趣味数学第一节
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在这个楼梯中，你能分清哪一个是最高或最低的楼梯吗？
当你沿顺时针走的时候，会发生什么呢？
如果是逆时针，情况会怎么样呢？
荷兰美术大师 M. C. Escher 作品
黑夜还是白天?
圆形的拱顶
瀑布
上升还是下降?
消失的柱子
日 本 画 家 Shigeo Fukuda 的 作 品
二重奏
数学的定义
数学是研究数量、结构、变化以及空间模 型等概念的一门学科。通过抽象化和逻辑 推理的使用，由计数、计算、量度和对物 体形状及运动的观察中产生。 数学来源于生活，高于生活。
佛罗伦萨主教堂1296年动工，1366年完成大部分工程，随后50多米高墙顶上 的穹顶（底座八边形对径42m）却迟迟造不起来，耽搁了几十年，最后由伯鲁乃 列斯基着手设计，1420年定案动工，1431穹顶建成。 伯鲁乃列斯基不仅是一个雕塑家和建筑师，“他具有机械工程学、静力学、 水力学、数学、以及其他科学和技术研究的天分。”“精巧独到和复杂的几何布 局，非凡的石工技术及特殊设计的举重机械，都是伯鲁乃列斯基对穹顶的成功建 造所做出的惊人贡献。”
显然影长还和测点的地理纬度有关，西周时期的中原地区，纬度在北 纬35°左右。张杰教授在其刚刚出版的《中国古代空间文化溯源》对《周 髀算经》和《晋书•天文志》中两至晷影长度之差的“十二分法”进行了 研究。就是把冬至杆影长度减去夏至杆影长度，分成12分，期间有11个分 点，因为从冬至，影长缩短到夏至，再增长到冬至，每个分点经过2次， 11个分点对应除冬至和夏至以外的22个节气，加上冬至和夏至，就是24个 节气。在这里，我们又看到了“十二”划分，但“十二分”是等分的。可 是张杰教授 计算了各分点的斜长（弦长）， 发现12根弦长相互之比竟然和“ 三分损益法”求得的12根律管长 度之比很是接近。本来是乐律学 的“十二律”和“三分损益法” ，竟然和气候学的节气发生了关 联。这不能说是巧合，而是反映 了中国传统宇宙哲学内在的融贯 性。 根据《晋书•天文志》绘制的两至晷影图（张杰）
从连续、稳定到间断、突变和不稳定。事物在经过
一段连续变化以后发生突变，从一种状态跳跃到另一种 状态，描述这种突变现象的新的数学学科称为 “突变论”
（Catastrophe Theory）。从平衡的、守恒的、可逆的
到非平衡的、耗散的、不可逆的，从决定性的、有序的、 周期性的、对称的到随机的、无序的、非周期性的、对
都是斐波那契数列：前两项之和等于第三项
。最后两项之比：863:534 = 1.61610； 2260:1396 = 1.61891； 1829:1130 = 1.61858
698:432 = 1.61574； 1130:698 = 1.61891
都与黄金分割比1.618034ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ近
黄金分割
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系 统研究了这一问题，并建立起比例理论。后来欧几里 得撰写《几何原本》时进一步系统论述了黄金分割， 成为最早的有关黄金分割的论著。中世纪后，黄金分 割被披上神秘的外衣。德国天文学家开普勒称为神圣 分割。到19世纪黄金分割这一名称逐渐通行。
好玩的数学
斐波那契数列： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，55, 89……
意大利数学家斐波那契(Fibonacci)研究兔子繁殖问题得到的数列（
1202年）：
一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后 可以繁殖多少对兔子？ 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是1对； 两个月后，生下一对小兔，兔数共有2对； 三个月以后，老兔子又生下一对，小兔子还没有繁殖能力，所以一共是3对； ……
广州大剧院
Baku Theatre
建筑结构之美 数学与力学
数学与音乐
音调和音程 人听声音，除了声音大小，还有音调高低。音调的高低取决于发声 体振动的频率 f（Hz）。人耳难以判定一个音的具体频率是多少，但可 以判定两个音的“音程”差，在听了（唱出）1(do)以后，识别出（唱出 ）i（高音do），这两个音差“八度音程”，后者的频率是前者的一倍。 一个八度音程，对应频率是一倍，称为一个倍频程（Oct）。f2 = 2 f1 钢琴键盘上中音A，f 相当于440Hz ，高 八度到高音A，就是880Hz，频率增加一倍。
现代数学概念在建筑学中出现
《The Architecture of the Jumping Universe
A polemic: How Complexity Science is Changing Architecture and Culture 》1995
《Fractal Geometry in Architecture and Design》1996
大晟钟 宋徽宗崇宁三年（公元1104年），在今河南商邱出土了六件春秋 时期宋公成钟，因该钟出土于宋地，宋徽宗认为是祥瑞之兆，遂设立 “大晟府”，以宋公成钟为式样铸成“大晟钟”，计12编，每编28只 ，共336件，每套钟基准音高都是黄钟宫，发送州府，作为标准音律定 音，统一音高。1127年，金兵攻占东京后，虏徽、钦二帝北上，北宋 灭亡。目前发现有25件大晟钟实物散存于海内外。大晟钟是宋代朝廷 重要的测音和定音的工具。基准音高全都是C大调的1音。
抽象是数学的本质
谁见过 “1 ”？人们见到的是具体的“一个人”、 “一匹马”、 “一朵 花”、“一颗星” … …，但人类的伟大、思维活动的伟大，将这些具体的 事物，抽象成数“1”，并用一个符号（世界各地几乎都是“︱或—”）来表 示。 有一种长期流行的观点“我们学艺术的、学建筑的，需要的、擅长的 是形象思维，而数学是逻辑思维，所以数学没有用，也学不好。”“形象 ”和“逻辑”怎么是一对对立的词呢？“形象”与“抽象”才是一对对立 的词！学艺术的、学建筑的难道不需要抽象思维？！现代艺术区别于传统 艺术最重要的特点之一正是“抽象”！
20/12，21/12， 22/12， 23/12， 24/12， 25/12， 26/12，
1 1.059463 1.1225 1.1892 1.2599 1.3348 1.4142
27/12， 28/12， 29/12， 210/12， 211/12， 212/12
1.4983 1.5874 1.6818 1.7818 1.8877 2
数学的特点
确定性 抽象性 严格性 应用的广泛性 理性美(dry beauty) 数学，“具有一种至高无上的美，一种冷峻（cool，酷
）而严肃的美，这种美没有音乐或绘画那般华丽的装饰，
它纯洁到崇高的地步，达到了只有最伟大的艺术才能显示 的那种完美的境界”。
罗素（Russell，1872~1970，英国数学家，诺贝尔文学奖得主）
或写成： （21/12）n = （1.059463）n n=0~12
律吕与节气 中国古代律吕学不仅是音乐范畴的问题，还与气候和节令
密切关联。中国古代是农耕社会，种庄稼要知道节气，但中国古代使用的 历法“阴历”是月亮历，不能以其月份和日期确定节气。节气是与地球围 绕太阳运行的周期状态相关的，所以中国的24节气与阳历月份和日期的对 应关系是固定的，只有一两天的变动。然而中国古代没有“阳历”，确定 节气是通过“立杆测影”，观察垂直的立杆在当地正午时刻太阳照射下影 长的变化来确定节气的。一年中杆影最长的那一天是冬至日，杆影最短的 那一天是夏至日。河南登封的元郭守敬建的观象台是大尺度的“立杆测影 ”，而东汉的铜圭表，是小尺度的。
写实（具象）——康斯坦布
印象派——高更
抽象派——康定斯基
荷兰 乌德勒支住宅 1924
受蒙特里安抽象绘画的影响
现代数学的发展趋势
从单个或少数变量到多变量，从低维空间到高维空间。 这表示数学模型中包含的因素和参数的数量大大增加，并产
生了一些质的变化。与此相应发展起来一些数学中的新学科，
如多线性代数、多复变函数、多元统计分析等等。具有不必 是整数的分数维（fractal dimension）的几何对象——分形 （fractals）引起了广泛的兴趣。 从线性问题到非线性问题。线性化的数学模型是研究局 部范围和平缓变化过程所采用的通常是简化了的模型，而要 研究大范围、大变化、大挠动、高速度、强作用力等情形的 问题，就要涉及非线性现象。非线性问题通常具有对初始条 件、边界条件和外界挠动敏感的特征，即这些因素的微小变 化会引起结果很大的改变。非线性问题已成为当前数学研究 的一个主要内容。
数字砌筑
Bylgia Instalation /German Pavilion
New Czech National Library
Foster and Partners
Ball Nogues Studio
Maximilians Schell
Zaha Hadid
Nordpark Cable Railway
音调为准，以和其音调相谐的管的长度定标。管可以方便的复制，控制
长度即可。 反过来，只要这个钟还在（钟耐久），就可以用它的音调确定管的 长度，则国家的长度标准也就确定和传承了。这就是，以音律定国家长 度标准（度），以长度标准定容积标准（量），以权重（一定体积的铁 ）和秤杆刻度（长度）或天平定重量（衡），于是度量衡三者都可定矣 。这就是“黄钟律吕” 。
那么在一个八度音程（倍频程）中如何细分呢？中外历史上有所
不同，但现代采用的是把一个八度音程分成12等分（十二平均律） 对应于钢琴键盘上，从中音C（1）到高音C（ⅰ
）共有12个键（白键和黑键），相邻两键音调相
差一个半音，两个半音等于一个全音。但是，1 2
3 4 5 6 7ⅰ（C D E F G A B C）各基本音级之间 相隔的距离并不平均，十二个半音构成了有八个 基本音级的音列，各音之间音级的关系是“全全 半全全全半”。3-4（E-F）之间，7- ⅰ （B-C） 之间 是半音，其他之间是全音。具体分法是：
当项数足够多时，前后两项之比接近于黄金分割之比：0.61803。
21/34= 0.6176
34/55=0.6182 55/89=0.6180
勒· 柯布西埃著名的人体模距图
包含着斐波那契数列与黄金分割 5列数，从右到左，从下到上分别是：
126，204，330，534，863
11，19，30，49，78，126，204，330， 534，863，1397，2260 6，9，15，24，39，63，102，165，267， 432，698，1130，1829 63，102，165，268，432，698 432，698，1130
称破缺的。而对非线性、非平衡动力系统的深入研究，
又揭示出远离平衡态的隐藏在随机性和无序中的分叉 （bifurcation）和混沌(chaos）现象。突变、分叉、混 沌、分数维等等体现复杂性的现象已成为当今数学、力 学、物理学、生物和生命科学乃至经济学、社会学等科 学的热门研究课题。
数学与建筑
古典建 筑之美 比例 尺度 对称 均衡 韵律 对比
低音A，就是220Hz。
为了统一音律，必须确定音高的绝对标准 ，但在古代，没有仪器测量频率。在古希腊， 毕达哥拉斯发现：琴弦长度减半，音调升高八 度。长度作为度量衡之一，可以确定统一标准 。但琴弦张紧程度不同，音调就改变，所以弦 还是不能用来定标。
黄钟律吕 中国古人也在寻找音调定标的器件。也发现了弦长减半，音调升高 八度的现象，但也是因为弦的音高随张紧程度而变，无法用于定标。还
有一种乐器被考虑过，就是钟。钟体大，音调低，钟体小，音调高。制
定一套标准的大小不一的钟，就可对音调确定标准。钟体最大，音调最 低的称为“黄钟”，以它为标准。但钟的复制很困难，尤其是钟壁厚薄
很难控制。后来倾向于用管，管长减半，音调升高八度。每个国家都制
定有长度标准（尺、寸），制定一套标准的长短不一的管，就可对音调 统一标准。钟是金属铸造，不易损坏变形，有耐久性。以一套标准钟的
勒· 柯布西埃：
装饰是“初级的满足” ,“是多余的东西，是农民的爱好”， 而比例和尺度上的成功是“到达更高级的满足（数学）”， 是“有修养的爱好”。 “帕提农给我们带来确实的真理和高度数学规律的感受”。
“数学的精确性与大胆的幻想结合起来，说确切些，就是 美”。
伯鲁乃列斯基与佛罗伦萨主教堂穹顶
当你沿顺时针走的时候，会发生什么呢？
如果是逆时针，情况会怎么样呢？
荷兰美术大师 M. C. Escher 作品
黑夜还是白天?
圆形的拱顶
瀑布
上升还是下降?
消失的柱子
日 本 画 家 Shigeo Fukuda 的 作 品
二重奏
数学的定义
数学是研究数量、结构、变化以及空间模 型等概念的一门学科。通过抽象化和逻辑 推理的使用，由计数、计算、量度和对物 体形状及运动的观察中产生。 数学来源于生活，高于生活。
佛罗伦萨主教堂1296年动工，1366年完成大部分工程，随后50多米高墙顶上 的穹顶（底座八边形对径42m）却迟迟造不起来，耽搁了几十年，最后由伯鲁乃 列斯基着手设计，1420年定案动工，1431穹顶建成。 伯鲁乃列斯基不仅是一个雕塑家和建筑师，“他具有机械工程学、静力学、 水力学、数学、以及其他科学和技术研究的天分。”“精巧独到和复杂的几何布 局，非凡的石工技术及特殊设计的举重机械，都是伯鲁乃列斯基对穹顶的成功建 造所做出的惊人贡献。”
显然影长还和测点的地理纬度有关，西周时期的中原地区，纬度在北 纬35°左右。张杰教授在其刚刚出版的《中国古代空间文化溯源》对《周 髀算经》和《晋书•天文志》中两至晷影长度之差的“十二分法”进行了 研究。就是把冬至杆影长度减去夏至杆影长度，分成12分，期间有11个分 点，因为从冬至，影长缩短到夏至，再增长到冬至，每个分点经过2次， 11个分点对应除冬至和夏至以外的22个节气，加上冬至和夏至，就是24个 节气。在这里，我们又看到了“十二”划分，但“十二分”是等分的。可 是张杰教授 计算了各分点的斜长（弦长）， 发现12根弦长相互之比竟然和“ 三分损益法”求得的12根律管长 度之比很是接近。本来是乐律学 的“十二律”和“三分损益法” ，竟然和气候学的节气发生了关 联。这不能说是巧合，而是反映 了中国传统宇宙哲学内在的融贯 性。 根据《晋书•天文志》绘制的两至晷影图（张杰）
从连续、稳定到间断、突变和不稳定。事物在经过
一段连续变化以后发生突变，从一种状态跳跃到另一种 状态，描述这种突变现象的新的数学学科称为 “突变论”
（Catastrophe Theory）。从平衡的、守恒的、可逆的
到非平衡的、耗散的、不可逆的，从决定性的、有序的、 周期性的、对称的到随机的、无序的、非周期性的、对
都是斐波那契数列：前两项之和等于第三项
。最后两项之比：863:534 = 1.61610； 2260:1396 = 1.61891； 1829:1130 = 1.61858
698:432 = 1.61574； 1130:698 = 1.61891
都与黄金分割比1.618034ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ近
黄金分割
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系 统研究了这一问题，并建立起比例理论。后来欧几里 得撰写《几何原本》时进一步系统论述了黄金分割， 成为最早的有关黄金分割的论著。中世纪后，黄金分 割被披上神秘的外衣。德国天文学家开普勒称为神圣 分割。到19世纪黄金分割这一名称逐渐通行。
好玩的数学
斐波那契数列： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，55, 89……
意大利数学家斐波那契(Fibonacci)研究兔子繁殖问题得到的数列（
1202年）：
一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后 可以繁殖多少对兔子？ 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是1对； 两个月后，生下一对小兔，兔数共有2对； 三个月以后，老兔子又生下一对，小兔子还没有繁殖能力，所以一共是3对； ……
广州大剧院
Baku Theatre
建筑结构之美 数学与力学
数学与音乐
音调和音程 人听声音，除了声音大小，还有音调高低。音调的高低取决于发声 体振动的频率 f（Hz）。人耳难以判定一个音的具体频率是多少，但可 以判定两个音的“音程”差，在听了（唱出）1(do)以后，识别出（唱出 ）i（高音do），这两个音差“八度音程”，后者的频率是前者的一倍。 一个八度音程，对应频率是一倍，称为一个倍频程（Oct）。f2 = 2 f1 钢琴键盘上中音A，f 相当于440Hz ，高 八度到高音A，就是880Hz，频率增加一倍。
现代数学概念在建筑学中出现
《The Architecture of the Jumping Universe
A polemic: How Complexity Science is Changing Architecture and Culture 》1995
《Fractal Geometry in Architecture and Design》1996
大晟钟 宋徽宗崇宁三年（公元1104年），在今河南商邱出土了六件春秋 时期宋公成钟，因该钟出土于宋地，宋徽宗认为是祥瑞之兆，遂设立 “大晟府”，以宋公成钟为式样铸成“大晟钟”，计12编，每编28只 ，共336件，每套钟基准音高都是黄钟宫，发送州府，作为标准音律定 音，统一音高。1127年，金兵攻占东京后，虏徽、钦二帝北上，北宋 灭亡。目前发现有25件大晟钟实物散存于海内外。大晟钟是宋代朝廷 重要的测音和定音的工具。基准音高全都是C大调的1音。
抽象是数学的本质
谁见过 “1 ”？人们见到的是具体的“一个人”、 “一匹马”、 “一朵 花”、“一颗星” … …，但人类的伟大、思维活动的伟大，将这些具体的 事物，抽象成数“1”，并用一个符号（世界各地几乎都是“︱或—”）来表 示。 有一种长期流行的观点“我们学艺术的、学建筑的，需要的、擅长的 是形象思维，而数学是逻辑思维，所以数学没有用，也学不好。”“形象 ”和“逻辑”怎么是一对对立的词呢？“形象”与“抽象”才是一对对立 的词！学艺术的、学建筑的难道不需要抽象思维？！现代艺术区别于传统 艺术最重要的特点之一正是“抽象”！
20/12，21/12， 22/12， 23/12， 24/12， 25/12， 26/12，
1 1.059463 1.1225 1.1892 1.2599 1.3348 1.4142
27/12， 28/12， 29/12， 210/12， 211/12， 212/12
1.4983 1.5874 1.6818 1.7818 1.8877 2
数学的特点
确定性 抽象性 严格性 应用的广泛性 理性美(dry beauty) 数学，“具有一种至高无上的美，一种冷峻（cool，酷
）而严肃的美，这种美没有音乐或绘画那般华丽的装饰，
它纯洁到崇高的地步，达到了只有最伟大的艺术才能显示 的那种完美的境界”。
罗素（Russell，1872~1970，英国数学家，诺贝尔文学奖得主）
或写成： （21/12）n = （1.059463）n n=0~12
律吕与节气 中国古代律吕学不仅是音乐范畴的问题，还与气候和节令
密切关联。中国古代是农耕社会，种庄稼要知道节气，但中国古代使用的 历法“阴历”是月亮历，不能以其月份和日期确定节气。节气是与地球围 绕太阳运行的周期状态相关的，所以中国的24节气与阳历月份和日期的对 应关系是固定的，只有一两天的变动。然而中国古代没有“阳历”，确定 节气是通过“立杆测影”，观察垂直的立杆在当地正午时刻太阳照射下影 长的变化来确定节气的。一年中杆影最长的那一天是冬至日，杆影最短的 那一天是夏至日。河南登封的元郭守敬建的观象台是大尺度的“立杆测影 ”，而东汉的铜圭表，是小尺度的。
写实（具象）——康斯坦布
印象派——高更
抽象派——康定斯基
荷兰 乌德勒支住宅 1924
受蒙特里安抽象绘画的影响
现代数学的发展趋势
从单个或少数变量到多变量，从低维空间到高维空间。 这表示数学模型中包含的因素和参数的数量大大增加，并产
生了一些质的变化。与此相应发展起来一些数学中的新学科，
如多线性代数、多复变函数、多元统计分析等等。具有不必 是整数的分数维（fractal dimension）的几何对象——分形 （fractals）引起了广泛的兴趣。 从线性问题到非线性问题。线性化的数学模型是研究局 部范围和平缓变化过程所采用的通常是简化了的模型，而要 研究大范围、大变化、大挠动、高速度、强作用力等情形的 问题，就要涉及非线性现象。非线性问题通常具有对初始条 件、边界条件和外界挠动敏感的特征，即这些因素的微小变 化会引起结果很大的改变。非线性问题已成为当前数学研究 的一个主要内容。
数字砌筑
Bylgia Instalation /German Pavilion
New Czech National Library
Foster and Partners
Ball Nogues Studio
Maximilians Schell
Zaha Hadid
Nordpark Cable Railway
音调为准，以和其音调相谐的管的长度定标。管可以方便的复制，控制
长度即可。 反过来，只要这个钟还在（钟耐久），就可以用它的音调确定管的 长度，则国家的长度标准也就确定和传承了。这就是，以音律定国家长 度标准（度），以长度标准定容积标准（量），以权重（一定体积的铁 ）和秤杆刻度（长度）或天平定重量（衡），于是度量衡三者都可定矣 。这就是“黄钟律吕” 。
那么在一个八度音程（倍频程）中如何细分呢？中外历史上有所
不同，但现代采用的是把一个八度音程分成12等分（十二平均律） 对应于钢琴键盘上，从中音C（1）到高音C（ⅰ
）共有12个键（白键和黑键），相邻两键音调相
差一个半音，两个半音等于一个全音。但是，1 2
3 4 5 6 7ⅰ（C D E F G A B C）各基本音级之间 相隔的距离并不平均，十二个半音构成了有八个 基本音级的音列，各音之间音级的关系是“全全 半全全全半”。3-4（E-F）之间，7- ⅰ （B-C） 之间 是半音，其他之间是全音。具体分法是：
当项数足够多时，前后两项之比接近于黄金分割之比：0.61803。
21/34= 0.6176
34/55=0.6182 55/89=0.6180
勒· 柯布西埃著名的人体模距图
包含着斐波那契数列与黄金分割 5列数，从右到左，从下到上分别是：
126，204，330，534，863
11，19，30，49，78，126，204，330， 534，863，1397，2260 6，9，15，24，39，63，102，165，267， 432，698，1130，1829 63，102，165，268，432，698 432，698，1130
称破缺的。而对非线性、非平衡动力系统的深入研究，
又揭示出远离平衡态的隐藏在随机性和无序中的分叉 （bifurcation）和混沌(chaos）现象。突变、分叉、混 沌、分数维等等体现复杂性的现象已成为当今数学、力 学、物理学、生物和生命科学乃至经济学、社会学等科 学的热门研究课题。
数学与建筑
古典建 筑之美 比例 尺度 对称 均衡 韵律 对比
低音A，就是220Hz。
为了统一音律，必须确定音高的绝对标准 ，但在古代，没有仪器测量频率。在古希腊， 毕达哥拉斯发现：琴弦长度减半，音调升高八 度。长度作为度量衡之一，可以确定统一标准 。但琴弦张紧程度不同，音调就改变，所以弦 还是不能用来定标。
黄钟律吕 中国古人也在寻找音调定标的器件。也发现了弦长减半，音调升高 八度的现象，但也是因为弦的音高随张紧程度而变，无法用于定标。还
有一种乐器被考虑过，就是钟。钟体大，音调低，钟体小，音调高。制
定一套标准的大小不一的钟，就可对音调确定标准。钟体最大，音调最 低的称为“黄钟”，以它为标准。但钟的复制很困难，尤其是钟壁厚薄
很难控制。后来倾向于用管，管长减半，音调升高八度。每个国家都制
定有长度标准（尺、寸），制定一套标准的长短不一的管，就可对音调 统一标准。钟是金属铸造，不易损坏变形，有耐久性。以一套标准钟的
勒· 柯布西埃：
装饰是“初级的满足” ,“是多余的东西，是农民的爱好”， 而比例和尺度上的成功是“到达更高级的满足（数学）”， 是“有修养的爱好”。 “帕提农给我们带来确实的真理和高度数学规律的感受”。
“数学的精确性与大胆的幻想结合起来，说确切些，就是 美”。
伯鲁乃列斯基与佛罗伦萨主教堂穹顶