第1讲 数与式的运算

专题一 数与式的运算

【巩固练习】 1. 1,4- 2.2

116

k m =

3.-3

4.x

5.2b -

6. 7. 提示：先做除法，后做减法，能约分的先要约分．答案：-1 8.

提示：先分式化简．答案：2

-． 9. 提示：先分式化简．答案：

1

1

a a +-． 10. 10．提示：

1===

，

1=

==

，

>

．

答案：＜．

11.解：实数a 要满足条件22

101010a a a ⎧-≥⎪-≥⎨⎪+≠⎩

，得1,0a b ==，所以1a b +=．

12.解：

∵2210x y +=

=+=，

1xy =

=， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．

13.（1）证明：∵11(1)1

1(1)(1)

n n n n n n n n +--==+++，

∴111

(1)1

n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．

（2）解：由（1）可知111

1223910

+++

⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910

=-+-++-1

110=-＝910．

（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝11

21

n -+，

又n ≥2，且n 是正整数，∴1

n ＋1

一定为正数，

∴

111

2334

(1)

n n +++

⨯⨯+＜12 ．

14.解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；

①若1， 即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；

②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4， ∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．

所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4．

由|AB |＝2，可知

点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．

所以，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．

专题二 因式分解

【巩固练习】

1. 1000；

2.()32

a

b -； 3.(2)(29)x x --； 4. (x －1) (y+1)； 5. -6；6.(4)(23)x y x y ++； 7.1

6(23)n

n

n x y

x y -

--； 8. (11x x +-++； 9. 2； 10.1,a ；

11.（1）2

21112(23)(4)x x x x -+=--； （2）2

8107(21)(47)x x

x x +-=

-+；

（

3）2

23(2x x x --=+-；（4）2

576(21)(35)x x x x +-=-+-

12. (1)22

4146(21)(26)

273(21)(3)22

x x x x x x x x ++++++=

==++; (2)2

835(1)(85)y y y y +-=+-; (3)2

2

52310(5)(52)x y xy xy xy +-=+-;

(4) 3

2

3

2

2

2

2312()(1)(1)(21)x x x x x x x x -+=---=---=)12()1(2

+-x x

1

A 0 C |x －1|

|x －3|

13. 解：由题意32

80x ax bx +++=至少有两个根121,2x x =-=-，代入原方程得，

{

a b a b -+-+=-+-+=18084280

解之得，,a b ==714.21a b +=．

14.原式可化为2222222220a b c ab bc ac ++---=，

2222222220a ab b b bc c c ac a ∴-++-++-+=

222()()()0a b b c c a ∴-+-+-=

000a b b c c a -=⎧⎪

∴-=⎨⎪-=⎩

a b c ∴==

故ABC ∆是等边三角形.

专题三 解方程组

【巩固练习】

1.32x y =⎧⎨=⎩；

2.4；

3.45x y =⎧⎨=⎩或10

x y =-⎧⎨=⎩；4. 3,2；5. 103；6. 12b =，121

x y ⎧

=⎪⎨⎪=⎩；

7.12与13（提示：两数可看作是一元二次方程的根）；

8.4+9.1

3,2

a b =-=-

（提示：234

456

x y x y +=⎧⎨

+=⎩的解即为原方程组的解，求得1,2x y =-=代入原方程组即可解出,a b ）；

10.52x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

或52x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 11．（1）将23x y +看作一个整体求解得出4,7y x =-=；

（2）运用换元法求解比较方便：设23x k +=，则原方程组可变形为32

3812311x k y k x y k

=-⎧⎪

=+⎨⎪+=⎩