上海市杨浦区2017届高考数学一模(含答案)

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上海市杨浦区2017届高三一模数学试卷

2016.12

一. 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)

1. 若“a b >”,则“33

a b >”是 命题(填:真、假)

2. 已知(,0]A =-∞,(,)B a =+∞,若A B R =U ,则a 的取值范围是

3. 294z z i +=+(i 为虚数单位),则||z =

4. 若△ABC 中,4a b +=,30C ︒∠=,则△ABC 面积的最大值是

5. 若函数2

()log 1

x a f x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-,则a = 6. 若半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面,若OA 与该截面所成的角是60︒,则该 截面的面积是

7. 抛掷一枚均匀的骰子(刻有1、2、3、4、5、6)三次,得到的数字依次记作a 、b 、c , 则a bi +(i 为虚数单位)是方程220x x c -+=的根的概率是

8. 设常数0a >,9(x

展开式中6x 的系数为4,则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=

9. 已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-,则原点O 到直线l 的距离为

10. 若双曲线的一条渐近线为20x y +=,且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共 点,则此双曲线的标准方程为

11.平面直角坐标系中,给出点(1,0)A 、(4,0)B ,若直线10x my +-=上存在点P ,使得 ||2||PA PB =,则实数m 的取值范围是

12. 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数,且在[2,0]x ∈-时,()21f x x =+,若存 在1x 、2x 、⋅⋅⋅、n x 满足120n x x x ≤<<⋅⋅⋅<,且1223|()()||()()|f x f x f x f x -+-+⋅⋅⋅ 1|()()|2016n n f x f x -+-=,则n n x +最小值为 ;

二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)

13. 若a r 与b c -r r 都是非零向量,则“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r ”的( )条件

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充分必要

D. 既不充分也不必要

14. 行列式147

258369

中,元素7的代数余子式的值为( )

A. 15-

B. 3-

C. 3

D. 12

15. 一个公司有8名员工,其中6位员工的月工资分别为5200、5300、5500、6100、6500、 6600,另两位员工数据不清楚,那么8位员工月工资的中位数不可能是( )

A. 5800

B. 6000

C. 6200

D. 6400

16. 若直线1x y a b

+=通过点(cos ,sin )P θθ,则下列不等式正确的是( ) A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C. 22111a b +≤ D. 22111a b

+≥

三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)

17. 如图,某柱体实心铜制零件的截面边界是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ,半径为PB 的一段圆弧BC 构成,其中60BAC ︒

∠=;

(1)求半径PB 的长度;

(2)现知该零件的厚度为3毫米,试求该零件的重量(每1个立方厘米铜重8.9克,按四 舍五入精确到0.1克);(V s h =⋅柱底)

18. 如图所示,1l 、2l 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段,点A 、B 在1l 上, 且位于M 点的两侧,C 在2l 上,AM BM NM CN ===;

(1)求证:异面直线AC 与BN 垂直;

(2)若四面体ABCN 的体积9ABCN V =,求异面直线1l 、2l 之间的距离;

19. 如图所示,椭圆2

2:14

x C y +=,左右焦点分别记作1F 、2F ,过1F 、2F 分别作直线 1l 、2l 交椭圆于AB 、CD ,且1l ∥2l ;

(1)当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时,求证:12k k ⋅为定值;

(2)求四边形ABCD 面积的最大值;

20. 数列{}n a ,定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列,其中1n n n a a a +∆=-,*n N ∈;

(1)若2n a n n =-,试判断{}n a ∆是否是等差数列,并说明理由;

(2)若11a =,2n n n a a ∆-=,求数列{}n a 的通项公式;

(3)对(2)中的数列{}n a ,是否存在等差数列{}n b ,使得1212n n n n n n b C b C b C a ++⋅⋅⋅+=

对一切*n N ∈都成立,若存在,求出数列{}n b 的通项公式;若不存在,请说明理由;

21. 对于函数()f x ()x D ∈,若存在正常数T ,使得对任意x D ∈,都有()()f x T f x +≥ 成立,我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”;

(1)求证:对任意正常数T ,2()f x x =都不是“T 同比不减函数”;

(2)若函数()sin f x kx x =+是“2

π同比不减函数”,求k 的取值范围; (3)是否存在正常数T ,使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”,若存 在,求T 的取值范围,若不存在,请说明理由;

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