0{−6−m +n =0，2m −8=0，m =4n =10m n 410复数的模复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解:，∴.∵复数是方程的一个根，∴，由复数相等的定义，得：解得：，,∴实数，的值分别是,.18.【答案】解：.向量在上的投影向量.由题意可得，设向量与向量的夹角为，则，则有，且，即与向量不能反向共线，且向量数量积，设，(1)z =−(5−9i)=−1+2i 12+2i 14|z|=5–√(2)z 2+mx +n =0x 2−6−m +n +(2m −8)i =0{−6−m +n =0，2m −8=0，m =4n =10m n 410(1)|−|a →b →=(−)a →b →2−−−−−−−−−−√=−2⋅+a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−√==4−2+1−−−−−−−√3–√(2)b →a →||cos ⋅b →60∘a →||a →=1×⋅=12a →214a →(3)⋅=2×1×cos =1a →b →60∘2t +7a →b →+t a →b →θθ∈(,)90∘180∘cos θ<0cos θ≠−12t +7a →b →+t a →b →(2t +7)⋅(+t )<0a →b →a →b →2t +7≠−k ⋅(+t ),(k >0)e 1→e 2→e 1→e 2→≠±−−√则 得，由，得，∴，解得且.【考点】向量的模向量的投影数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：.向量在上的投影向量.由题意可得，设向量与向量的夹角为，则，则有，且，即与向量不能反向共线，且向量数量积，设，则 得，由，得，∴，{2t ≠−k,7≠−kt,t ≠±14−−√2(2t +7)⋅(+t )<0a →b →a →b →2t +7t +(2+7)⋅<0a →2b →2t 2a →b →2+15t +7<0t 2−7<t <−12t ≠±14−−√2(1)|−|a →b →=(−)a →b →2−−−−−−−−−−√=−2⋅+a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−√==4−2+1−−−−−−−√3–√(2)b →a →||cos ⋅b →60∘a →||a →=1×⋅=12a →214a →(3)⋅=2×1×cos =1a →b →60∘2t +7a →b →+t a →b →θθ∈(,)90∘180∘cos θ<0cos θ≠−12t +7a →b →+t a →b →(2t +7)⋅(+t )<0a →b →a →b →2t +7≠−k ⋅(+t ),(k >0)e 1→e 2→e 1→e 2→{2t ≠−k,7≠−kt,t ≠±14−−√2(2t +7)⋅(+t )<0a →b →a →b →2t +7t +(2+7)⋅<0a →2b →2t 2a →b →2+15t +7<0t 2≠±−−√解得且.19.【答案】解：由题意可知，.由，可解得：，.所以的单调减区间是，.由，可得，由题意知为锐角，所以，由余弦定理，可得：，即，且当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．【考点】正弦函数的单调性二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式余弦定理同角三角函数间的基本关系基本不等式【解析】（1）由三角函数恒等变换化简解析式可得，由，可解得的单调递增区间，由，可解得单调递减区间．（2）由，可得，，由余弦定理可得：，且当时等号成立，从而可求，从而得解．【解答】−7<t <−12t ≠±14−−√2(1)f(x)=sin 2x −121+cos(2x +)π22=sin 2x −121−sin 2x 2=sin 2x −122kπ+≤2x ≤2kπ+π23π2k ∈Z kπ+≤x ≤kπ+π43π4k ∈Z f(x)[kπ+,kπ+]π43π4k ∈Z (2)f()=sin A −=0A 212sin A =12A cos A =3–√2=+−2bc cos A a 2b 2c 21+bc =+≥2bc 3–√b 2c 2bc ≤2+3–√b =c S =bc sin A ≤122+3–√4△ABC 2+3–√4f(x)=sin 2x −122kπ−≤2x ≤2kπ+π2π2k ∈Z f(x)2kπ+≤2x ≤2kπ+π23π2k ∈Z f()=sin A −=0A 212sin A cos A bc ≤2+3–√b =c bc sin A ≤122+3–√4(x)=sin 2x −1+cos(2x +)π解：由题意可知，.由，可解得：，.所以的单调减区间是，.由，可得，由题意知为锐角，所以，由余弦定理，可得：，即，且当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．20.【答案】解：∵，∴∴.∵，，∴，∴.由余弦定理得，∵，∴，即，解得：，∴的面积为.【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系(1)f(x)=sin 2x −121+cos(2x +)π22=sin 2x −121−sin 2x 2=sin 2x −122kπ+≤2x ≤2kπ+π23π2k ∈Z kπ+≤x ≤kπ+π43π4k ∈Z f(x)[kπ+,kπ+]π43π4k ∈Z (2)f()=sin A −=0A 212sin A =12A cos A =3–√2=+−2bc cos A a 2b 2c 21+bc =+≥2bc 3–√b 2c 2bc ≤2+3–√b =c S =bc sin A ≤122+3–√4△ABC 2+3–√4(1)(3a +c)cos B +b cos C =03sin A cos B +sin C cos B +sin B cos C =0.3sin A cos B =−(sin B cos C +sin C cos B)=−sin Asin A >0B ∈(0,π)cos B =−13sin B =22–√3(2)=+−2ac cos B =++ac b 2a 2c 2a 2c 223a =1，b =22–√+c −7=0c 2233+2c −21=(c +3)(3c −7)=0c 2c =73△ABC ac sin B =×1××=12127322–√372–√9【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴∴.∵，，∴，∴.由余弦定理得，∵，∴，即，解得：，∴的面积为.21.【答案】解：由已知，，，．，，∴.【考点】平面向量数量积向量的模平面向量的夹角【解析】先根据是互相垂直的单位向量表示出向量要用的两个向量，然后根据向量的数量积运算和向量模的运算求出答案．先求出向量的模长，然后根据的表示式将数值代入即可得到答案．【解答】解：由已知，，(1)(3a +c)cos B +b cos C =03sin A cos B +sin C cos B +sin B cos C =0.3sin A cos B =−(sin B cos C +sin C cos B)=−sin Asin A >0B ∈(0,π)cos B =−13sin B =22–√3(2)=+−2ac cos B =++ac b 2a 2c 2a 2c 223a =1，b =22–√+c −7=0c 2233+2c −21=(c +3)(3c −7)=0c 2c =73△ABC ac sin B =×1××=12127322–√372–√9(1)=(3,−2)a →=(4,1)b →⋅=3×4−1×2=10a →b →|+|===5a →b →(3+4+(−2+1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√50−−√2–√(2)||=a →13−−√||=b →17−−√cos θ==⋅a →b →||||a →b →10221−−−√221(1)，e 1→e 2→(2)cos θ(1)=(3,−2)a →=(4,1)b →=3×4−1×2=10→，．，，∴.22.【答案】根据图象可以得到＝，，所以＝，＝．又，所＝，所以，即．因，所以．所以，．由，得，所以，所以，故当时，取得最小值；当时，取得最大值．先将＝的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到＝的图象；再将＝的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象；最后将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象．注：其他解法相应给分．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）根据图象先算出，，再带入求，求出解析式后再求；（2）先求出的范围再求函数的最值；（3）运用三角函数的图象变换求解．【解答】根据图象可以得到＝，，所以＝，＝．又，所＝，所以，即．因，所以．⋅=3×4−1×2=10a →b →|+|===5a →b →(3+4+(−2+1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√50−−√2–√(2)||=a →13−−√||=b →17−−√cos θ==⋅a →b →||||a →b →10221−−−√221A 2T =4(−)=π5π12π6ω2f(x)2sin(2x +φ)f()=25π12sin(+φ)5π61+φ=2kπ+(k ∈Z)5π6π2φ=2kπ−(k ∈Z)π3|φ|<π2φ=−π3f(x)=2sin(2x −)π3f(0)=2sin(−)=−π33–√−≤x ≤π3π4−π≤2x −≤π3π6−1≤sin(2x −)≤π312−2≤f(x)≤1x =−π12f(x)−2x =π4f(x)1y sin x 2y 2sin x y 2sin x π3y =2sin(x −)π3y =2sin(x −)π312f(x)=2sin(2x −)π3A ωφf(0)ωx +φA 2T =4(−)=π5π12π6ω2f(x)2sin(2x +φ)f()=25π12sin(+φ)5π61+φ=2kπ+(k ∈Z)5π6π2φ=2kπ−(k ∈Z)π3|φ|<π2φ=−π3(x)=2sin(2x −)π(0)=2sin(−)=−π所以，．由，得，所以，所以，故当时，取得最小值；当时，取得最大值．先将＝的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到＝的图象；再将＝的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象；最后将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象．注：其他解法相应给分．f(x)=2sin(2x −)π3f(0)=2sin(−)=−π33–√−≤x ≤π3π4−π≤2x −≤π3π6−1≤sin(2x −)≤π312−2≤f(x)≤1x =−π12f(x)−2x =π4f(x)1y sin x 2y 2sin x y 2sin x π3y =2sin(x −)π3y =2sin(x −)π312f(x)=2sin(2x −)π3。
北京市2023-2024学年高一下学期期中测验数学试卷含答案
2023-2024学年第二学期期中测验高一数学高一数学（答案在最后）本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.240︒是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C 【解析】【分析】根据240︒所在区域及象限角的定义判断得解.【详解】显然180240270<︒°°<，所以240︒是第三象限角.故选：C2.已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则a b ⋅=（）A.4-B.2- C.2 D.4【答案】A 【解析】【分析】根据给定的图形，求出||,||,,a b a b 〈〉，再利用数量积的定义求解即得.【详解】观察图形知，3π|||2,,4a b a b ==〈〉= ，所以2()42a b ⋅=⨯-=- .故选：A3.下列函数中，最小正周期为π且是奇函数的是（）A.sin y x =B.cos y x= C.tan2y x= D.sin cos y x x=【答案】D【解析】【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论.【详解】由于sin y x =是最小正周期为2π的奇函数，则A 错误；由于cos y x =为偶函数，则B 错误；由于tan2y x =是最小正周期为π2的奇函数，则C 错误；由于1sin cos sin22y x x x ==，则sin cos y x x =是最小正周期为π的奇函数；即D 正确；故选：D4.已知向量a ，b满足()0,1a = ，1b = ，a b -=r r ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.π2 D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用数量积的运算律结合已知求出a b ⋅，再利用夹角公式计算即得.【详解】由()0,1a = ，得||1a =r，由a b -=r r ，1b = ，得2()3a b -= ，即2223a b a b +-⋅=，即1123a b +-⋅= ，解得12a b ⋅=- ，于是1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==-，而,[0,π]a b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：D5.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是（）A.π12x =B.π6x =C.5π12x =D.5π6x =【答案】A 【解析】【分析】先求出()y f x =的图象和直线2y =的全部交点，然后根据已知条件得到2ω=，再确定()f x 的表达式，最后确定()f x 图象的全部对称轴，即可选出答案.【详解】由于()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，故方程()2f x =等价于()ππ2π32x k k ω+=+∈Z ，即()π2π6k x k ωω=+∈Z .故()y f x =的图象和直线2y =的全部交点为()π2π,26k k ωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，由于相邻两个交点间的距离等于π，故2ππω=，即2ω=.所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其图象的全部最值点x 满足()ππ2π32x k k +=+∈Z ，即()ππ122k x k =+∈Z .所以()f x 的图象的全部对称轴为()ππ122k x k =+∈Z ，取0k =即知A 正确.而ππ5πππ5ππ2π126121226122<<<+<<+，故B ，C ，D 错误.故选：A.6.已知ABC 满足AB AC =，tan 2B =，则tan A =（）A.43B.43-C.45 D.45-【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角的正切公式计算即得.【详解】在ABC 中，AB AC =，tan 2B =，则π2A B =-，所以222tan 224tan tan 21tan 123B A B B ⨯=-=-=-=--.故选：A7.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，要得到函数2sin 2y x =的图象，只需将函数()f x 的图象（）A.向左平移π3个单位 B.向左平移π6个单位C.向右平移π3个单位 D.向右平移π6个单位【答案】D 【解析】【分析】根据图象求出函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式，由()()sin f x A x =+ωϕ的图象变换规律，得出结论.【详解】根据函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象，可得2A =，12π7ππ44123T ω=⋅=-，解得2ω=，再根据五点法作图可得π2π3ϕ⨯+=，解得π3ϕ=，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，可得ππ2sin 2()2sin263y x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，经检验，其他选项都不正确.故选：D8.若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（）A.725B.725-C.925D.925-【答案】B 【解析】【分析】由2ππ224αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合诱导公式和二倍角的余弦公式，计算即可得到所求值.【详解】由于2ππ224αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2ππππ97sin2sin 2cos22cos 12144425252αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B9.已知函数()()cos f x x ϕ=+．则“()()11f f -=-”是“()f x 为奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】若()()11f f -=-，利用和差角公式求出ϕ，即可判断()f x 的奇偶性，从而判断充分性，再由奇函数的定义判断必要性.【详解】因为()()cos f x x ϕ=+，若()()11f f -=-，即()()cos 1cos 1ϕϕ-+=-+，即cos cos1sin sin1cos cos1sin sin1ϕϕϕϕ+=-+，所以cos cos10ϕ=，又cos10≠，所以cos 0ϕ=，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈，当k 为偶数时()()s s 2i πco n s co f x x x x ϕ=++⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()f x 为奇函数；当k 为奇数时()()s s πcos co πi 2n x f x x x ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭=+++，则()f x 为奇函数；综上可得由()()11f f -=-可得()f x 为奇函数，故充分性成立；由()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，显然满足()()11f f -=-，故必要性成立；所以“()()11f f -=-”是“()f x 为奇函数”的充要条件.故选：C10.如图，A 是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m 时，下列选项中，关于点A 的描述正确的是（参考数据：7π21.991≈）（）A.点A 在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB.点A 在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC.点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD.点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m 【答案】B 【解析】【分析】计算出车轮转动的周期数即可得确定位置和距地面的距离.【详解】车轮的周长为2π0.30.6π m ⨯=，当滚动的水平距离为7π22m ≈时，7π2110.6π3=+，即车轮转动2113+个周期，即点A在轮子的右上位置，如图所示，距离地面约为π0.30.3cos 0.45m 3+⨯=，故选：B.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数tan()4y x π=+的定义域为__________________.【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】试题分析：由,42x k k Z πππ+≠+∈，解得,4x k k Z ππ≠+∈，所以定义域为|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭考点：本题考查定义域点评：解决本题的关键熟练掌握正切函数的定义域12.已知向量(a = ，()cos ,sin b θθ= ，使a 和b 的夹角为钝角的θ的一个取值为________.【答案】π2-（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，利用0a b ⋅<且a 和b不共线，求出θ的值的范围即可.【详解】由a 和b 的夹角为钝角，得0a b ⋅< 且a 和b不共线，则cos 0sin θθθθ⎧+<⎪⎨≠⎪⎩，由cos 0θθ+<，得π2sin()06θ+<，解得ππ2π2π,Z 6k k k θ-+<+<∈，整理得7ππ2π2π,Z 66k k k θ-+<<-+∈，当sin θθ=时，tan θ=，ππ,Z 3k k θ=+∈，而sin θθ≠，则ππ,Z 3k k θ≠+∈，因此当a 和b 的夹角为钝角时，7ππ2π2π,Z 66k k k θ-+<<-+∈且ππ,Z 3k k θ≠+∈，所以a 和b 的夹角为钝角的θ的一个取值为π2-.故答案为：π2-（答案不唯一）.13.若函数π()sin()6f x x ω=+（0ω>）和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+-+的图象的对称轴完全重合，则ω=_________，π()6g =__________.【答案】①.2②.1-或1【解析】【分析】化简函数()g x 并求出其周期，由两个函数周期相同求出ω，再求出对称轴进而确定ϕ即可求出π()6g .【详解】依题意，()cos(22)g x x ϕ=+，函数()g x 的周期为π，由函数()f x 和()g x 的图象对称轴完全重合，得()f x 的周期2ππT ω==，所以2ω=；函数π()sin(26f x x =+，由11ππ2π,Z 62x k k +=+∈，得11ππ,Z 62k x k =+∈，函数()g x 中，由2222π,Z x k k ϕ+=∈，得22π,Z 2k x k ϕ=-+∈，依题意，1221π,Z ππ,Z 622k k k k ϕ-++∈∈=，1212Z ),(ππZ 62,k k k k ϕ-∈-=∈+则当12Z,Z k k ∈∈时，12π()cos[2(])3πg x x k k =-+-，当21k k -为奇数时，π()cos(2)3g x x =--，π(16g =-，当21k k -为偶数时，π()cos(23g x x =-，π()16g =，所以π(16g =-或π()16g =.故答案为：2；1-或114.在矩形ABCD 中，若1AB =，13BE BC = ，且AB AE AD AE ⋅=⋅，则AD 的值为______，AE AC⋅ 的值为______.【答案】①.②.2【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设AD a =，利用坐标法求出AB AE ⋅ 、AD AE ⋅，即可求出a 的值，最后利用坐标法求出平面向量数量积.【详解】如图建立平面直角坐标系，设AD a =，则()0,0A ，()10B ,，()0,D a ，()1,C a ，因为13BE BC = ，所以1,3a E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,0AB =，1,3a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,AD a = ，所以1AB AE ⋅=，23a AE AD ⋅= ，因为AB AE AD AE ⋅=⋅ ，所以213a =，解得a =a =，所以(AC =，1,3AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1123AC AE ⋅=⨯= .215.已知()2cos f x x m =+，给出下列四个结论：①对任意的m ∈R ，函数()f x 是偶函数；②存在m ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为4；③当0m ≠时，对任意的非零实数x ，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④当0m =时，存在实数()0,T π∈，0x ∈R ，使得对任意的n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①②④【解析】【分析】对于①，使用奇偶函数的定义判断即可；对于②，取m 的值，求出函数最大值、最小值，即可；对于③，先化解方程，再取πx =即可；对于④，取0ππ,24T x ==即可判断.【详解】对于①，函数()f x 的定义域为R ，且()|2cos()||2cos |()f x x m x m f x -=-+=+=，所以函数()f x 为偶函数，故①正确；对于②，取3m =，则()2cos 32cos 3f x x x =+=+所以()()max min 5,1f x f x ==，即最大值与最小值的差为4，故②正确.对于③，ππ()|2cos()||2sin |22f x x m x m -=-+=+，ππ()|2cos()||2sin |22f x x m x m +=++=-+，当πx =时，ππ()()||22f x f x m -=+=，故③错误；对于④，当0m =时，()|2cos |f x x =，取0ππ,24T x ==，使得对任意的n ∈Z ，都有00()()f x f x nT =+，故④正确；故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16.在平面直角坐标系中，锐角α，β均以Ox 为始边，终边分别与单位圆交于点A ，B ，已知点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513.（1）直接写出tan α和sin β的值，并求tan()αβ-的值；（2）求π2sin(π)sin()23πcos()cos(3π)2αααα-++--+的值；（3）将点A 绕点O 逆时针旋转π4得到点C ，求点C 的坐标.【答案】（1）312tan ,sin 413αβ==，33tan )6(5αβ-=-；（2）10；（3）1010.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义求出tan α和sin β，再利用差角的正切计算得解.（2）利用诱导公式及正余弦的齐次式法计算即得.（3）求出点C 所在终边的角，再利用三角函数定义及和角的正余弦计算即可.【小问1详解】由锐角α，β，得点A ，B 都在第一象限，而点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则点A 的横坐标为45，点B 的纵坐标为1213，因此31212tan ,tan ,sin 4513αββ===；312tan tan 3345tan )3121tan tan 565(14αβαβαβ---===-++⋅.【小问2详解】由（1）知3tan 4α=，π32sin(π)sin()212sin cos 2tan 124103π3sin cos 1tan cos()cos(3π)124αααααααααα-++⨯+++====-+---+-.【小问3详解】依题意，点C 在角π4α+的终边上，且||1OC =，由（1）知34sin ,cos 55αα==，则点C的横坐标为πππ43cos()cos cos sin sin (44425510ααα+=-=-=，点C的纵坐标为πππ43sin()sin cos cos sin ()44425510ααα+=+=+=，所以点C的坐标为,)1010.17.已知函数()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()cos g x f x x =，求()g x 的图象的对称中心.【答案】（1）单调增区间为π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈；单调减区间为5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈（2）ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈【解析】【分析】（1）由正弦函数的单调区间即可得到答案；（2）化简π()2sin(2)3g x x =--，由正弦函数的对称中心可得答案.【小问1详解】由于函数()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π2223πk x k -+≤-≤+()Z k ∈，解得π5π2π2π66k x k -+≤≤+()Z k ∈，所以()f x 的单调增区间为π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈，令ππ3π2π2π232k x k +≤-≤+()Z k ∈，解得5π11π2π2π66k x k +≤≤+()Z k ∈，所以()f x 的单调减区间为5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈，【小问2详解】由()π4sin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，可得()()()cos 2sin cos g x f x x x x x ==-，即2π()2sin cos sin 222sin(2)3g x x x x x x x =-==--，令π2π3x k -=，解得：ππ26k x =+()Z k ∈，所以()g x 的图象的对称中心为ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈.18.在平面直角坐标系中，O 为原点，()2,2A ，()3,B m ，(),4C n ，AB AC ⊥ ，//BC OA ，P 为线段BC 上一点，且PC BC λ= .（1）求m ，n 的值；（2）当35λ=时，求cos APC ∠；（3）求PA PC ⋅ 的取值范围.【答案】（1）1,8m n =-=；（2）5-；（3）[8,10]-.【解析】【分析】（1）利用向量的坐标表示，再结合向量垂直的坐标表示、向量共线的坐标表示，列出方程组求解即得.（2）由（1）求出,PA PC的坐标，利用向量夹角公式计算即得.（3）用λ表示,PA PC 的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数值域即得.【小问1详解】依题意，(1,2),(2,2),(3,4)AB m AC n BC n m =-=-=-- ，(2,2)OA = ，由AB AC ⊥ ，得22(2)0n m -+-=，即26m n +=，由//BC OA，得2(3)2(4)n m -=-，即7m n +=，联立解得1,8m n =-=，所以1,8m n =-=.【小问2详解】由（1）知，(3,1),(8,4),(5,5)B C BC -= ，由PC BC λ= ，35λ=，得(3,3)PC = ，(6,2)CA =-- ，(3,3)(6,2)(3,1)PA PC CA =+=+--=- ，所以cos cos ,||||PA PC APC PA PC PA PC ⋅∠=〈〉==- 【小问3详解】由（2）知，(5,5)PC BC λλλ== ，(5,5)(6,2)(56,52)PA PC CA λλλλ=+=+--=-- ，则225(56)5(52)2(5)852(52)8PA PC λλλλλλλ⋅=-+-=-⋅=-- ，由P 为线段BC 上一点，且PC BC λ=，得01λ≤≤，当2=5λ时，min ()8PA PC ⋅=- ，当1λ=时，max ()10PA PC ⋅= ，所以PA PC ⋅ 的取值范围[8,10]-.19.已知函数()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++，其中π||2ϕ<.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使()f x 存在，并完成下列两个问题.（1）求ϕ的值；（2）若函数()f x 在区间[]0,m 上的取值范围是1[,1]2，求m 的取值范围.条件①π(16f =-；条件②π12-是()f x 的一个零点；条件③(0)3π(f f =.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，π6ϕ=-；（2）ππ63m ≤≤.【解析】【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解π6ϕ=-.（2）由（1）求出并化简函数()f x ，再求出相位的取值范围，结合已知及正弦函数的性质，列出不等式求解即得.【小问1详解】选条件①，ππππ3(sin()cos 1sin()63332f ϕϕ=++=-⇒+=-无意义，即此时()f x 不存在，则不能选①.选条件②，πππ()sin()cos()01266f ϕ-=-++-=，则πsin()62ϕ-=-，而ππ22ϕ-<<，即2πππ363ϕ-<-<，则ππ63ϕ-=-，所以π6ϕ=-.选条件③，2π2πsin cos0sin()cos 33ϕϕ+=++，即11sin 1sin 22ϕϕϕ+=--，整理得33sin cos 222ϕϕ-=-，即πsin()62ϕ-=-，而ππ22ϕ-<<，即2πππ363ϕ-<-<，则ππ63ϕ-=-，所以π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知，1()sin(2cos 2sin 2cos 2sin(2π622π6f x x x x x x =-+=+=+，当[0,]x m ∈时，πππ2[,2666x m +∈+，由()f x 在[]0,m 上的取值范围是1[,1]2，得ππ5π2662m +≤≤，解得ππ63m ≤≤，所以m 的取值范围是ππ63m ≤≤.20.如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心2O ，1O 在同一竖直线上，且125O O =，标记初始位置A 点为下齿轮的最右端，B 点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心1O 为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xOy ，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中A ，B 两点的纵坐标分别为1y ，2y 、转动时间为t 秒（0t ≥）.（1）当1t =时，求点B 绕2O 转动的弧度数；（2）分别写出1y ，2y 关于转动时间t 的函数表达式，并求当t 满足什么条件时，2 5.5y ≥；（3）求21y y -的最小值.【答案】（1）2（2）12sin y t =，2π5sin 22y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，t 满足π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭（3）72【解析】【分析】（1）由点A 与点B 处转过的弧长相等，求点B 绕2O 转动的弧度数；（2）由分别点A 与点B 处转过的圆心角，结合正弦函数，写出1y ，2y 关于转动时间t 的函数表达式，并解不等式2 5.5y ≥；（3）利用诱导公式和倍角公式化简21y y -，结合二次函数的性质求最小值.【小问1详解】当1t =时，点A 绕1O 转动1弧度，点A 与点B 处转过的弧长相等，则点B 绕2O 转动的弧度数为1221⨯=.【小问2详解】转动时间为t 秒，点A 绕1O 转动t 弧度，点B 绕2O 转动2t 弧度，12sin y t =，2π5sin 22y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当2π5sin 2 5.52y t ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，ππ5π2π22π626k t k +≤-≤+，由0t ≥解得π2πππ33k t k +≤≤+，N k ∈.则满足条件的t 的集合为π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】2221π175sin 22sin 5cos 22sin 2sin 2sin 42sin 222y y t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--=--=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1sin 2t =时，21y y -有最小值72.21.对于定义在R 上的函数()y f x =，如果存在一组常数1t ，2t ，…，k t （k 为正整数，且120k t t t =<<< ），使得x ∀∈R ，12((0))()k f x t f x t f x t ++++++= ，则称函数()f x 为“k 阶零和函数”.（1）若函数11()x f x =+，2()sin f x x =，请直接写出1()f x ，2()f x 是否为“2阶零和函数”；（2）判断“()f x 为2阶零和函数”是“()f x 为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.3cos 2cos5cos8()f x x x x =++，4cos 2cos3cos 4()f x x x x =++.【答案】（1）1()f x 不是，2()f x 是；（2）充分不必要条件，证明见解析；（3）3()f x 是，4()f x 不是，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用恒等式判断1()f x ，取120,πt t ==计算，结合定义判断2()f x .（2）利用定义求出周期说明充分性，举例说明必要性不成立推理即得.（3）取1232π4π0,,33t t t ===计算，结合定义判断3()f x ；利用反证法推理导出矛盾判断4()f x .【小问1详解】函数11()x f x =+，()()1112121211220f x t f x t x t x t x t t +++=+++++=+++=对一切实数不成立，所以函数11()x f x =+不是“2阶零和函数”；取120,πt t ==，x ∀∈R ，2212sin sin(π)sin sin 0()()x x f t x t x x x f ++=-++=+=，所以2()sin f x x =是“2阶零和函数”.【小问2详解】“()f x 为2阶零和函数”是“()f x 为周期函数”的充分不必要条件.证明如下：若()f x 为2阶零和函数，则存在常数20t >，使得x ∀∈R ，2()()0x f x t f ++=，即2()()f x t x f +=-，因此22(2)()()f x t x t f x f +=-+=，即函数()f x 为周期函数；反之函数()f x 为周期函数，如()|sin |1f x x =+，对x ∀∈R ，(π)|sin(π)|1|sin |1()x f x x f x +=++=+=，()f x 为周期函数，对任意正常数2t ，222()()|sin |1|sin()|1|sin ||sin()|22x f x t x x t f x x t ++=++++=+++≥，因此函数()f x 不是2阶零和函数，所以“()f x 为2阶零和函数”是“()f x 为周期函数”的充分不必要条件.【小问3详解】函数3()f x 是“3阶零和函数”，取1232π4π0,,33t t t ===，x ∀∈R ，313233cos 2c )os5cos ()()(8f xx t f x t x f x t x +++++++=2π2π2π4π4π4π)))c 333333x x x x x x ++++++++++++2π2π2πcos 2cos5cos8cos(2)cos(5)cos(8)333x x x x x x =+++-+-+-2π2π2πcos(2)cos(5)cos(80333x x x ++++++=，所以函数3()f x 是“3阶零和函数”；函数4()f x 不是“3阶零和函数”，假定函数4()f x 是“3阶零和函数”，则存在常数1230t t t =<<，x ∀∈R ，414243()()()0f x t f x t f x t +++++=，即222)c (22)(33)(4os 2cos3cos 44cos cos cos x x t x x t x t x ++++++++333(22)(33)(44)0cos cos cos x t x t x t +++++=+对x ∀∈R 成立，则232323cos 2cos(22)cos(22)0cos3cos(33)cos(33)0cos 4cos(44)cos(44)0x x t x t x x t x t x x t x t ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩恒成立，由23(22)(22)0cos 2cos cos x t x t x +++=+，得2323(cos 2cos 21)cos 2(sin 2sin 2)sin 20t t x t t x ++-+=，因此2323cos 2cos 21sin 2sin 20t t t t +=-⎧⎨+=⎩，平方相加整理得321cos 2()2t t -=-，则3211ππ,N 3t t k k -=+∈或32112ππ,N 3t t k k -=+∈，由23(33)(33)0cos3cos cos x t x t x ++++=，同理得321cos3()2t t -=-，于是23222π2π,N 93k t t k -=+∈或23222π4π,N 93k t t k -=+∈，则12,N k k ∈，212ππ2ππ393k k +=+或212π2π2ππ393k k +=+或212ππ4ππ393k k +=+或212π2π4ππ393k k +=+，即12,N k k ∈，211233k k -=或214233k k -=或121323k k -=或212233k k -=，显然不成立，因此不存在常数1230t t t =<<，使得x ∀∈R ，414243()()()0f x t f x t f x t +++++=，所以函数4()f x 不是“3阶零和函数”.【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.。
人教版_高一数学下册期中考试试题(5)
n
n
3
的面积为
；（ⅱ）y＝sin(3x－π)+1 在[ ， 4 ]上的面积为
。
33
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）
求下列各式的值：
（1） cos( 510 ) tan 150 ；
sin( 1050 ) cos 630
）
A. 最小正周期为 2 π 的奇函数 C. 最小正周期为 π 的奇函数
B. 最小正周期为 2 π 的偶函数 D. 最小正周期为 π 的偶函数
9．已知函数 f ( x ) sin( x )( 0) 的最小正周期为 ，则该函数的图象(
)
3
A. 关于点（ ，0）对称 4
B. 关于点（ ，0）对称 3
x) ,xR,的最小值及取得最小值的 x 的集合。
2
2
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) cos 2 ( x ) ， g ( x) 1 sin x cos x 。
12
(1) 设 x x0 是函数 y f ( x ) 图象的一条对称轴，求 g ( x0 ) 的值；
(2)
设点 P( ,0)是函数 f ( x) A sin( x ) ,(A>0, >0,0< < ),xR 的图象 C 的一个对称中
4
心。若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的最小值是 ，且 f ( x ) 的最大值是 2，
4
(1) 求 f(x)的解析式；
(2)
求函数 y= 1
f (x)
1 f(
20．（本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边作两个锐角 , ，它们的终边分别与单
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a n1 a n 2 2 n1 2 n
a 2 a1 21 a3 a2 22
an
a1
2
22
23
2 n 1
an
a n 1
2
n
1
a n 1 2 2 2 2 n1
2 n 1 ………………8 分
（3） bn a n 2 n 2 n 2 n 1 2 n 2 n 2 n 1
2
即 sin A sin C 的取值范围为： (
3 ,
3]
2
…………12 分
22.已知数列 a n 满足 a1 1, a2 3, an 2 3an1 2 an (n N*).
（1）证明：数列 a n 1 a n 是等比数列；
（2）求数列 an 的通项公式.
(3)
令bn
an
2 n 2 n ，且 1 b1b 2
解：（1） A 、B、C 成等差数列， B 60
在 ABC 中， AC 2 3 2 4 2 2 3 4 cos 60
………3 分
AC 13 又外接圆半径 R 满足 2 R AC 13
sin B
3
2
13 R
S
外圆
R2
13
13
……… ………6 分
3
33
（2）由（1）知 A C 120 sin A sin C sin A sin( 120 A)
()
A. 6
B.2
C. 3
D. 2
7.已知等差数列{ a n }满足 a1 a 2 a 3 … a101 ＝0，则有 ( )
A. a1 a101 0
B． a 2 a100 0
C． a 3 a 99 0
D． a 51 51
8.
已知 sin
cos
60 0
cos
sin
60 0
1 ,
(0,2 ) ，则
1
1
(2 n 1)
2 2 22
2 n 1
2 n1
1
1
(1 )
1 2
2 n 1
1 (2 n 1)
3
1
2n 1
2
1 1
2 n1
2 2 n1
2 n1
2
2n 3 Tn 3 2n
… …………………12 分
21.在 △ A B C 中，已知三内角 A、B、C 成等差数列， (1) 若 AB 4 ， B C 3 ,求 AC 的长及 △ A B C 外接圆的面积。 （2）求 sin A sin C 的取值范围。
19、如图，某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。小山高 BC 约为 30 米，在地平 面上有一点 A，测得 A，C 两点间距离约为 60 米，从点 A 观测电视发射塔的视角（ CAD ）
约为 45 。求这座电视发射塔的高度。
D
解：则题意可知 CAB 30
AB 30 3 (m ) ……… 4 分 在 Rt ABD 中 BD AB tan( 30 45 )
4
4
42
2 24 7 17 2
( )
2 25 25
50
………………12 分
18.已知 a n 是一个等差数列,且 a 2 1, a 5 5.
(1)求 a n 的通项 a n ；(2)求 a n 前 n 项和 S n 的最大值.
解：（1）设{a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d
则：
n 2 ,数列{b n } 满足 b1
1 ,
2
2bn1 bn 0
（1）求数列{a n } ，{bn } 的通项公式；
（2）令 c n a n bn ,求数列 c n 的前 n 项的和 T n .
解：（1）对于{a n } ： n 1 时： S 1 1 .
n 2 时 a n S n S n 1 n 2 (n 1) 2 2 n 1 n 1 也适合
的面积为
.
注意：请将选择题、填空题的答案填写在第二卷相应位置上，第一卷不交。
参考答案 一、 选择题（60 分=5 分×12）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
选项 B
A
D
D
A
D
C
D
C
D
A
A
二、 填空题（16 分=4 分×4）
13 14 5 15 27 16 40 3
三、解答题
17.已知 sin
sin
A sin 120 cos
A cos 120 sin
A
3 sin
A
3 cos A sin A sin C
2
2
sin A sin C 3 sin( A )
6
…………………10 分
2 0 A
5
A
1
sin( A ) 1
3
6
66
2
6
3
sin A sin C 3
2 2n 1
当 n 1 时最小
1 (1
1 ) 即： 1
2 211
3
的取值范围为 ( , 1 ] 3
…………… 14 分
2
()
A.
2
7 B.
6
C. 或 3 62
D. 或 7 26
9.数列{ a n }中， a1
1 4 ,a3
1, 且 a n 2
a
2 n 1
an(Βιβλιοθήκη N )则 a 8 等于(
)
A.16
B. 32
C. 32
10.数列 1，x，x2，x3，…，xn-1，…前 n 项的和是
A. 1 x n 1 x
则 为
()
A. 3
B. 4 3
C.- 2 或 33
D.- 2 3
5、已知 a 13 14 , b 2 3 15 ，则 a 与 b 的大小关系是 （ ）
A ab
B ab
C a =b
D a 与 b 大小关系不定
6. ABC 的内角 A, B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 c 2 , b 6 , B 120 0 ，则 a 等于
a
1
d
1
a1
3
a1 4d 5 d 2
a n 2n 5
n (n 1)
n (n 1)
（2） S n na 1 2 d 3n 2 ( 2 )
…………6 分
n 2 4n (n 2)2 4
当 n 2 时， S n 最大，即 S 2 4 为 S n 的最大值。……12 分
1 1 1
b1 b2 b2 b3
bn bn1
…………10 分
11 1
1
13 35 57
(2 n 1) (2 n 1)
11 [
1
1
1
1
1 ]
21 3 3 5
2n 1 2n 1
1
1
(1
)
2 2n 1
…………12 分
1 { (1
1 )} 为递增数列， 只需最小项 即可
13.不等式 x 2 4 3 x 的解集是
。
14. 设 S n 是等差数列 a n 的前 n 项和，若 S 7 35 ，则 a4
.
15.等比数列 a n 中,若 a1 a 2 a 3 3, a 4 a 5 a 6 9, 则 a 7 a 8 a 9 .
16. 三角形的一边长为 14，这条边所对的角为 60 0 ，另两边之比为 8 : 5 ，则这个三角形
1 (2n 3)
2 n 1
1 (2 n 1)
2n
………①
1 2 Tn
1 1
22
1 3
23
1 5
24
1 (2n 3)
2n
(2 n 1) 1 ………②……10 分 2 n1
①-②
1
1
1
1
1
1
2 Tn
2
2 22
2 23
2 2n
(2 n 1) 2 n1
11 1
cos
1.
2
25
(1)求 sin 的值;
(2)若 是锐角,求 sin( ) 的值. 4
解：（1）由 sin
cos
1
1 2 sin cos
1
sin 24 ……6 分
2
25
2
2 25
25
（2） 为锐角
7 cos
25
………… 8 分
2
sin( ) sin cos cos sin (sin cos )
高一数学下册期中考试（）
时间 120 分钟 满分 150 分 命题人：刘海江 一.选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1. 28 是数列{ n 2 5n 4 }中的
A.第 3 项
B. 第 8 项
() C. 第 3 项或第 8 项 D.以上都不对
2. tan 12 0 tan 33 0 tan 12 0 tan 33 0
B. 1 x n 1 ’ 1 x
D. 2 ()
C. 1 x n 1 1 x
D.需分 x=1 与 x≠1 分别求和
11. 若 a ， b ， c 成 等 比 数 列 ， 则 函 数 f(x)=ax2+bx+c(a ≠ 0) 的 零 点 个 数 是
()
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 最多一个
3 1
30 3 3
3 1
3
C
A B
30 3 (2 3 ) 90 60 3 …10 分
…………
发射塔高 DC DB BC 90 60 3 30