数学建模高斯扩散模型

§4-2高斯扩散模式

ū —平均风速;

Q—源强就是指污染物排放速率。与空气中污染物质的浓度成正比,它就是研究空气污染问题的基础数据。通常:

(ⅰ)瞬时点源的源强以一次释放的总量表示;

(ⅱ)连续点源以单位时间的释放量表示;

(ⅲ)连续线源以单位时间单位长度的排放量表示;

(ⅳ)连续面源以单位时间单位面积的排放量表示。

δy—侧向扩散参数,污染物在y方向分布的标准偏差,就是距离y的函数,m; δz—竖向扩散参数,污染物在z方向分布的标准偏差,就是距离z的函数,m; 未知量—浓度c、待定函数A(x)、待定系数a、b;

式①、②、③、④组成一方程组,四个方程式有四个未知数,故方程式可解。

二、高斯扩散模式

(一)连续点源的扩散

连续点源一般指排放大量污染物的烟囱、放散管、通风口等。排放口安置在地面的称为地面点源,处于高空位置的称为高架点源。

1、大空间点源扩散

高斯扩散公式的建立有如下假设:①风的平均流场稳定,风速均匀,风向平直;②污染物的浓度在y、z轴方向符合正态分布;③污染物在输送扩散中质量守恒;④污染源的源强均匀、连续。

图5－9所示为点源的高斯扩散模式示意图。有效源位于坐标原点o处,平均风向与x轴平行,并与x轴正向同向。假设点源在没有任何障碍物的自由空间扩散,不考虑下垫面的存在。大气中的扩散就是具有y与z两个坐标方向的二维正态分布,当两坐标方向的随机变量独立时,分布密度为每个坐标方向的一维正态分布密度函数的乘积。由正态分布的假设条件②,参照正态分布函数的基本形式式(5－15),取μ＝0,则在点源下风向任一点的浓度分布函数为:

(5－16) 式中 C—空间点(x,y,z)的污染物的浓度,mg/m3;

A(x)—待定函数;

σy、σz—分别为水平、垂直方向的标准差,即y、x方向的扩散参数,m。

由守恒与连续假设条件③与④,在任一垂直于x轴的烟流截面上有:

(5－17)

式中 q—源强,即单位时间内排放的污染物,μg/s;

u—平均风速,m/s。

将式(5－16)代入式(5－17), 由风速稳定假设条件①,A与y、z无关,考虑到

③与④,积分可得待定函数A(x):

(5－18)

将式(5－18)代入式(5－16),得大空间连续点源的高斯扩散模式

(5－19)

式中,扩散系数σy、σz与大气稳定度与水平距离x有关,并随x的增大而增加。当y＝0,z＝0时,A(x)＝C(x,0,0),即A(x)为x轴上的浓度,也就是垂直于x轴截面上污染物的最大浓度点C max。当x→∞,σy及σz→∞,则C→0,表明污染物以在大气中

得以完全扩散。

2.高架点源扩散

在点源的实际扩散中,污染物可能受到地面障碍物的阻挡,因此应当考虑地面对扩散的影响。处理的方法就是,或者假定污染物在扩散过程中

的质量不变,到达地面时不发生沉降或化学反应而全部反射;或者污染物在

没有反射而被全部吸收,实际情况应在这两者之间。

(1)高架点源扩散模式。点源在地面上的投影点o作为坐标原点,有效源位于z轴上某点, z＝H。高架有效源的高度由两部分组成,即H＝h＋Δh,其中h为排放口的有效高度,Δh就是热烟流的浮升力与烟气以一定速度竖直离开排放口的冲力使烟流抬升的一个附加高度,如图5－10所示。

当污染物到达地面后被全部反射时,可以按照全反射原理,用“像源法”来求解空间某点k的浓度。图5－10中k点的浓度显然比大空间点源扩散公式(5－19)计算值

大,它就是位于(0,0,H)的实源在k点扩散的浓度与反射回来的浓度的叠加。反射浓度可视为由一与实源对称的位于(0,0,－H)的像源(假想源)扩散到k点的浓度。由图可见,k 点在以实源为原点的坐标系中的垂直坐标为(z-H),则实源在k点扩散的浓度为式(5－19)的坐标沿z轴向下平移距离H:

(5－20)

k点在以像源为原点的坐标系中的垂直坐标为(z＋H),则像源在k点扩散的浓度为式(5－19)的坐标沿z轴向上平移距离H:

(5－21)

由此,实源C s与像源C x之与即为k点的实际污染物浓度:

(5－22) 若污染物到达地面后被完全吸收,则C x＝0,污染物浓度C(x,y,z,H)＝C s,即式(5－20)。

(2)地面全部反射时的地面浓度。实际中,高架点源扩散问题中最关心的就是地面浓度的分布状况,尤其就是地面最大浓度值与它离源头的距离。在式(5－22)中,令z ＝0,可得高架点源的地面浓度公式:

(5－23)

上式中进一步令y＝0则可得到沿x轴线上的浓度分布:

(5－24)

地面浓度分布如图图5－11所示。y方向的浓度以x轴为对称轴按正态分布;沿x轴线上,在污染物排放源附近地面浓度接近于零,然后顺风向不断增大,在离源一定距离时的某处,地面轴线上的浓度达到最大值,以后又逐渐减小。

地面最大浓度值C max及其离源的距离x max可以由式(5－24)求导并取极值得到。令,由于σy、σz均为x的未知函数,最简单的情况可假定σy/σz＝常数,则当

(5－

25)

时,得地面浓度最大值

(5－26)

由式(5－25)可以瞧出,有效源H越高, x max处的σz值越大,而σz∝x max,则C max出现的位置离污染源的距离越远。式(5－26)表明,地面上最大浓度C max与有效源高度的平方及平均风速成反比,增加H可以有效地防止污染物在地面某一局部区域的聚积。

式(5－25)与式(5－26)就是在估算大气污染时经常选用的计算公式。由于它们就是在σy/σz＝常数的假定下得到的,应用于小尺度湍流扩散更合适。除了极稳定或极不稳定的大气条件,通常可设σy/σz＝2估算最大地面浓度,其估算值与孤立高架点源(如电厂烟囱)附近的环境监测数据比较一致。通过理论或经验的方法可得σz＝f(x)的具体表达式,代入(5－25)可求出最大浓度点离源的距离x max,具体可查阅我国GB3840—91《制定地方大气污染物排放标准的技术方法》。

3、地面点源扩散

对于地面点源,则有效源高度H＝0。当污染物到达地面后被全部反射时,可令式(5－22)中H＝0,即得出地面连续点源的高斯扩散公式:

(5－27)

其浓度就是大空间连续点源扩散式(5－19)或地面无反射高架点源扩散式(5－20)在H＝0时的两倍,说明烟流的下半部分完全对称反射到上部分,使得浓度加倍。若取y与z等于零,则可得到沿x轴线上的浓度分布:

(5－28)

如果污染物到达地面后被完全吸收,其浓度即为地面无反射高架点源扩散式(5－20)在H＝0时的浓度,也即大空间连续点源扩散式(5－19)。

高斯扩散模式的一般适用条件就是:①地面开阔平坦,性质均匀,下垫面以上大气湍流稳定;②扩散处于同一大气温度层结中,扩散范围小于10km;③扩散物质随空气一起运动,在扩散输送过程中不产生化学反应,地面也不吸收污染物而全反射;④平均风向与风速平直稳定,且u＞1～2m/s。